Автор работы: Пользователь скрыл имя, 19 Мая 2012 в 10:32, курсовая работа
Функции, подобные тем, что сейчас называют сплайнами были известны математикам давно, начиная как минимум с Эйлера, но их интенсивное изучение началось, фактически, только в середине XX века. В 1946 году Исаак Шёнберг впервые употребил этот термин в качестве обозначения класса полиномиальных сплайнов. До 1960 годов сплайны были в основном инструментом теоретических исследований, они часто появлялись в качестве решений различных экстремальных и вариационных задач, особенно в теории приближений.
После 1960 года с развитием вычислительной техники началось использование сплайнов в компьютерной графике и моделировании, что продолжается по сей день.
Введение…………………………………………………………………………..3
ГЛАВА I. СПЛАЙНЫ…………………………………………………………..4
1.1 Кривые Безье…………………………………………………………4
1.2 Виды кривых Безье…………………………………………………..5
1.3 Построение кривых Безье…………………………………………...7
1.4 Применение в компьютерной графике……………………………..9
1.5 Преобразование квадратичных кривых Безье в кубические…….10
ГЛАВА II. ФИНИТНЫЕ ФУНКЦИИ………………………………………11
2.1 Теория аппроксимации финитными функциями Стренга-Фикса………………………………………………………………..12
ГЛАВА III. В-СПЛАЙНЫ ШЁНБЕРГА……………………………………15
Заключение……………………………………………………………………...19
Список использованной литературы………………………………………..20
В системах автоматизированного проектирования и компьютерной графике термин B-сплайн часто описывает сплайн-кривую, которая задана сплайн-функциями, выраженными линейными комбинациями B-сплайнов.
Когда узлы равноудалены друг от друга, говорят, что B-сплайн является однородным, в противном случае его называют неоднородным.
Когда количество узлов совпадает со степенью сплайна, B-сплайн вырождается в кривую Безье. Форма базисной функции определяется расположением узлов. Масштабирование или параллельный перенос базисного вектора не влияет на базисную функцию.
Сплайн содержится в выпуклой оболочке его опорных точек.
Базисный сплайн степени n: .
не обращается в нуль только на промежутке [ti, ti+n+1], то есть:
. (3.1)
Другими словами, изменение одной опорной точки влияет только на локальное поведение кривой, а не на глобальное, как в случае кривых Безье.
Базисная функция может быть получена из полинома Бернштейна
Теорема Стренга-Фикса указывает на то, что если стандартную финитную функцию выбрать исходя из условия (2.7), то ряд (2.4), построенный на основе ее сдвигов, будет обладать хорошими аппроксимационными свойствами.
Шенберг предложил один интересный класс функций, удовлетворяющих условию (2.7). Функцию называют В-сплайном (Шенберга) степени , если ее преобразование Фурье имеет вид
. (3.2)
Как видим, функция (6.8) удовлетворяет всем условиям (6.7).
Базис из ступенек
Довольно просто показать, что при
(3.3)
В этом случае базис представляет собой набор сдвигов (2.5) стандартной ступеньки (3.3), а функция представляет собой разрывную ступенчатую функцию (). Аппроксимация по норме имеет порядок . Такой базис может быть выбран в качестве второго базиса при использовании метода Галеркина-Петрова.
Базис из крышек
Рассмотрим В-сплайн степени : . Из этого соотношения следует, что получается как свертка функций =
После несложных преобразований получаем:
(3.4)
Функция представляет собой аппроксимацию непрерывной ломаной линией, имеющей разрывные производные. Аппроксимация по норме имеет второй порядок, по норме – первый. Эта аппроксимация используется наиболее часто при решении дифференциальных уравнений второго порядка проекционным методом. Она приводит к наиболее простым формулам для интегралов и максимально разреженной матрице при ее вычислении.
Кроме того, у этого базиса, ввиду того, что p=1, есть одна особенность – для аппроксимируемой функции значения коэффициентов совпадают со значениями функции в узлах сетки , что позволяет быстро находить начальные приближения для .
В-сплайн степени представляет собой кусочно-полиноминальный кубический сплайн, который получается сверткой:
.
(3.5)
Размер носителя при увеличился до четырех (). Заметим, что для обеспечения непрерывности второй производной в точках выполняется условие . Как уже отмечалось, аппроксимация по норме имеет четвертый порядок, по норме – третий.
Заключение
В данной работе мы рассмотрели понятие сплайна и основные определения необходимые для работы с ним. Было изучено понятие кривые Безье , их виды и построение, а так же уделено внимание их применению в компьютерной графике и преобразованию квадратичных кривых Безье в кубические. Так же были рассмотрены понятия финитные функции и Б-сплайны Шёнберга.
Список использованной литературы
1. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. – Теория сплайнов и ее приложения
2. Бахвалов Н. С., Жидков Е. П., Кобельков Г. М. Численные методы. Учебное пособие. - 4-е издание – М.- СПб.: Физматлит, Невский диалект, Лаборатория базовых знаний, 2003
3. Винниченко Л.Ф. Экспоненциальн
4. Вержбицкий В.М. Основы численных методов – М.:Высш. шк., 2002.
5. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн – функций - М.: Наука, 1980.
6. Корнейчук, Н.П., Бабенко, В.Ф., Лигун, А.А. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов / отв. ред. А.И. Степанец; ред. С.Д. Кошис, О.Д. Мельник, АН Украины, Ин-т математики.–К.: Наукова думка, 1992.
7. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа - М.: Наука, 1976
8. Лившиц Евгений Давидович. Непрерывные E-выборки для приближения полиномиальными и рациональными сплайнами: Дис. … канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 Москва, 2005
9. Препарата Ф., Шеймос М. Вычислительная геометрия. Введение. - Мир, 1989
10. Роджерс Д., Адамс Дж. Математические основы машинной графики. – М.: Мир, 2001.
3