Система одночасних рівнянь

                                                                    ПЛАН

ВСТУП……………………………………………………………....3

1. Поняття про системи одночасних рівнянь ………..……….…..4

         2. Структурна та зведена (прогнозна) форми системи рівнянь....7

         3. Поняття ідентифікації (ототожнення) системи рівнянь………9 
         СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ…………...……18

 

          Вступ

Багато економічних  взаємозв’язків допускають моделювання  одним рівнянням. Однак деякі  економічні процеси моделюються не одним, а кількома рівняннями. Співвідношення між економічними показниками можуть мати стохастичний і детермінований характер. Стохастичні зв’язки між змінними описуються регресійними рівняннями, а детерміновані визначаються тотожностями й не містять невідомих параметрів.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Поняття про  системи одночасних рівнянь

У системах рівнянь через  наявність прямих і зворотних  зв’язків залежна змінна одного рівняння може бути незалежною змінною в інших  рівняннях . Змінні, що стоять у лівій частині рівнянь, називаються ендогенними, причому їх кількість не перевищує загальної кількості всіх рівнянь. Інші змінні, що входять до моделі, називаються екзогенними.

Наприклад, повна кейнсіанська модель доходу складається з двох співвідношень:

де Ct - витрати на споживання; Yt — дохід; a₀, a₁ — невідомі параметри; u_t - залишки моделі; Z_t - неспоживчі витрати (інвестиції).

Перше співвідношення - це регресійна функція споживання, а друге - тотожність доходу. Величина доходу Yt для першого рівняння є незалежною змінною, для другого - залежною, а величина Ct - навпаки: у першому рівнянні вона є залежною змінною, у другому -незалежною. Для системи загалом змінні Yt і Ct є ендогенними, а змінна Zt - екзогенною.

Означення 8.1. Для систем одночасних рівнянь усі змінні, що можуть бути визначені із системи рівнянь, називаються ендогенними, причому їх кількість не перевищує загальної кількості рівнянь.

Означення 8.2. Для систем одночасних рівнянь усі змінні, які  задаються за межами моделі або є  заздалегідь відомими, називаються  відповідно екзогенними або предетермінованими.

У розглянутій кейнсіанській  моделі доходу величини Ct і Yt є ендогенними  змінними, що визначаються всередині  моделі. Змінна Zt задається (визначається) поза моделлю, отже, вона є екзогенною.

Із першого співвідношення цієї моделі видно, що змінна Ct залежить від доходу Yt і від залишків ut, а з другого співвідношення очевидна залежність доходу Yt від споживчих Ct і неспоживчих витрат Zt. Неважко помітити, що обидві змінні Ct і Yt можуть бути виражені через Zt і залишки ut.

Приклади систем одночасних рівнянь

1. Модель “попит - пропозиція”.

Одна з найпростіших систем одночасних рівнянь, що використовується при моделюванні попиту та пропозиції в ринковій економіці, має вигляд

Припускається, що обсяг  попиту qD і обсяг пропозиції qS певного товару в момент часу t є лінійними регресійними функціями від ціни цього товару pt у цей самий момент часу. Останнє співвідношення в цій моделі - функція рівноваги - є тотожністю.

Наявність випадкових відхилень ut і ut у даній моделі пов’язана передусім з відсутністю ряду важливих пояснюючих змінних (прибутку споживачів, цін на супутні товари, цін на ресурси, податків тощо).

Зміна одного з цих факторів може відбитися на моделі. Наприклад, зростання прибутку споживачів може зсунути лінію попиту вгору (рис.) Це призведе до зміни рівноважної ціни та рівноважної кількості.

Модель “попит - пропозиція”  можна вдосконалити. Наприклад, якщо до функції попиту додати прибуток споживачів yt, дістанемо систему

2. Модель рівноваги  на ринку товарів (модель IS).

Однією з можливих нестохастичних форм моделі IS (рівноваги  на ринку товарів) є така модель:

де ct, yt, τt, it, gt, rt, y (d) t —  відповідно значення в момент часу t споживання (ct), національного доходу (yt), обсягу податків (τt), бажаного обсягу чистих інвестицій (it), процентної ставки (rt ), розміщеного прибутку (y(d)t), державних витрат (gt), у даному разі gt=gt= const.

