Системы уравнений

Міністерство освіти і науки Російської Федерації
Федеральне агентство з освіти
Московський автомобільно-дорожній інститут (ГТУ) МФ
Факультет «АТ»
Кафедра «Про і БД»
Курсова робота
по предмету
«Прикладна Математика»
Виконав студент 2ЕТ гр. Мусіев Г.М.
Перевірив викладач Баламірзоев А.Г.
Махачкала 2008 р .

Зміст
Введення
1. Рішення нелінійних рівнянь. Метод поділу відрізка навпіл. Метод дотичних. Комбінований метод хорд і дотичних
2. Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Методом Крамера. Методом Гауса. Метод Жордана Гаусса. Метод Зейделя
3. Математична обробка результатів досвіду. Апроксимація функцій. Поліном Лагранжа. Метод найменших квадратів
4. Чисельні методи розв'язання звичайних диференціальних рівнянь. Метод Ейлера. Метод Рунге - Кутта
5. Практичний розділ

Введення
У досить загальному випадку процес вирішення прикладних завдань складається з наступних етапів:
1. постановка задачі та побудова математичної моделі (етап моделювання);
2. вибір методу і розробка алгоритму (етап алгоритмізації);
3. запис алгоритму мовою, зрозумілою ЕОМ (етап програмування);
4. налагодження та виконання програми на ЕОМ (етап реалізації);
5. аналіз отриманих результатів (етап інтерпретації).
Фабула практичних завдань пов'язана з реальними об'єктами - виробничими процесами і явищами природи, фізичними закономірностями, економічними відносинами і т.п. Рішення задач зазвичай починається з опису вихідних даних і цілей на мові суворо визначених математичних понять. Точне формулювання умов та цілей рішення називають математичною постановкою завдання. Етап дослідження та опису їх за допомогою математичних термінів називається побудовою математичної моделі або моделюванням. Побудова математичної моделі є найбільш складним етапом вирішення задачі. Математична модель може мати вигляд рівняння, системи рівнянь або бути вираженою у формі інших, як завгодно складних, математичних структур або співвідношень самої різної природи. Математичні моделі, зокрема можуть бути безперервними або дискретними, в залежності від того, якими величинами - безперервними або дискретними - вони описані.
Слідом за побудовою математичної моделі йде етап пошуку та розробки алгоритму розв'язання задачі який називається алгоритмізацією.
Особливі труднощі на етапі пошуку алгоритму полягає в пошуку методі розв'язання задачі. Справа в тому, що вже для досить простих моделей найчастіше не вдається отримати результат в аналітичній формі. Нехай, наприклад, завдання звелася до розв'язання рівняння з однією змінною: x - tg x = 0. При всій тривіальності цього завдання висловити коріння рівняння шляхом аналітичних перетворень не вдається, і весь арсенал методів «точної» математики виявляється тут безпорадним. У таких випадках доводиться використовувати наближені математичні методи, що дозволяють отримувати задовільні результати. Основними методами вирішення подібних завдань є чисельні методи, при використанні яких результат виходить шляхом обчислень. З цієї причини найбільш природний шлях реалізації чисельних методів - це використання ЕОМ.
На наступному етапі алгоритм задачі записується мовою, зрозумілою ЕОМ. Це-етап програмування, потім йде етап реалізації-виконання програми на ЕОМ та отримання результатів рішення.
Завершальний етап рішення задачі - це аналіз, чи інтерпретація результатів. На цьому етапі відбувається осмислення отриманих результатів, співставлення їх з результатами контрольного прорахунку, а також з даними, отриманими експериментальним шляхом. При цьому одні результати можуть виявитися прийнятними, а інші - суперечать змістом реального завдання, такі рішення слід відкинути. Вищим критерієм придатності отриманих результатів у кінцевому підсумку є практика.
В умовах використання ЕОМ чисельні методи є потужним засобом вирішення практичних завдань, хоча ЕОМ навпаки ускладнює оцінку точності одержуваних результатів, як викладено у відомому принципі Пітера «ЕОМ багаторазово збільшує некомпетентність обчислювача».
На загальну похибку завдання впливає цілий ряд факторів, починаючи з побудови математичної моделі до виробництва обчислень. Сюди входять: невиправна похибка, похибка методу, обчислювальна похибка і в підсумку, повна похибка випливає із суми всіх похибок. При вирішенні конкретних завдань ті чи інші види похибок можу бути відсутнім або незначно впливати на кінцевий результат, тим не менш, в кожному випадку необхідний повний аналіз похибок всіх видів. Це повною мірою відноситься і до непереборний похибки - похибки математичної моделі.
До числа причин слід віднести також промахи, допущені в результаті рішення задачі: використання не тих даних, невірної програми обчислень і т.д. Тому необхідна груба прикидка очікуваного результату, а це неможливо без ознайомлення з поняттями наближених методів обчислень, поетом розглянемо деякі методи наближених обчислень, застосовувані в прикладній математиці.

