Сан ұғымының дамуы

Сан ұғымының дамуы туралы

«Екіні екіге көбейткенде  төрт болатындығы сияқты, айдан анық нәрсе ғой» дегенді біз жиі  қолданамыз. Санау мен есептеудің біздің тұрмысымызға еніп, әбден сіңісіп  кеткендігі соншалықты, тіпті, санауды  және қарапайым есептеулер жасауды  білмейтін ересек адам болады деген  ұғым біздің ойымызға да келмейді. Алайда, адамның тіпті сан ұғымы туралы түсінігі болмаған кезде болған.

Жас баланы сан ұғымымен алғаш таныстырып отырған тәрбиеші үшін бұл ұғымның дамуының ұзақ жолын  білу тек қызықты ғана емес, ол қажет  те. Бұл болса осы ұғымды игеруде  балалардың қандай қиыншылықтарды жеңуге тура келгенін тәрбиешінің түсініп  алуына көмектеседі.

Біздің өте ертедегі ата-бабаларымыз  сандарды дұрыс білмеген. Қай халықта  алғашқы математикалық түсініктердің  қашан пайда болғаны белгісіз. Бірақ, санау, әртүрлі жиындарды  салыстыру адам қоғамы дамуынынң  алғашқы кезеңдерінен бастап-ақ қажет  болды. Егерде белгігі бір машинаны ғылымдағы қандай да бір теорияны ойлап тапқан дам туралы айта алатын болсақ, ал санауды, өлшеуді кім ойлап  тапқанын айта алмаймыз. Әр халақ өз дамуының алғашқы кезеңін өз бетімен  басынан өткізген. Адам мәдениеті  дамуының бұл кезеңі мыңдаған жылдар бұрын басталған және оның көнелілігі тіл мен сөйлеудің дамуымен немес  ең қарапайым еңбек құралдарының пайда болуымен шамалас.

Адамның айналасында әрқашан  әртүрлі жиындар болған: аспандағы  жұлдыздар, үймек-үймек тастар, жануарлар  мен өсімдіктер жиыны, ең ақыры адам денесінің мүшелер жиыны, уақыттың өтуіне байланысты атқаратын физиологиялық  қызметтерінің жиыны. Сондықтан  да, адамның қалайда сандарды санауды  білмей тұрып-ақ олардың көмегімен  сол жиындарды салыстыруына тура келген. Ал салыстыра отырып, жиынның  элементтеріноларды құраушыларды ажырата  білген. Жиындарды сан жағынана тек  теңдігі мен теңсіздігін ғана емес, сондай-ақ жиынды қандайда элементтің не оның белгігі бір бөлігінің  жетпей тұрғанын анықтай алған.

Түрлі халықтардың мәдениетін зерттеп білу, әртүрлә тілдерін зерттеу  археологиялық қазбалар математиктерге жиын туралы алғашқы түсініктердің  қалай дамығандығы жөнінде және санға дейінгі дәуірде жиындаржың қалай салыстырылғандығы сан  мен натурал қатар туралы ұғымның  қалай қалыптасқандаығы жөнінде, санау  системалары қалай қалыптасқандығы  жөнінде және адам қоғамының даму процесінде жазбаша нумерацияның қалай дамығаны жөнінде бірқатар болжамдар жасауға мүмкіндік туғызады.

Математика адам қажеттілігінен пайда болып олардың практикалық  іс-әрекеті процесінде дамыған.

Адамның дамып-жетілуінің өте  ерте кезеңдерінде-ақ оларға аң аулағандағы  табысының шамасын анықтап, оны  қоғам мүшелеріне үлестіріп беруге тура келген. Диқаншылықтың пайда  болуымен байланысты өнімжі анықтау  қажет болды немесе көршілес тайпамен қарым-қатынас жасағанда, жауға қарсы  бірлесіп күресу үшін, әр тайпаның қанша  жауынгер бөлуі жөнінде келісу керек  болды. Бірлесіп аңға шығу уақытын келісіп алу немесе көктемгі жұмыстардың басталуына дейін жаңа ай неше рет туатынын т.б. анықтау қажет болуы мүмкін.