Щоб отримати в явному вигляді співвідношення між процентною ставкою й рівнем прибутку при  якому ринок товарів перебуває у стані рівноваги. Підставивши отримане співвідношення, дістанемо

3. Модель рівноваги  на ринку грошей (модель LM).

Рівновага на ринку грошей задається таким співвідношення між процентною ставкою та рівнем доходу, при якому попит на гроші  дорівнює їх пропозиції. Наведемо одну із нестохастичних форм такої моделі:

Співвідношення  можна  записати у вигляді

Співвідношення відоме як рівняння LM. Спільну модель IS-LM зображено  на рис.

Точка перетину ліній IS і LM визначає співвідношення між процентною ставкою й рівнем доходу, при якому обидва ринки перебувають у стані рівноваги. Ця точка визначається як розв’язок системи рівнянь

          Структурна та зведена (прогнозна) форми системи рівнянь

1. Структурна форма  економетричної моделі.

Структурна форма економетричної моделі описує одно- та бага-тосторонні стохастичні причинні співвідношення між економічними величинами в їх безпосередньому вигляді. Вона містить усю суттєву інформацію про залежності між економічними явищами та процесами. Кожне співвідношення такої системи (рівняння чи тотожність) має певну економічну інтерпретацію. Структурні рівняння системи описують окремо економічні явища з урахуванням економічних, технологічних, демографічних, соціологічних та інших факторів, що спричинюють змінювання залежних змінних. Характерною особливістю структурних рівнянь є їх певна автономність щодо визначених змінних, оскільки зміна останніх в одному структурному рівнянні не обов’язково зумовлює зміну залежних змінних в інших рівняннях.

Для адекватного відображення реальної дійсності та повного охоплення економічних показників одночасними співвідношеннями в системах застосовують також тотожності - детерміновані залежності економічних величин. Тотожності не містять випадкових складових, а параметри їх заздалегідь відомі (найчастіше вони дорівнюють одиниці), тому вони не підлягають оцінюванню. Отже, справедливим буде таке означення.

Означення 8.3. Економетрична  модель, що відображає структуру зв’язків між змінними, називається структурною  формою моделі. У загальному випадку структурна форма моделі має вигляд

де yt - вектор залежних (ендогенних ) змінних; xt - вектор незалежних (екзогенних ) змінних; ut — вектор залишків, t = 1,2,..., T.

2. Повна економетрична  модель. Економетрична модель називається  повною, якщо:

а) вона охоплює змінні, що суттєво впливають на спільно залежні змінні, а вектор залишків має випадковий характер;

б) містить стільки  рівнянь, скільки в ній є спільно  залежних змінних, тобто кожна залежна  змінна пояснюється окремим рівнянням;

в) система рівнянь має однозначний розв’язок відносно спільно залежних змінних, тобто матриця A в моделі (8.14) невироджена (має відмінний від нуля визначник): detA≠0.

Повна модель застосовується у випадках, коли необхідно кількісно  описати економічне явище чи процес або спрогнозувати їх розвиток.

3. Зведена форма економетричної  моделі.

Якщо економетрична  модель застосовується не для аналізу системи, а для передбачення чи оцінювання параметрів, структурна форма моделі неприйнятна. Алгебраїчними перетвореннями систему структурних рівнянь зводять до форми, у якій кожне рівняння містить лише одну ендогенну змінну, яка є функцією від екзогенних змінних. Така форма рівнянь називається зведеною.

Зведену форму рівнянь  можна назвати скороченою. Це пов’язано  з тим, що при певних перетвореннях багато окремих економічних залежностей можуть бути виключені з розгляду, а отже, загальна кількість рівнянь може скоротитися.

Внаслідок таких перетворень  зведена форма рівнянь, на відміну  від структурної, не має ні безпосередньої, ні будь-якої економічної інтерпретації. Рівняння у зведеній формі дають змогу передбачити, як зміниться значення ендогенної змінної, якщо змінюватимуться значення екзогенних змінних, однак на підставі цих рівнянь неможливо пояснити, як і чому це відбувається. Саме через це зведену форму рівнянь називають також прогнозною.

Отже, коли виникає питання  про консультації чи практичні поради, системи рівнянь у зведеній формі особливо корисні, оскільки дають змогу формальну модель звести до мінімальної кількості співвідношень. Звичайно, зведена модель матиме цінність, якщо правильною є початкова структурна модель.

