Ряд Фурье

    _{1. Понятие ряда Фурье.}

         _{Ряды Фурье играют  большую роль в  математической физике, теории упругости,  электротехнике и  особенно их частный  случай – тригонометрические  ряды Фурье.}

    _{Тригонометрическим  рядом называют ряд  вида}

    

    _{или, символической записи:}

                                       _{( 1 )}

    _{где ω, a0, a1, …, an, …, b0, b1, …,bn, …-  постоянные числа (ω>0) .}

           _{К изучению таких  рядов исторически  привели некоторые  задачи физики, например   задача о колебаниях  струны (XVIII в.), задача о закономерностях в явлениях теплопроводности и др. В приложениях рассмотрение тригонометрических рядов, прежде всего связано с задачей представления данного движения, описанного уравнением  у = ƒ(χ), в виде  суммы простейших гармонических колебаний, часто взятых в бесконечно большом числе, т. е. в качестве суммы ряда  вида (1).}

    _{Таким образом, мы приходим к следующей задаче: выяснить существует ли для данной функции  ƒ(x) на заданном промежутке такой ряд (1),который сходился бы на этом промежутке к данной функции. Если это возможно, то говорят, что на этом промежутке функция ƒ(x)  разлагается в тригонометрический ряд.}

    _{Ряд (1) сходится в некоторой  точке х0, в силу периодичности функций (n=1,2,..), он окажется сходящимся и во всех точках вида (m- любое целое число), и тем самым его сумма S(x) будет (в области сходимости ряда) периодической функцией: если Sn(x) – n-я частичная сумма этого ряда, то имеем}

              

    _{а потому и  , т. е. S(x0+T)=S(x0). Поэтому, говоря о разложении некоторой функции ƒ(x) в ряд вида (1), будем предполагать ƒ(x) периодической функцией.} 
 
 

    _{Признаки сходимости рядов Фурье. (стр. 331, Пискунов)}

    _{Зададим вопрос: какими свойствами должна обладать функция, чтобы построенный, для неё ряд  Фурье сходился и  чтобы сумма построенного ряда Фурье равнялась  значениям данной функции в соответствующих точках?}

      _{Сформулируем теорему,  которая даст достаточные  условия представимости  функции ƒ(x) рядом  Фурье. (из Пискунова)} 

    _{Определение. Функция ƒ(x) называется кусочно- монотонной на отрезке [a, b], если этот отрезок можно разбить конечным числом точек х1, х2, …,хn-1 на интервалы (а, х1), (х1, х2),…, (хn-1, b) так, что на каждом из интервалов функция монотонна, т. е. либо не возрастающая, либо неубывающая.}

    _{Теорема.}

    _{Если  периодическая функция  ƒ(x) с периодом 2π  – кусочно монотонная и ограниченная на отрезке [-π, π], то ряд Фурье, построенный для этой функции, сходится во всех точках. Сумма полученного ряда s(x) равна значению функции ƒ(x) в точках непрерывности функции. В точках разрыва функции ƒ(x) сумма ряда равняется среднему арифметическому пределов функции ƒ(x) справа и слева, т. е. если х = с – точка разрыва функции ƒ(x), то}

     _.

    _{Из  этой теоремы следует, что класс функций, представимых рядами Фурье, довольно широк. Поэтому ряды Фурье  нашли широкое  применение в различных  отделах математики. Особенно успешно ряды Фурье применяются в математической физике и её приложениях к конкретным задачам механики и физики.}

    _{Этот  вопрос можно решить с помощью теоремы  Дирихле. («Краткий курс высшей математики», Шнейдер и др., стр. 181)}

    _{При выводе формул  (4), (17), (18) мы заранее предполагали, что функция ƒ(x) разлагается в правильно сходящийся тригонометрический ряд (1). Если же такого предположения не делать, а допустить, что для функции ƒ(x) существуют все интервалы, стоящие в правых частях формул (4), (17), (18), то по этим формулам можно вычислить коэффициенты a0, ak и bk и составить тригонометрический ряд (1), который представляет собой ряд Фурье, соответствующий данной функции.}

    _{Является  ли построенный таким  образом ряд Фурье  сходящимся и если он сходится, то имеем ли мы право утверждать, что он сходится именно к функции ƒ(x), с помощью которой вычислялись коэффициенты ряда?}