Ослардың бәрін анықтау  кезінде бір де бір санды білмейтін  адам жиынтықтар арасындағы сандық қатынастарды тағайындау тәсілдерін таба білген (бір піл тісі – бір пачка темекі, бір тай – сексен тақта шай).

Этнограф-жазушы Г. Гор осыған байланысты мысалды баяндайды.  Мәселен, Солтүстік Сахалинде тұратын  шағын халық нивханың бір өкілінің әңгімесін келтіреді. Ол былай дейді: «Бізде бір қарт адам болған,м ол өзінің неше жаста екенін білмейтін. Жасын ол арықарай санауды ұйғарды. Бір жыл өткенде бір балық  басын қоймаға апарып қояды, тағы бір жыл өткенде тағы бір балық  басын қоймаға апарып қояды, т.с.с.»

Сөйтіп, тең, артық, кем ұғымдарына сан ұғымының бұрын болуының керегі болмаған-ды.

Салытыру үшін қажетті  жиындар алуан түрлі. Т. Семушкин «Аласталған Алитет» романында  былай жазған: «Чукча Омыртагенге  жіпке тізілген бір байлам түймелер беріп, әр күні таңертен оларды бір-бірден шығарып алуды тапсырып, тізілген түймелер біткен кезде оның конференцияға  болатынын айтқан».

Демек, санай білмеген адамдар  түрлі жиындармен істес болғаны, оларды элементтерін сәйкестеу арқылы салыстырып отырғаны мәлім. Санау мен  өлшеудің бұл қарапайым әдістері болашақ арифметика мен геометрияның негізі болған. Әр халық санау мен  өлшеудің өз әдістерін жасап алған. Мыңдаған жылдарға созылған тәжірибе нәтижесінде адамдар белгігі  бір тқжырымдар жасап, оларда ұғымдар  қалыптасқан. Сол ұғымдарды барлық адамзат меңгере бестаған.

Адамзаттың мәдени және экономикалық дамуының алғашқы кезеңдерінде сан  туралы түсінік қандай болған?

Ең алғаш адам ешбір  сан есім сөздерді білмейді. Ол дерексіз сан ұғымын әлі де меңгере қоймаған-ды. Алайда өздерінің тіршілігі үшін керекті жиындарды іс жүзінде  айыра алатын. Мәселен, солтүстік  халықтарының өмірін бақылап, жүргендердің бірі олардың аң аулауға шығар  алдында өздерінің тазылары тобын  қарап шығып, әлде біреуінің жетпей тұрғанын байқаса, оны шақырып іздей бастайтынын айтады. Мұны олар қалайша байқайтын еді?

Адамның дамуының ерте сатысында  жиын сан жағынан емес элементтерінің түрліше қасиеттері бойынша қабылданатын. Жиын элементтерінің саны бұл кезде  оның сапаларының қасиеттерінің  комплексі ретінде түсіндірілетін. Элементтер мен бүтін формасы  түсі, өлшемі, кеңістікте орналасуы  т.б. бойынша ажыратылатын. Осы кезеңде  жиын элементтерінің саны жиынның өзі  мен қасиеттерінің ерекшеліктерінен әлі де болса бөліне қоймаған-ды. Олай болса, сан ұғымының дамуының алғашқы кезеңінде адамдарда сан жөнінде жалпыланған ұғым да, сондай-ақ сол ұғымдарды бейнелеп көрсететін арнайы сөздер де бола қоймаған. Жиындарды ажырата және салыстыра білу қабілеттілігі жиын элементтері мен бүтін жиынды – негізінен сапалық қасиеттері бойынша ажырата білу қабілетімен көрінеді. Арифметика тарихында дамудың бұл кезеңін «Сан-жиынтықтар сапасы сатысы» деп атайды. Түсініктердің мұндай даму сатысын ерте кездерде барлық адамзат басынан кешірген болатын.

