Теория вероятности

Задача 1

Бросаются две игральные кости. Определить вероятность того, что:

а) сумма  числа очков не превосходит N;

б) произведение числа очков не превосходит N;

в) произведение числа очков делится на N.

Исходные  данные: N=18.

 

Решение задачи:

Вероятностью  случайного события А называется отношение числа равновозможных элементарных событий, благоприятствующих этому событию, к числу всех равновозможных элементарных событий пространства Е, определяемого данным испытанием.

 

Р(А) =	m
	n

 

где: n – число всех равновозможных элементарных событий, вытекающих из условий данного испытания;

m - число  равновозможных событий, которые  благоприятствуют событию А.

 

а) при  сумме числа очков (N = 18), не превосходящих N:

n = 36;m = 36

 

	Р(А) =	36	=	1 ;
		36

 

б) при  произведении числа очков, не превосходящих N:

n = 28;m = 36

 

	Р(А) =	28	=	7	» 0,778 ;
		36		9

в) при  произведении числа очков, делящихся  на N:

n = 3;m = 36

 

	Р(А) =	3	=	1	» 0,083 .
		36		12

 

Ответы:

а) Р(А) = 1 ;

б) Р(А) = 7/9 » 0,778 ;

в) Р(А) = 1/12 » 0,083.

 

Задача 2

Имеются изделия четырех сортов, причем число  изделий i-го сорта равно  =1, 2, 3, 4. Для контроля наудачу берутся т изделий. Определить вероятность того, что среди них т1 первосортных, т2, т3 и т4 второго, третьего и четвертого сорта соответственно  .

Исходные  данные: n1 = 3; n2 = 1; n3 = 6; n4 = 2;m1 = 2; m2 = 1; m3 = 3; m4 = 1.

 

Решение задачи.

 

Определяем  количество способов нужной комбинации:

 

Сў = Сn1 m1 x Сn2 m2 x Сn3 m3 x Сn4 m4 = С3 2 x С1 1 x С6 3 x С2 1 ;

 

Определяем  количество всех возможных способов:

 

Сўў = Сn1+n2+n3+n4 m1+m2+m3+m4 = С12 7 ;

 

3) Определяем вероятность Р согласно условия задачи:

 

Р =	С3 2 x С1 1 x С6 3 x С2 1	=	3 х  1 х	4 х  5 х 6	х 2	=
				2 х  3
	С12 7		8 х  9 х 10 х 11 х 12
			2 х  3 х 4 х 5

 

	=	3 х 5	=	5	» 0,15
		9 х 11		33

 

Ответ: Р = 5/33 » 0,15 .

 

Задача 3

Среди п лотерейных билетов k выигрышных. Наудачу взяли т билетов. Определить вероятность того, что среди них   выигрышных.

Исходные данные: n = 8; l = 3; m = 5; k = 4.

 

Решение задачи.

 

 

Общее число случаев, очевидно, равно Сn m , число благоприятных случаев Сk l x Сn-k m-l , откуда:

 

Р(А) =	Сk l x Сn-k m-l	=	С4 3 x С8-4 5-3	=	3	» 0, 4286 .
	Сn m		С8 5		7

 

Ответ: Р(А) = 3/7 » 0, 4286 .

Задача 4

В двух партиях k1 и k2 % доброкачественных изделий  соответственно. Наудачу выбирают по одному изделию из каждой партии. Какова вероятность обнаружить среди них:

а) хотя бы одно бракованное;

б) два  бракованных;

в) одно доброкачественное и одно бракованное?

Исходные  данные: k1 = 81; k2 = 37.

 

Решение задачи

События А и В называются независимыми, если выполняется соотношение:

 

Р(А/В) = Р(А) / Р(В) .

 

Для любых  событий А и В имеет место  формула:

 

Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) .

 

Обозначения:

Событие А – выбрали бракованное изделие  из 1-й партии (1 – k1) ;

Событие B – выбрали бракованное изделие  из 2-й партии (1 – k2) .

События А и В – независимые.

 

а) Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – Р(АВ) = (1 – k1) + (1 – k2) – (1 – k1)(1 – k2) =

= 0,19 + 0,63 – 0,19 х 0,63 » 0,82 – 0,12 » 0,70 .

 

б) Вероятность  пересечения двух независимых событий  равна произведению вероятностей этих событий:

 

Р(АЗВ) = Р(А) х Р(В) = (1 – k1)(1 – k2) = 0,19 х 0,63 » 0,12 .

в) Р = Р(А) х Р(В) + Р(В) х Р(А) = (1 – k1)k2 + (1 – k2)k1 =

= 0,19 х  0,37 + 0,63 x 0,81 » 0,07 + 0,51 » 0,58 .

 

Ответы:

а) » 0,70;

б)» 0,12;

в)» 0,58.

Задача 5

Вероятность того, что цель поражена при одном выстреле первым стрелком р1 вторым — р2 . Первый сделал n1, второй — n2 выстрелов. Определить вероятность того, что цель не поражена.

Исходные  данные: p1 = 0,33; p2 = 0,52; n1 = 3; n2 = 2.

 

Решение задачи.

Обозначения:

А –  вероятность непоражения цели при одном выстреле первым стрелком (1 – р1) ;

В –  вероятность непоражения цели при  одном выстреле вторым стрелком (1 –  р2) ;

Р –  цель не поражена в результате общего количества испытаний.

 

Р = (1 –  р1)n1 x (1 – р2)n2 = (1 – 0,33)3 x (1 – 0,52)2 = 0,673 x 0,482 » 0,30 x 0,23 » 0,069 » 0,07 .

 

Ответ:» 0,07 .

 

Задача 6

Из 1000 ламп ni принадлежат i-й партии, i=1, 2, 3,  . В первой партии 6%, во второй 5%, в третьей 4% бракованных ламп. Наудачу выбирается одна лампа. Определить вероятность того, что выбранная лампа — бракованная.

Исходные  данные: n1 = 350; n2 = 440.

Решение задачи

Рассмотрим  три гипотезы:

Н1 –  выбор лампы из первой партии;

Н2 –  выбор лампы из второй партии;

Н3 –  выбор лампы из третьей партии;

а также  событие А – выбор бракованной  лампы.

Учитывая  то, что Н1, Н2, Н3 – полная группа попарно  несовместимых событий, причем Р(Нi) № 0, i = 1,2,3, то для любого события  А имеет место равенство (формула  полной вероятности):

 

		3
	Р(А) =	е P(Hi) x P(A/Hi) .
		i=1

 

Тогда:

 

P(H1) = 350/1000 = 7/20 ;

P(H2) = 440/1000 = 11/25 ;

P(H3) = 210/1000 = 21/100 .

Р(А) = 7/20 х 0,06 + 11/25 х 0,05 + 21/100 х 0,04 = 42/2000 + 55/2500 + 84/10000 = 514/10000 = 0,0514 .

 

Ответ: Р(А) = 0,0514 .