    _{Оказывается, что сходимость ряда Фурье к заданной функции имеет  место для довольно широкого класса функций. Достаточные условия  сходимости ряда Фурье, и, следовательно, возможность  разложения функций  в ряд Фурье  даются теоремой Дирихле. Прежде чем формулировать эту теорему, введем два определения.}

    _{Функция ƒ(x) называется кусочно-монотонной на сегменте [a, b], если этот сегмент можно разделить на конечное число сегментов, внутри каждого, из которых функция либо только возрастает, либо только убывает, либо постоянна.}

    _{Основное  определение.  Функция ƒ(x) называется удовлетворяющей условиям Дирихле на сегменте [a, b], если:}

                           _{1)функция непрерывна  на сегменте [a, b] или же имеет}                     

                             _{на нем конечное  число точек разрыва 1 рода;}

                      _{2) функция кусочно-монотонна  на сегменте [a, b].} 
 
 

    _{. Ряд Фурье для  функции с периодом 2l.}

    _{Пусть функция ƒ(x) есть периодическая функция  с периодом 2 l, вообще говоря, отличным от 2π. Разложим её в ряд Фурье.}

    _{Сделаем замену переменной по формуле}

     _{х = lt / π.}

    _{Тогда функция ƒ(lt / π) будет периодичной функцией от t с периодом 2π. Её можно разложить в ряд Фурье на отрезке  –π ≤ x ≤ π:}

         

    _{где  (Пискунов, стр. 341 –  дописывать не надо)}

    

    

    

    _{Возвратимся к старой переменной x:}

        

    _{Тогда будем иметь:}

                  ₍₂₄₎

    _{Формула  (23) получит вид}

     _{,         (25)}

    _{где коэффициенты a0, ak,  bk вычисляются по формулам (24). Это и есть ряд Фурье для периодической функции с периодом 2 l.}

    _{Заметим, что все теоремы, которые имели  место для рядов  Фурье от периодических функций с периодом 2π, сохраняются и для рядов Фурье от периодических функций с каким-либо другим периодом 2 l.}

    _{Пример.}

    _{Разложить в ряд Фурье  функцию ƒ(x) с периодом 2 l, которая на отрезке [-l , l] задается равенством ƒ(x) = | x |.}

    _{(Пискунов, стр.342, рис. 383)} 

    _{Решение. Так как рассматриваемая  функция – четная, то}

    

    _{Следовательно, разложение имеет  вид}

      

    _{Комплексная форма ряда Фурье  для функций с  периодом 2π.} 

    _{Пусть ƒ(x) – функция, удовлетворяющая  условиям определения:}

    _{Пусть функция ƒ(x) с периодом 2π, имеющая на сегменте [-π, π] не более конечного  числа точек разрыва  и абсолютно интегрируема на этом сегменте (т. е. она интегрируема на любом сегменте).}

    _{Тогда пусть ряд (2) является рядом Фурье функции  ƒ(x). Преобразуем общий член этого ряда с помощью формул Эйлера, выражающих косинус и синус через показательную функцию. Имеем:}

    

      _,

    _{где .}

    _{Полагая ещё  получим для частичных сумм ряда Фурье выражение}

    

    _{Для новых коэффициентов  cn получаем формулу (учитывая формулы an и bn).}

    

    _{Непосредственно видно, что эта  формула верна  для n = 0 и для n < 0 (последнее видно, например, из того, что где обозначает число, сопряженное с).}

    _{По  доказанному имеем  в точках дифферуемциемоcти:}

    

    _{Итак, в точках дифференцируемости}

                     ₍₂₆₎

    _где

    

    _{Правая  часть формулы (26) представляет собой  комплексную форму ряда Фурье для функции с периодом 2π.} 

    _{Комплексная форма ряда Фурье  для функции с  любым периодом.  (Романовский стр.33)}

    _{Пусть ƒ(x) – функция  с периодом 2l, удовлетворяющая условиям , указанным в пункте 6. Тогда подстановка x= lt/ π приводит нас к функции ƒ(lt/ π)  с периодом 2π. В силу предыдущего пункта в точках дифференцируемости имеем:}

    

    _{Переходя  как в ряде, так  и формулах для  коэффициентов к  старому переменному х и замечая, что t = π x / l, dt=(π / l)dx, получим в точках дифференцируемости:}

                              ₍₂₇₎

    _где

     _{Правая часть формулы (27), где коэффициенты определяются равенствами (28), называется комплексной формой ряда Фурье для функции с периодом 2l.}