Зокрема, якщо економетрична  модель повна, то її залежні змінні можна представити в явному вигляді як функції від спільно незалежних змінних, розв’язавши її відносно вектора залежних змінних yt. Це можливо, оскільки за означенням матриця A такої моделі є не виродженою; після множення системи (8.14) на її обернену матрицю отримаємо

При таких перетвореннях  параметри зведеної форми стають функціями від параметрів вихідних структурних рівнянь і залишки такої моделі, очевидно, є лінійною комбінацією залишків структурної моделі.

Увівши позначення vt = A -1ut , R = A -1B, отримаємо спрощений  вигляд моделі:

У такій системі кожна  залежна змінна визначається через незалежні змінні моделі, тобто система (8.16) є зведеною формою економетричної моделі.

Поняття ідентифікації (ототожнення) системи рівнянь

Маючи дві форми системи  одночасних рівнянь, необхідно визначити, яка з них краще підходить для оцінювання параметрів моделі. Передусім необхідно дослідити можливості застосування звичайного МНК до окремих рівнянь системи.

Як зазначалося (тема 3), для отримання незміщених і обгрунтованих оцінок параметрів регресійного рівняння за звичайним МНК необхідно виконати ряд передумов: залишки моделі мають бути випадковими величинами з нульовим математичним сподіванням, зі сталими дисперсіями, некорельованими між собою та незалежними відносно ендогенних змінних моделі.

Нехай залишки моделі ut є випадковими, з нульовим математичним сподіванням, некорельовані між собою, мають однакові дисперсії для всіх спостережень, тобто задовольняють перші дві передумови застосування МНК. Перевіримо передумову відносно незалежності ендогенних змінних і залишків моделі, тобто переконаємося, що cov(Yt,ut) = 0 для будь-яких відхилень.

Підставивши значення Q з першого  рівняння моделі в друге, отримаємо  співвідношення

розв’язавши яке відносно Yt, матимемо

Зазначимо, що коефіцієнт — в останньому співвідношенні * 1-а1 У

є грошовим мультиплікатором, що визначає, на яку величину зростає

сукупний прибуток зі збільшенням  обсягу інвестицій на одиницю.

Наявність коефіцієнта — при ut свідчить про залежність між змінною Yt і залишками моделі. Дійсно, з  маємо

В останньому співвідношенні враховано те, що М(ut) = 0, а також  те, що змінна є екзогенною (незалежною) для даної моделі. Тоді різниця між становить

Отже,

Тут ми скористалися твердженням  економічної теорії про те, що гранична схильність до споживання at перебуває  в межах 0<а1 <1.

Отже, залишки моделі корелюють  із залежною змінною, тому застосування звичайного МНК дасть зміщені та необгрунтовані оцінки параметрів моделі. В останньому можна переконатися, проаналізувавши оцінку ах параметра а^ рівняння (8.1), отриману за МНК.

Щоб забезпечити необхідну  якість оцінок параметрів (незміщеність, ефективність і обґрунтованість), намагаються  на підставі оцінених параметрів скороченої (зведеної) форми системи рівнянь  отримати оцінки параметрів структурної  форми. Однак тут виникає проблема однозначних залежностей між параметрами: при поверненні від скороченої форми моделі до структурної (обернені перетворення) можна отримати єдине значення шуканого параметра чи кілька різних значень або взагалі не мати змоги отримати жодного.

Щоб передбачити можливі варіанти розв'язання задачі оцінювання параметрів системи одночасних рівнянь, необхідно попередньо дослідити модель, а саме перевірити ідентифікованість системи. Під проблемою ідентифікації розуміють можливість чисельної оцінки параметрів структурних рівнянь за оцінками коефіцієнтів зведених рівнянь.

Означення 8.4. Економетрична  модель, задана системою одночасних рівнянь, називається точно (строго) ідентифікованою (ототожненою), якщо однозначно можна  отримати оцінки її параметрів на основі оцінених параметрів зведеної моделі.

Означення 8.5. Надідентифікованою (переототожненою) називається така модель, що для деяких її параметрів можна отримати кілька кількісних значень  на підставі параметрів зведеної форми.

Крім того, модель може бути неідентифікованою (неототожне-ною). Це трапляється в тому разі, якщо кількість невідомих параметрів набагато перевищує кількість рівнянь, через які їх треба оцінити.