1. Рішення нелінійних рівнянь. Метод поділу відрізка навпіл. Метод дотичних. Комбінований метод хорд і дотичних
Задача про знаходження наближених значень дійсних коренів рівняння f (x) = 0 передбачає попереднє відділення кореня, тобто встановлення проміжку, в якому інших коренів даного рівняння немає. Будемо припускати, що функція f (x) у проміжку [a, b] неперервна разом зі своїм похідним f '(x) і f''(x), значення f (a) і f (b) функції на кінцях проміжку мають різні знаки, тобто f (a) * f (b) <0, і обидві похідні f '(x) і f''(x) зберігають знак у всьому проміжку [a, b].
Так як дійсним корінням рівняння f (x) = 0 є абсциси точок перетину кривої у = f (x) з віссю Ox, то відділення кореня можна зробити графічно. Замість рівняння у = f (x) можна взяти рівняння у = rf (x), де r - постійна величина, відмінна від нуля, так як рівняння f (x) = 0 і rf (x) = 0 рівносильні.
Постійну величину r можна взяти так, щоб ординати точок графіка не були надмірно великими чи, навпаки, щоб графік не був занадто близький до осі Ox. Іноді буває корисно рівняння f (x) = 0 записати у вигляді (X) = (X). Дійсними корінням вихідного рівняння служать абсциси точок перетину графіків функцій y = (X) і в = (X)
1.Метод розподілу відрізка навпіл. Інтервал ізоляції дійсно кореня завжди можна зменшити шляхом поділу його, наприклад, навпіл, визначаючи, на кордонах який з частин початкового інтервалу функція f (x) змінює знак. Потім отриманий інтервал знову ділять на дві частини і т.д. Такий процес проводиться до тих пір, поки не перестануть змінюватися зберігаються у відповідь десяткові знаки.
2.Метод дотичних. Нехай дійсний корінь рівняння f (x) = 0 ізольований на відрізку [a, b]. Будемо припускати, що всі обмеження, сформульовані вище щодо f (x), зберігають чинність і в цьому випадку. Візьмемо на відрізку [a, b] таке число xo, при якому f (xo) має той же знак, що і fn (xo), тобто f (xo) o)> 0 (зокрема, за xo може бути прийнятий той з кінців відрізка [a, b], в якому дотримано цю умову). Проведемо в точці Mo [xo; f (xo)] дотичну до кривої y = f (x). За наближене значення кореня приймемо абсцису точки перетину цієї дотичної з віссю Ox. Це наближене значення кореня знаходиться за формулою
х1 = х0 - f (хо) / fI (хо)
Застосувавши цей прийом вдруге в точці M1 [x1; f (x1)], знайдемо
X2 = X1 - f (x1) / (x1)
і т. д. Отримана таким чином послідовність xo, x1, x2 ... має своїм межею шуканий корінь.
Для оцінки похибки наближеного значення кореня, знайденого методом Ньютона, може бути використано нерівність

| Х - ξ | <[f (ξ)] 2 / 2 Ч max | fII (х) / [fI (х)] 3 |
[A., b]
3. Комбінований метод хорд і дотичних. Нехай потрібно знайти дійсний корінь рівняння f (x) = 0, ізольований на відрізку [a, b]. Передбачається, що f (a) і f (b) мають рівні знаки, а кожна з похідних зберігає певний знак на відрізку ізоляції. Візьмемо на відрізку [a, b] таку точку xo, що f (xo) і f "(xo) (при x, що належить проміжку ізоляції) мають однакові знаки.
Скористаємося формулами методів хорд і дотичних:

X11 = Xo-f (xo) / f1 (xo); X12 = a - (b - a) f (a) / f (b) - f (a).
Величини X11 і X12 належать проміжку ізоляції, причому f (X11) і f (X12) мають різні знаки.
X21 = X11-f (x11) / f1 (x11); X22 = X11-(X12-X11) f (X11) / f (X12) - f (X11).
Точки X21 і X22 на числовій осі розташовані між точками X11 і X12, причому f (X21) і f (X22) мають різні знаки.
Обчислимо тепер значення
X31 = X21-f (x21) / f1 (x21); X32 = X21-(X22-X21) f (X21) / f (X22) - f (X21).
Кожна з послідовностей X11, X21, X31, ... Xn1, ...; X12, X22, X32, ..., Xn2, ... прагне до шуканого кореня, причому одна з послідовностей монотонно зростає, а інша - монотонно убуває. Нехай, наприклад, Xn1 <X <Xn2, тоді 0 <X-Xn-1 < Xn2-Xn2 - Xn1. Задавши заздалегідь досить мале ми можемо, збільшуючи n, домогтися виконання нерівності Xn2 - Xn1 < ; Отже, при цьому ж значенні n виконуватиметься нерівність
X - Xn1 < . Таким чином, Xn1 є наближеним значенням кореня X, обчисленими з похибкою, що не перевищує .
Так, наприклад, для знаходження наближеного значення X з точністю до 0,001 потрібно визначити n таким чином, щоб значення Xn1 і Xn2, обчислені з точністю до 0,001, збігалися.

2. Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Методом Крамера. Методом Гауса. Метод Жордана Гаусса. Метод Зейделя
Рішення систем лінійних алгебраїчних рівнянь - одна з основних задач обчислювальної лінійної алгебри. Хоча завдання вирішення системи лінійних рівнянь порівняно рідко представляє самостійний інтерес для додатків, від уміння ефективно вирішувати такі системи часто залежить сама можливість математичного моделювання найрізноманітніших процесів з застосуванням ЕОМ. Значна частина чисельних методів розв'язання яких (особливо - нелінійних) завдань включає в себе вирішення систем лінійних рівнянь як елементарний крок відповідного алгоритму. Одна з труднощів практичного вирішення систем великої розмірності пов'язана з обмеженістю оперативної пам'яті ЕОМ. Хоча обсяг оперативної пам'яті новостворюваних обчислювальних машин зростає дуже швидко, тим не менш, ще швидше зростають потреби практики у вирішенні завдань все більшої розмірності. У значній мірі обмеження на розмірність розв'язуваних систем можна зняти, якщо використовувати для зберігання матриці зовнішні запам'ятовуючі пристрої. Однак у цьому випадку багаторазово зростають як витрати машинного часу, так і складність відповідних алгоритмів. Тому при створенні обчислювальних алгоритмів лінійної алгебри велику увагу приділяють способам компактного розміщення елементів матриць в пам'яті ЕОМ.
На щастя, додатки дуже часто призводять до матриць, в яких число ненульових елементів багато менше загального числа елементів матриці. Такі матриці прийнято називати розрідженими. Одним з основних джерел розріджених матриць є математичні моделі технічних пристроїв, що складаються з великого числа елементів, зв'язки між якими локальні. Найпростіші приклади таких пристроїв - складні будівельні конструкції і великі електричні кола.
Відомі приклади вирішених в останні роки завдань, де число невідомих сягало сотень тисяч. Природно, це було б неможливо, якби відповідні матриці не були розрідженими (матриця системи з 100 тис. рівнянь у форматі подвійної точності зайняла б близько 75 Гбайт).
Методом Крамера. Відомо, що використовуючи матриці ми можемо вирішувати різні системи рівнянь, причому ці системи можуть бути який завгодно величини і мати скільки завгодно змінних. За допомогою декількох висновків і формул рішення величезних систем рівнянь стає досить швидким і більш легким.
Зокрема, я опишу методи Крамера і Гауса. Найлегшим способом є метод Крамера (для мене), або як його ще називають - формула Крамера. Отже, припустимо, що ми маємо якусь систему рівнянь ,
у вигляді матриці цю систему можна записати таким чином:
A = ,
де відповіді будуть рівнянь будуть знаходиться в останньому стовпці. Тепер ми введемо поняття основного визначника; в даному випадку він буде виглядати таким чином: = .