Келесі саты деп қолмен санау сатысын есептейді. Қоғамның ілгері қарай дамуына байланысты адамның жиынтықтарды қабылдап қана қоймай, оларды жасап отыруына да тура келген. Осы қажеттіліктің әсерінен қолмен санау деп аталатын кезең пайда болды. Кез келген жиынтықтың элементтерін адам қолы мен аяғының саусақтарымен, тіпті, кейбір дене мүшелермен сәйкестейтін болды.

Мәселен, этнографтардың жазуы  бойынша полинезиялықтар қол-аяғының  саусақтарымен қоса денесінің басқа  мүшелерін белгілі бір тәртіппен  пайдаланған екен. Санауды сол  қолының шынашағынан бастап, білегіне, шынтағына иығына қарай ауыстырып  жалғастыра береді екен. Егерде саналатын  жиынтық мұнымен бітпесе, арықарай оң иыққа, білекке, саусақтарға –  бас бармақтан шынашаққа қарай  өтіп, санайды. Осылайша 16 көлемінде  санап, сонан соң қажет болса, оң қолының шынашағынан бастап, арықарай жалғастырып, кері ретпен сол қолының  шынашағына қарай санайды. Егер жетпей қалса санауды екінші адамды пайдаланып, арықарай жалғастырады екен.

Біздің тамаша саяхатшымыз  Н. Н. Миклухо-Маклай (1846-1888) папуастар  қолмен санауды былай пайдаланатын деп жазған еді: «Ең  ұнамды санау  әдісі папуас қолының саусақтарын  біртіндеп бүгіп шығып, белгілі  бір мысалы: «бе-бе-бе», - деп дыбыс  шығарады. Беске дейін санап, ол «ибон-бе» (қол), дейді. Содан соң ол заттарды екінші қолының саусақтарменқос  қостан сәйкестей бастайды да, қайтадан: «бе-бе-бе»,- дейді... және соңғы саусағымен сәйкестеп, «ибон-али» (яғни, екі қол), - дейді. Одан кейін заттарды арықарай санау үшін олар ең алдымен бір аяғының саусақтарын «самба-бе» (бір аяқ), сонан соң екінші аяғының саусақтарын «самба-али» (екі аяқ) пайдаланған. Сөйтіп, бір қолдың атауы бес заттан құралатын жиынтықтың, ал екі қолдың атауы – он затты өрнектейтін жиынтықтың санының көрсеткіші болып келеді, ал адам деген сөз әрі жиырма заттан тұратын жиынтық санының көрсеткіші еді.

Демек, адам денесі дамудың  алғашқы сатысында адам қолындағы  санау құралы болып келеді. Бір  жиын екінші жиынмен элементтері  бойынша салыстырылып келді. Салыстыру  үшін кез келген бір тұрақты жиынтық  алынды, бірінші алынған жиынтық  адам денесінің бөліктері болды.

Қоғамның арықарай дамуымен саусақтар сияқты тұрақты жиын енді жеткіліксіз болды да шыбық, тас, жіптегі немесе қайыс белбеудегі түйіндер пайдаланыла бастады.

Арықарай дамып отырған  экономиканың мұқтажын ендігі жерде  қолмен санау өтей алмайтын болды. Оның орнына топтап санау сатысы келді. Кең түрде товар алмасу процесінде кебір заттар белгілі бір жиынтықтарға, мысалы, кәрзеңкелер, жұмыртқалар, қайықтар т.с.с. топ-топқа жинақтала бастады. Бұл топтар саны жөнінен түрліше, мысалы, какос жаңғақтар жүз жерден өрілген кәрзеңкелер он оннан т.с.с топталды.

