Симметрические многочлены .Теорема Виета

k1 ³ k2 ³ … ³ kn                                                                            (2.3)

Действительно, пусть при некотором i будет ki< ki+1. Многочлен           f(x1, x2, … , xn), будучи симметрическим, должен содержать член

a0x1k1x2k2 … xiKi+1xi+1ki … xnkn, (2.4)

получающийся из члена (2.2) транспозицией неизвестных хi и хi+1.Это  приводит нас к противоречию, так как член (2.4) в смысле лексикографического расположения выше члена (2.2): показатели при х1, х2, ... , хi-1 в обоих членах совпадают, но показатель при хi в члене (2.4)  больше, чем в члене (2.2).

Возьмем теперь следующее произведение элементарных симметрических многочленов (ввиду неравенств (2.3) все показатели будут неотрицательными):

 

j1 = a0s1k1-k2s2k2-k3 … sn-1Kn-1-KnsnKn.                          (2.9)

                                                  

Это будет симметрический   многочлен от неизвестных х1, х2, ... , хn ,  причем его высший член равен члену (2.2). Действительно, высшие  члены многочленов s1,s2, s3, … , sn равны соответственно

x1, x1x2 , x1x2x3 ,…, x1x2 … xn ,

а так как высший член произведения равен произведению высших членов сомножителей, то высшим членом многочлена j1 будет

 

a0x1k1-k2(x1x2)k1-k3(x1x2x3)k3-k4…(x1x2…xn-1)Kn-1-Kn(x1x2…xn)Kn = aox1k1x2k2…xnKn .

 

Отсюда следует, что при вычитании j1 из f высшие члены этих многочленов взаимно уничтожатся, т.е. высший член симметрического  многочлена f-j1 = f1 будет ниже члена (2.2), высшего в многочлене  f. Повторяя для многочлена fi этот же прием, мы придем к равенству

f1 = j2+f2

где j2 есть произведение степеней элементарных симметрических многочленов, а f2 – симметрический многочлен , высший член которого  ниже, чем высший член в f1. Отсюда вытекает равенство

 

                   f = j1+j2+f2

 

Продолжая этот процесс, мы для некоторого s получим fs = 0 и поэтому придем к выражению для f в виде многочлена от s1,s2,…,sn:

                              s   

f(x1,x2,…,xn) = åjI = j(s1,s2,…,sn ) .

                               I=1

В самом деле, если бы этот процесс был бесконечным, то мы получили бы бесконечную последовательность симметрических  многочленов

   f1,f2,…,fs,…,                                                              (2.10)

причем высший член каждого из них был бы ниже, чем высшие члены  предшествующих многочленов, и тем более ниже, чем (2.2). Однако,  если

bx1l1x2l2…xnln                                                               (2.11)

есть высший член многочлена fs то из симметричности этого многочлена следуют неравенства

l1 ³ l2 ³  …³ ln ,                                                                               (2.12)

подобные неравенствам (2.3). С другой стороны, так как член (2.2) выше  члена (2.11), то

k1 ³ l1       (2.13)

Легко заметить ,что системы целых неотрицательных чисел l1,l2, … ,ln удовлетворяющих неравенствам (2.12) и (2.13), можно выбрать  лишь конечным числом способов. Действительно, если даже отказаться от требования (2.12) и лишь предполагать, что все li будет возможен лишь  
(k1 + 1)n  способами. Отсюда следует, что последовательность многочленов (2.10)  со строго понижающимися высшими членами не может быть бесконечной . Теорема доказана.

Рассмотрим некоторые возможные применения этой теоремы.

Метод решения симметрических систем состоит в представлении симметрических многочленов через многочлены от основных  симметрических многочленов.

x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy ,

x3 + y3 = (x + y)3  - 3xy (x + y),

x2 + y2 + z2 = (x + y + z)2 – 2 (xy + yz +zx).