Основним визначником як ви вже помітили є матриця складена з коефіцієнтів стоять при змінних. Вони також йдуть в порядку стовпців, тобто в першому стовпці стоять коефіцієнти, які знаходяться при x, у другому стовпці при y, і так далі. Це дуже важливо, бо в наступних діях ми будемо замінювати кожен стовпець коефіцієнтів при змінній на стовпець відповідей рівнянь. Отже, як я вже говорив, ми замінюємо стовпець при першій змінної на стовпець відповідей, потім при другій, звичайно це все залежить від того, скільки змінних нам потрібно знайти. 1 = , 2 = , 3 = .
Потім потрібно знайти визначники 1, 2, 3. Як знаходиться визначник третього порядку ви вже знаєте. А ось тут ми і застосовуємо правило Крамера. Він виглядає так:
x1 = , X2 = , X3 =
- Для даного випадку, а в загальному вигляді воно виглядає наступним чином: xi = . Визначник складений з коефіцієнтів при невідомих, називається визначником системи.

2. Метод Гаусса. Одним з найпоширеніших методів розв'язування систем лінійних рівнянь є метод Гауса. Цей метод (який також називають методом послідовного виключення невідомих) відомий у різних варіантах вже більше 2000 років.

Обчислення за допомогою методу Гаусса полягають у послідовному вилученні невідомих із системи для перетворення її до еквівалентної системі з верхньою трикутною матрицею. Обчислення значень невідомих виробляють на етапі зворотного ходу.
Схема єдиного ділення. Розглянемо спочатку найпростіший варіант методу Гауса, званий схемою єдиного ділення.
Прямий хід складається з n - 1 кроків винятку.
1-й крок. Метою цього кроку є виняток невідомого x1 з рівнянь з номерами i = 2, 3, ..., n. Припустимо, що коефіцієнт a11 ¹ 0. Будемо називати його головним елементом 1-го кроку.
Знайдемо величини
qi1 = ai1/a11 (i = 2, 3, ..., n),
звані множниками 1-го кроку. Віднімемо послідовно з другого, третього, ..., n-го рівнянь системи перше рівняння, помножене відповідно на q21, q31, ..., qn1. Це дозволить перетворити на нуль коефіцієнти при x1 у всіх рівняннях, крім першого. У результаті отримаємо еквівалентну систему
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1,
a22 (1) x2 + a23 (1) x3 + ... + a2n (1) xn = b2 (1),
a32 (1) x2 + a33 (1) x3 + ... + a3n (1) xn = b3 (1),
an2 (1) x2 + an3 (1) x3 + ... + ann (1) xn = bn (1).
в якій aij (1) і bij (1) обчислюються за формулами
aij (1) = aij - qi1a1j, bi (1) = bi - qi1b1.
2-й крок. Метою цього кроку є виняток невідомого x2 з рівнянь з номерами i = 3, 4, ..., n. Нехай a22 (1) ≠ 0, де a22 (1) - коефіцієнт, званий головним (або ведучим) елементом 2-го кроку. Обчислимо множники 2-го кроку
qi2 = ai2 (1) / a22 (1) (i = 3, 4, ..., n)
і віднімемо послідовно з третього, четвертого, ..., n-го рівняння системи друге рівняння, помножене відповідно на q32, q42, ..., qm2. У результаті отримаємо систему
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1,
a22 (1) x2 + a23 (1) x3 + ... + a2n (1) = b2 (1),
a33 (2) x3 + ... + a3n (2) xn = b3 (2),
an3 (2) x3 + ... + ann (2) xn = bn (2).
Тут коефіцієнти aij (2) і bij (2) обчислюються за формулами
aij (2) = aij (1) - qi2a2j (1), bi (2) = bi (1) - qi2b2 (1).
Аналогічно проводяться інші кроки. Опишемо черговий k-й крок.
k-й крок. У припущенні, що головний (провідний) елемент k-го кроку akk (k-1) відмінний від нуля, обчислимо множники k-го кроку
qik = aik (k-1) / akk (k-1) (i = k + 1, ..., n)
і віднімемо послідовно з (k + 1)-го, ..., n-го рівнянь отриманої на попередньому кроці системи ke рівняння, помножене відповідно на
qk +1, k, qk +2, k, ..., qnk.
Після (n - 1)-го кроку виключення отримаємо систему рівнянь