Алайда санды білдіретін ешбір сөз әлі болмады. Бұл  жиынтықтар заттың өз атауымен аталатын. Жүз какос жаңғағының ерекше атауы, он кәрзеңкенің ерекше атауы және он жұмыртқаның ерекше атауы болды. Мысалы, азық-түлік салынған он кәрзеңкені бір халықтар «на банара», ал он жұмыртқаны – «на-куа» деп атаған. Екі жағдайда да на деген жұрнақ бар, бірақ ол әлі он санын көрсетпейтін еді. Топтап санаудың жаңғырығы біздің заманымызға дейін сақталып келген: жұмыртқа, түйме, қарындаш он-онан топталады, сервис, жиһаз дюжинамен (он екі), немесе жарты дюжинамен (алты) топталады. Кейбір заттарды топтау үшін ерекше дюжина деген атау сақталады. Ал заттардың дәл саны (15,12,6 )аталмайды.

Өте ерте кезеңдерде, сан  есім сөз болмаған кезде, мұндей тұрақты  топтың өзіне тән ерекше атауы  болған. Мәселен, батыс Канада индейцтерінде  «тха» деген сөз үш затты білдіреді. «тхане» - үш адамды, «тхат» - үш еселеуді т.с.с. білдіретін. Осы сөздердің  бәрінде ортақ «тх» дыбыстарының болуы осы жағдайлар үшін тән, ортақ нәрсе бар екендігі ұғыла  бастағанын, яғни заттардың саны әлі  де болса заттың өзінен мүлде абстракцияланбағанымен олардың сандық жағының ұғыныла  бастағанын көрсетеді.

Мұнда баса көрсететін жағдай, бұл сатыда жиынтықтың бәріне бірдей ерекше атау беріле бермейді, тек сол  тайпаның күнделікті тұрмыс жағдайында жиі кездесетін заттар тобына ғана беріледі.

Бара-бара заттарды топтау кең  өріс алады. Жазық формалы заттар бір принцип бойынша, дөңгеленіп келген заттар екінші принцип бойынша, қайықтар тобы 3-принцип бойынша, адамдар  тобы 4-принцип бойынша, т.с.с топталады. Осы топтардың арқайсысы ерекше атала бастайды. Кейбір халақтарда топтардың ондай жеті, он атаулары болған.

Санның әлі де болса  заттық түрінен абстракцияланбағанын, әлі сан ұғымы жоқ екенін, алайда кез келген топтың сандық жағы белгілі  бір дәрежеде ұғынылатынын көреміз. Мысалы: әр түрлі заттардан тұратын  топтар, айталық, формасы дөңгеленіп келсе бірдей аталады.

Мұндай саты жиынтық-сандармен санау деп аталады. Бұл саты абстракцияның арықарай дамуына жәрдемші болған. Ал ол болса, қандай да бір жиынтық санның универсалдануына мүмкіндік берген. Сандарды арықарай дамыту мен абстракциялау қалайша болған? Экономика мен товар алмасу дамыған сайын заттардың топтарының бірі басқа топтар үшін өлшеуіш болды дерлік, оларды бағалаудың шарты ақшаның қызметін атқаратын өзіндік бір формасы болды. Эканомика тұрғысынан мәні бар заттар тобының атауының екі функциясыы болған: бір жағынан ол заттардың өз атауы, ала екінші жағынан, олардың стандарт санын көрсетеді. Міне, осы заттар тобының біреуінің ерекше мәні болып, онымен басқа заттар тобын салыстыруғатол ыңғайлы болды. Мәселен, бірқатар халықтарда бағалаудың ондай қызметін жануарлар тобы атқарып келді, ол ақшаның қызметін атқарды, басқа халықтарда ақшаның қызметін қабыршақтар тобы атқаратын болды. Әр түрлі топ заттар ішінен салыстыру үшін қолданылатын және ақша қызметін атақарады дерлік қандай да біреуін осылайша бөліп алу бара- бара сол топтың сандық жағы көбірек түсінілетін дәрежеге келтірді. Бұл топтың аталуында енді  заттың аталуының өзі емес, сандық жағы басым бола бастады. Осылайша бара-бара сан мен оның атауы жөнінде ұғым пайда болды. Егер қол деген сөз қолды сонымен бірге бес саусақты көрсететін болса, енді қол деген сөз барған сайын сандық мәнге ие бола бастады. Жиынтықтармен санағанда әртүрлі заттартүрліші жиындарға топталып келген болса, енді басқа топтар салыстырылатын заттардың стандарт топтары да әдетте жалпы қабылданған топтауларға сәйкес келіп отырды.

