Ряды в математике

27. Локальная и  интегральная теорема Лапласа.  Теорема (локальная теорема Лапласа). Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А появляется с одинаковой вероятностью р и не появляется с вероятностью q = 1 – p. Если число испытаний n очень велико, т.е. , то вероятность P_m, n того, что событие А произошло ровно m раз в этих n испытаниях, можно вычислить по формуле Лапласа , . Замечание 4. Для нахождения значений функции φ (x) существуют специальные таблицы значений этой функции. Эти таблицы составлены для неотрицательных значений x. При отрицательных значениях x пользуются свойством четности функции φ (x), т.е. φ (–x) = φ (x). Теорема  (интегральная теорема Лапласа). Пусть проводится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А появляется с одинаковой вероятностью р и не появляется с вероятностью q = 1 – p. Если число испытаний n очень велико, т.е. , то вероятность P_n(a ≤ m ≤ b) того, что событие А произошло m раз, где a ≤ m ≤ b, в этих n испытаниях, можно вычислить по интегральной формуле Лапласа

,   ,   .Замечание. Для использования интегральной формулы Лапласа обязательно должны выполняться два условия: 1) число испытаний n очень велико; 2) число появлений события А изменяется в пределах от a до b. Если первое из этих условий не выполняется, то применяют формулу Бернулли.Замечание. Для нахождения значений функции Лапласа Φ (x) существуют специальные таблицы значений этой функции. Эти таблицы составлены для неотрицательных значений x, 0≤ x < 5. При отрицательных значениях x пользуются свойством нечетности функции Лапласа, т.е. Ф (–x) = –Ф (x), а при x ³ 5 полагают Φ (x) = 0,5.