a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1,
a22 (1) x2 + a23 (1) x3 + ... + a2n (1) xn = b2 (1),
a33 (2) x3 + ... + a3n (2) xn = b3 (2),
ann (n-1) xn = bn (n-1).
матриця A (n-1) якої є верхньою трикутною. На цьому обчислення прямого ходу закінчуються.

Зворотний хід. З останнього рівняння системи знаходимо xn. Підставляючи знайдене значення xn в передостаннє рівняння, отримаємо xn-1. Здійснюючи зворотний підстановку, далі послідовно знаходимо xn-1, xn-2, ..., x1. Обчислення невідомих тут проводяться за формулами
xn = bn (n-1) / ann (n-1),
xk = (bn (k-1) - ak, k +1 (k-1) xk +1 - - akn (k-1) xn) / akk (k-1), (k = n - 1, 1) .
Необхідність вибору головних елементів. Зауважимо, що обчислення множників, а також зворотна підстановка вимагають поділу на головні елементи akk (k-1). Тому якщо один з головних елементів оказивиется рівним нулю, то схема єдиного ділення не може бути реалізована. Здоровий глузд підказує, що і в ситуації, коли всі головні елементи відмінні від нуля, але серед них є близькі до нуля, можливий неконтрольований ріст похибки.
Метод Гаусса з вибором головного елемента по стовпцю (схема часткового вибору). Опис методу. На k-му кроці прямого ходу коефіцієнти рівнянь системи з номерами i = k + 1, ..., n перетворюються за формулами
aij (k) = aij (k-1) - qikakj, bi (k) = bi (k-1) - qikbk (k-1), i = k + 1, ..., n.

Інтуїтивно ясно, що для уникнення сильного зростання коефіцієнтів системи та пов'язаних з цим помилок не можна допускати появи великих множників qik.
У методі Гаусса з вибором головного елементоа за стовпцем гарантується, що | qik | ≤ 1 для всіх k = 1, 2, ..., n - 1 і i = k + 1, ..., n. Відмінність цього варіанту методу Гауса від схеми єдиного поділу полягає в тому, що на k-му кроці виняток як головного елемента вибирають максимальний за модулем коефіцієнт aikk за невідомої xk в рівняннях з номерами i = k + 1, ..., n. Потім відповідне обраному коефіцієнту рівняння з номером ik міняють місцями з k-м рівнянням системи для того, щоб головний елемент зайняв місце коефіцієнта akk (k-1). Після цієї перестановки виняток невідомого xk виробляють, як у схемі єдиного ділення.
Метод Гаусса з вибором головного елемента по всій матриці (схема повного вибору). У цій схемі допускається порушення природного порядку вилучення невідомих.
На 1-му кроці методу серед елементів aij визначають максимальний по модулю елемент ai1j1. Перше рівняння системи і рівняння з номером i1 міняють місцями. Далі стандартним чином виробляють виняток невідомого xi1 із усіх рівнянь, крім першого.
На k-му кроці методу серед коефіцієнтів aij (k-1) при невідомих в рівняннях системи з номерами i = k, ..., n вибирають максимальний за модулем коефіцієнт aikjk (k-1). Потім k-е рівняння і рівняння, що містить знайдений коефіцієнт, міняють місцями і виключають невідоме xjk з рівнянь з номерами i = k + 1, ..., n.
На етапі зворотного ходу невідомі обчислюють у наступному порядку: xjn, xjn-1, ..., xj1.