Мұның өзі заттардың басқа  жиынтықтарының бәрін берілген стандарт топтармен салыстыруға мүмкіндік  туғызды: негізгі стандарт жиын болып  келетін сан ұғымы бірті-бірте  қалыптаса бастады. Мұндай стандарт топтарға математика тариханда түйінді сандар деген атау берілді. Түйінді сандармен өрнектелген стандарт жиындар заттар жиынтықтарын салыстыру құралы болып келеді.

Бірақ бұл универсал стандарт жиынтықтар адам санасында, тілінде  түйінді сандар түрінде бейнеленіп, бізге белгілі натурал қатар  ретімен пайда болмаған еді. Стандарт жиынтықтар арасында, сонымен бірге  түйінді сандар арасында әлі де болса  байланыс болмаған. Айталық, универсал  жиындармен 2, 5, 10 түйінді сандар болған дейік, бірақ олардың аралығындағы жиындар саны әлі де болса түсініксіз болған, демек атаулары да болмаған. Адамзаттың дамуының бұл сатысын түйінді сандармен санау сатысы деп атайды. Бірақ дамып отырған экономика сандық топтарды анықтауда барған сайын зор дәлдікті талап ететін болды. Тұтыну қажеттігі сана сезімді жетілдіре түсті, бара-бара аралық сандар да ұғыныла бастады, мәселен, түйінді 5 пен 1 сандары болды. Оларды комбинациялау жолымен аралақ сандар да өрнектеле бастады. Бұл процесті жазбаша римдік нумерациямен көрсету өте ыңғайлы. ІІІ –бұл үш рет қайталанған 1 саны, т.с.с. түйінді сандар оңашаланған кішкене аралдар сияқты болады, олардың айналасында түйінді сандарды бір-бірімен байланыстырып отырған жаңа сандар болған. Осы түйінді сандардың арасындағы аралық сандар алгорифмдік сандар деп аталады.

Олар іс жүзінде қалай  пайда болған? Оларды білу үшін солтүстік  Америкадағы үндістердің тілін  зерттеп үйрену керек.

Ғалымдар санауда етістіктердің  ерекше рөлінің барын көрсетті. Мұның  болса жиындарды классификациялауға көмегі тиді дерлік. Сондықтан мүндай етістіктер классификатор етістіктер деп аталады. Бұл етістіктерді үндіс, мәселен 10 және 10 сияқты қабылданған орнықты жиынтықтарға толықтырғанша пайдаланбаған. Ал егер оған 10 және 10-нан көп мысалы, 26-ны алып қою керек болғанда, ол 10 мен 10ды алып қойып, оған тағы да бірнеше зат қосып қоятын болған. Енді ол өз қимыл әрекетін  етістікпен қосарластыра айтатын. Яғни «Екі еселенген 10 жемістің үстіне айталық тағы алты жеміс қосып қоямын». Міне, алгорифмдік сан осы еді, ол сан әрекеттісанау операциясының нәтижесінде жұмсалатын, мұнда ең алдымен заттардың орнықты жиынтығы таңдап алынып, сонан соң ол қимыл қозғалыспен және етістік сөзбен көрсетіліп айтылатын қандай да бір заттар санымен толықтырылады. Алгорифмдік сандардың осылайша жасалу ізі көптеген тілдерде, соның ішінде орыс тілінде де бар.

Кейін бұл іс-әрекетті сипат  арифметикалық операция сипатына ие болып, барған сайын мүлде жойыла бастады. Бұл – римдік нумерациядан әсіресе айқын көрінетін болды.