 

ГЛАВА 3

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТЕОРЕМЫ ВИЕТА И ТЕОРИИ СИММЕТРИЧЕСКИХ  
МНОГОЧЛЕНОВ НА ПРИМЕРАХ.

 

Пример 1

Решить систему

Решение:

Многочлены x2 + 3xy + y2 и xy являются симметрическими от двух переменных x и y. Представим их через многочлены u = x + y и v = xy :

x2 + 3xy + y2 = (x + y)2 + xy =  u2 + v, xy = v.

Тогда для для переменных u и v получим систему

u2 + v = 61,

                                               v = 12,

которая равносильна системе

u2 = 49,

                                               v = 12,

имеющей решения: u 1 = 7, v1 = 12 и u 2 = -7, v2 = 12. Таким образом, исходная система равносильна совокупности двух систем:

                          x + y = 7,                          x + y = -7, 

                          xy = 12,                             xy = 12,

Решая каждую из этих систем, например, методом подстановки, получим решения исходной системы: (4;3), (3;4), (-4; -3), (-3; -4).

Пример 2

Пусть x1 и x2 - корни уравнения 3x2 – аx – 2а – 1 = 0. Вычислить x13 + x23.

Решение: По формуле суммы кубов получаем

  = x13 + x23 = (x1 + x2 )(x12 - x1x2 + x22 ) = (x1 + x2 )[(x1 + x2 )2 - 3x1 x2 ]

По теореме Виета

 x1 + x2 = а/3

x1 x2  = - 2а + 1/3

Значит

   f= а/3[а2/9 – 3( - 2а + 1/3) ] =  а/3[а2/9 + 2а + 1 ] = а(а2 + 18а + 9)/27

Ответ: а(а2 +18а + 9)/27

Пример 3

Найти наименьшее значение выражения x12 + x22  , если x1 и x2 - корни уравнения x2  - 2ах + а + 6 = 0.

Решение:

x12 + x22  = (x1 + x2)2  - 2x1 x2 = 4а2 – 2(а + b) = 4а2 – 2а – 12

Найдем наименьшее значение квадратного трехчлена y = 4а2 – 2а – 12 , а = ¼.

Теперь найдем наименьшее значение x12 + x22  , подставив в выражение

4а2 – 2а – 12 значение а = 1/4

Имеем x12 + x22  = 4 х 1/16 – 2 х 1/4 – 12 = - 49/4 = - 12,25

 

Ответ: - 12,25.

Пример 4

Пусть x1 и x2 - корни уравнения x2 – 17x –23= 0. Вычислить .

Решение:

.

По формуле суммы кубов и теоремы Виета получаем

 x13 + x23 = (x1 + x2 )(x12 - x1x2 + x22 ) = (x1 + x2 )[(x1 + x2 )2 - 3x1 x2 ]=17(172-3(-23))

.

И подставляя, =

Пример 5

Решить систему уравнений

Введем замену , , тогда система примет вид

Выразив через из второго уравнения и подставим в первое, получим уравнение, получим кубическое уравнение . Далее можно,- делитель свободного члена,  подобрав корень =2, и воспользовавшись теоремой Безу, решим уравнение. Получим: = 2, = -4. Тогда = 0 ,

= 6.

В результате:     х + у =2          или           х + у =   -4        

                             ху =0                               ху =      6 

 

 

первая система имеет решение: (2 ; 0), вторая система решений не имеет.

Ответ: (2 ; 0)

                            

                       

 

Список использованной литературы

 

1. Гальперин Г.А., Толпыго А.К., “Московские математические олимпиады”, М., “Просвещение”, 1986
2. Готман Э.Г., Скопець З.А., “Задача одна – решения разные”, К., Родник 1938
3. Горнштейн П.И., “Задачи с параметрами”, К.,  1999
4. В.Г. Болтянский, Н.Я. Виленкин Симметрия ав алгебре, МЦНМО, 2002.- 240 с
5. Под ред. Фирсова В.В., “Избранные вопросы математики”, М., “Просвещение”, 1990