3. Метод Зейделя 3.2.1. Приведення системи до виду, зручного для ітерацій. Для того щоб застосувати метод Зейделя до розв'язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь

Ax = b
з квадратною невиродженої матрицею A, необхідно попередньо перетворити цю систему до вигляду
x = Bx + c.
Тут B - квадратна матриця з елементами bij (i, j = 1, 2, ..., n), c - вектор-стовпець з елементами cij (i = 1, 2, ..., n).
У розгорнутій формі запису система має такий вигляд:
x1 = b11x1 + b12x2 + b13x3 + ... + b1nxn + c1
x2 = b21x1 + b22x2 + b23x3 + ... + b2nxn + c2
xn = bn1x1 + bn2x2 + bn3x3 + ... + bnnxn + cn
Взагалі кажучи, операція приведення системи до виду, зручного для ітерацій, не є простою і вимагає спеціальних знань, а також істотного використання специфіки системи.
Найпростіший спосіб приведення системи до виду, зручного для ітерацій, полягає в наступному. З першого рівняння системи висловимо невідоме x1:
x1 = a11-1 (b1 - a12x2 - a13x3 - ... - a1nxn),
з другого рівняння - невідоме x2:

x2 = a21-1 (b2 - a22x2 - a23x3 - ... - a2nxn),
і т. д. У результаті отримаємо систему
x1 = b12x2 + b13x3 + ... + b1, n-1xn-1 + b1nxn + c1,
x2 = b21x1 + b23x3 + ... + b2, n-1xn-1 + b2nxn + c2,
x3 = b31x1 + b32x2 + ... + b3, n-1xn-1 + b3nxn + c3,
xn = bn1x1 + bn2x2 + bn3x3 + ... + bn, n-1xn-1 + cn,
в якій на головній діагоналі матриці B знаходяться нульові елементи. Інші елементи виражаються за формулами
bij =-aij / aii, ci = bi / aii (i, j = 1, 2, ..., n, j ≠ i)
Звичайно, для можливості виконання зазначеного перетворення необхідно, щоб діагональні елементи матриці A були ненульовими.
Опис методу. Введемо нижню і верхню трикутні матриці 000 ... 00b12b13 ... b1n
B 1 = b2100 ... 0 B 2 = 00b23 ... b2n
b31b320 ... 0, 000 ... b3n
bn1bn2bn3 ... 0000 ... 0
Зауважимо, що B = B 1 + B 2 і тому рішення x вихідної системи задовольняє рівності
x = B 1 x + B 2 x + c.

Виберемо початкове наближення x (0) = [x1 (0), x2 (0), ..., xn (0)] T. Підставляючи його в праву частину рівності при верхньої трикутної матриці B 2 і обчислюючи отриманий вираз, знаходимо перше наближення
x (1) = B 1 x (0) + B 2 x (1)
Підставляючи наближення x (1), отримаємо
x (2) = B 1 x (1) + B 2 x (2)
Продовжуючи цей процес далі, одержимо послідовність x (0), x (1), ..., x (n), ... наближень до розрахованих за формулою
x (k +1) = B 1 (k +1) + B 2 (k) + c
або в розгорнутій формі запису
x1 (k +1) = b12x2 (k) + b13x2 (k) + ... + b1nxn (k) + c1,
x2 (k +1) = b21x1 (k +1) + b23x3 (k) + ... + b2nxn (k) + c2,
x3 (k +1) = b31x1 (k +1) + b32x2 (k +1) + ... + b3nxn (k) + c3,
xn (k +1) = bn1x1 (k +1) + bn2x2 (k +1) + bn3x3 (k +1) + ... + cn.
Об'єднавши приведення системи до виду, зручного для ітерацій і метод Зейделя в одну формулу, отримаємо
xi (k +1) = xi (k) - aii-1 (Σj = 1i-1 aijxj (k +1) + Σj = 1n aijxi (k) - bi).
Тоді достатньою умовою збіжності методу Зейделя буде

Σj = 1, j ≠ in | aij | <| aii |
(Умова домінування діагоналі).
Метод Зейделя іноді називають також методом Гауса-Зейделя, процесом Лібмана, методом послідовних заміщень.
4. Метод Жордана - Гаусса.
Схема з вибором головного елемента полягає в тому, що вимога нерівності нулю діагональних елементів akk, на які відбувається поділ у процесі виключення, заміняться більш жорстким: з усіх елементів К-го стовпа вибрати найбільший за модулем і переставити рівняння так, щоб цей елемент виявився на місце елемента акк. Вибір головного елемента і пов'язана з ним перестановка рядків необхідні в тих випадках, коли на якому-небудь i-му кроці акк = 0 або ж акк дуже мало в рештою елементів i-го стовпця: при розподілі на таке «мале» акк будуть виходити великі числа з великими абсолютними похибками, в результаті чого рішення може сильно спотворитися.
Нижче викладається алгоритм повного виключення невідомих або метод Жордана - Гаусса. Суть методу полягає в тому, що, розглянувши перше рівняння, в ньому невідоме з коеффіціентом, відмінним від нуля (надалі дозволяє елемент), і поділивши перше рівняння на цей коефіцієнт, за допомогою першого рівняння виключають це невідоме із усіх рівнянь, крім першого. Вибравши в другому рівнянні невідоме з коефіцієнтом, відмінним від нуля, і розділивши на нього друге рівняння, за допомогою другого виключають інші невідомі з усіх рівнянь, крім другого і т.д., тобто за допомогою одного рівняння роблять повне виключення одного невідомого. Процес продовжується до тих пір, поки не будуть використані всі рівняння.
Як відомо, системи лінійних алгебраїчних рівнянь можуть має одне рішення, безліч рішень або системи несумісні. При елементарних перетвореннях елементів матриці системи ці випадки виявляються в наступному:
1. У процесі винятків ліва частина I-го рівняння системи перетворюється в нуль, а права частина дорівнює деякому числу, відмінному від нуля. тобто 0 2 + = Bc 0.
Це означає, що система не має рішень, так як I - му рівнянню не можуть задовольняти ніякі значення невідомих;
2. Ліва та права частини I - го рівняння звертаються в нуль. Це означає, що I - е рівняння є лінійною комбінацією інших, йому задовольняє будь знайдене рішення системи, тому воно може бути відкинуто. У системі кількість невідомих більша за кількість рівнянь і, отже, така система має безліч рішень;
3. Після того як всі рівняння використані для виключення невідомих отримано рішення системи.
Таким чином, кінцевою метою перетворень Жордана-Гаусса є отримання із заданої лінійної системи

Тут x1, x2, ..., xn - невідомі, які треба визначити. a11, a12, ..., amn - коефіцієнти системи - і b1, b2, ... bm - вільні члени - передбачаються відомими. Індекси коефіцієнтів (aij) системи позначають номери рівняння (i) та невідомого (j), при якому стоїть цей коефіцієнт, відповідно.
Система (1) називається однорідною, якщо всі її вільні члени дорівнюють нулю (b1 = b2 = ... = bm = 0), інакше - неоднорідна.
Система (1) називається квадратною, якщо кількість m рівнянь дорівнює числу n невідомих.
Рішення системи (1) - сукупність n чисел c1, c2, ..., cn, таких що підстановка кожного ci замість xi в систему (1) звертає всі її рівняння в тотожності.
Система (1) називається спільної, якщо вона має хоча б одне рішення, і несумісною, якщо у неї немає ні одного рішення.
Спільна система виду (1) може мати одну чи більше рішень.
Рішення c1 (1), c2 (1), ..., cn (1) і c1 (2), c2 (2), ..., cn (2) спільної системи виду (1) називаються різними, якщо порушується хоча б одне з рівностей :
c1 (1) = c1 (2), c2 (1) = c2 (2), ..., cn (1) = cn (2).
Спільна система виду (1) називається визначеною, якщо вона має єдине рішення, якщо ж у неї є хоча б два різних рішення, то вона називається невизначеною. Якщо рівнянь більше, ніж невідомих, вона називається перевизначених.
Вирішимо наступну систему рівнянь:
Запишемо її у вигляді матриці 3Ч4, де останній рядок є вільним членом:
Проведемо наступні дії:
· До рядку 2 додамо: -4 * Рядок 1.
· До рядку 3 додамо: -9 * Рядок 1.
Отримаємо:
· До рядку 3 додамо: -3 * Рядок 2.
· Рядок 2 ділимо на -2
· До рядку 1 додамо: -1 * Рядок 3.
· До рядку 2 додамо: -3 / 2 * Рядок 3.
· До рядку 1 додамо: -1 * Рядок 2.
У правому стовпчику отримуємо рішення: .

3. Математична обробка результатів досвіду. Апроксимація функцій. Поліном Лагранжа. Метод найменших квадратів
У обчислювальної математики нерідкі випадки, коли одну функцію доводиться замінювати іншою, більш простою і зручною для подальшої роботи. Таке завдання називають апроксимацією функцій.
Приводом для апроксимації функції може послужити, зокрема, табличний спосіб її завдання. Припустимо, що в результаті деякого експерименту для кінцевого набору значень xi величини x з відрізка [a, b].
a = x0 <x1 <... xi ... <xn = b
отримано набір значень yi величини y (табл. 4.1). Якщо допустити, що між x і y існує функціональна залежність y = F (x), можна поставити питання про пошук аналітичного представлення функції F (очевидно, що в такій загальній постановці ця задача вирішується неоднозначно). Точки x0, x1, ... xn в цьому випадку називаються вузлами. Якщо відстань h = xi +1- x1 є постійним (тобто незалежних від i), то сітка значень, представлена ​​табл. 4.1, називається рівномірною.
Таблиця 4.1

Привід для апроксимації може виникнути навіть тоді, коли аналітичний вираз для деякої функції y = F (x) є. однак воно виявляється мало придатним для вирішення поставленого завдання, тому що операція, яку потрібно здійснити над цією функцією, складними для виконання. Елементарний приклад - обчислення значення трансцендентної функції «вручну». Дійсно, щоб обчислити, наприклад, In 3,2756, найпростіше скористатися статечним розкладанням функції, тобто замінити трансцендентну функцію ступеневій. При цьому вийде, зрозуміло, наближене значення функції, але якщо ми вміємо контролювати похибку, то можна вважати, що ми отримали цікавий для нас результат - хоча б тому, що в реальності все одно доводиться обмежуватися наближеним поданням значень логарифмічної функції.
Інша ситуація, коли може знадобитися апроксимація аналітично заданої функції, - обчислення визначених інтегралів. Завдання це, як правило, дуже складна, часто елементарними прийомами нездійсненне. Як обчислити інтеграл Він, безсумнівно, існує, але з Формули Ньютона - Лейбніца обчислений бути практично не може, так як первообразная не виражається в елементарних функціях (як і безліч інших первісних від елементарних функцій). Апроксимація підінтегральної функції - один із можливих прийомів (і важливо відзначити, що мета апроксимації накладає відбиток на її спосіб).
Класичний підхід до чисельного вирішення подібних завдань полягає в тому, щоб, спираючись на інформацію про функції F, по деякому алгоритму підібрати апроксимуючу функцію G, в певному сенсі «близьку» до F.
Найчастіше завдання апроксимації вирішується за допомогою многочленів. Обчислення значень многочлена легко автоматизувати, похідна і інтеграл від многочлена, у свою чергу, також є многочленами. Поряд з многочленами для апроксимації використовують ряди Фур'є, експоненціальні та інші елементарні функції.
Для оцінки «близькості» функцій вибирають той чи інший критерій згоди. Ці критерії засновані на використанні тієї чи іншої метрики, тобто способу введення відстані між функціями, що належать тому чи іншому класу: (Див. гл. 2).
Наприклад, для функцій, обмежених на відрізку [a, b] відстань може бути введено наступним чином: (F (x), G (x)) = ;
для функцій, неперервних на відрізку [a, b], за формулою