Типовые динамические звенья и их характеристики

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Типовые динамические звенья и их характеристики

 

 

 

Динамическим звеном называется элемент системы, обладающий определенными динамическими свойствами.

Любую систему можно представить  в виде ограниченного набора типовых  элементарных звеньев, которые могут  быть любой природы, конструкции и назначения. Передаточную функцию любой системы можно представить в виде дробно-рациональной функции:

 

(1)

 

Таким образом, передаточную функцию  любой системы можно представить как произведение простых множителей и простых дробей. Звенья, передаточные функции которых имеют вид простых множителей или простых дробей, называют типовыми или элементарными звеньями. Типовые звенья различаются по виду их передаточной функции, определяющей их статические и динамические свойства.

Как видно  из разложения, можно выделить следующие  звенья:

1. Усилительное (безынерционное).
2. Дифференцирующее.
3. Форсирующее звено 1-го порядка.
4. Форсирующее звено 2-го порядка.
5. Интегрирующее.
6. Апериодическое (инерционное).
7. Колебательное.
8. Запаздывающее.

При исследовании систем автоматического управления она представляется в виде совокупности элементов не по их функциональному назначению или физической природе, а по их динамическим свойствам. Для построения систем управления необходимо знание характеристик типовых звеньев. Основными характеристиками звеньев являются дифференциальное уравнение и передаточная функция.

Рассмотрим  основные звенья и их характеристики.

Усилительное звено (безынерционное, пропорциональное). Усилительным называют звено, которое описывается уравнением:

 

 (2)

 

или передаточной функцией:

 

 (3)

При этом переходная функция усилительного  звена (рис. 1а) и его фун-кция веса (рис. 1б) соответственно имеют вид:

 

 

 

 

 

а) б)

Рис. 1

 

Частотные характеристики звена (рис. 2) можно получить по его передаточной функции, при этом АФХ, АЧХ и ФЧХ определяются следующими соотношениями:

 

.

 

 

 

 

 

Рис. 2

 

Логарифмическая частотная характеристика усилительного звена (рис. 3) определяются соотношением .

 

 

 

 

 

Рис. 3

 

Примеры звена:

1. Усилители, например, постоянного тока (рис. 4а).
2. Потенциометр (рис. 4б).

 

 

 

а) б)

Рис. 4

 

3. Редуктор (рис. 5).

 

 

 

 

Рис. 5

 

Апериодическое (инерционное) звено. Апериодическим называют звено, которое описывается уравнением:

 

 (4)

 

или передаточной функцией:

 

 (5)

 

где Т – постоянная времени звена, которая характеризует его инерционность, k – коэффициент передачи.

При этом переходная функция апериодического  звена (рис. 6а) и его функция веса (рис. 6б) соответственно имеют вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 6

 

Частотные характеристики апериодического звена (рис. 7а-в) опреде-ляются соотношениями:

 

 

 

 

 

а) б)     в)

Рис. 7

 

Логарифмические частотные характеристики звена (рис. 8) определяются по формуле

 

При

 

 

 

 

 

Рис. 8

 

Это асимптотические логарифмические  характеристики, истинная характеристика совпадает с ней в области  больших и малых частот, а максимальная погрешность будет в точке, соответствующей сопряженной частоте, и равна около 3 дБ. На практике обычно используют асимптотические характеристики. Их основное преимущество в том, что при изменении параметров системы (k и T) характеристики перемещаются параллельно самим себе.

Примеры звена:

1. Апериодическое звено может  быть реализовано на операционных  усилителях (рис. 9).

Æ Æ

Рис. 9

 

2. Звенья  на RLC-цепях (рис. 10).

 

Æ Æ Æ Æ

 

Æ Æ Æ Æ

Рис. 10

 

4. Механические  демпферы (рис. 11).

 

 

Рис. 11

 

Интегрирующее звено. Интегрирующим звеном называют звено, которое описывается уравнением:

 

 (6)

 

или передаточной функцией:

 

 (7)

При этом переходная функция интегрирующего звена (рис. 12а) и его функция веса (рис. 12б) соответственно имеют вид:

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 12

 

Частотные характеристики интегрирующего звена (рис. 13) определяются соотношениями:

 

 

 

 

Рис. 13

 

Логарифмические частотные характеристики интегрирующего звена (рис. 14) определяются по формуле:

 

 

 

 

 

Рис. 14

 

Пример звена. Интегрирующее звено может быть реализовано на операционных усилителях (рис. 15).

 

 

 

Æ Æ

Рис. 15

 

Дифференцирующее звено. Дифференцирующим называют звено, которое описывается уравнением:

 

 (8)

 

или передаточной функцией:

 

 (9)

При этом переходная функция звена (рис. 16а) и его функция веса (рис. 16б) соответственно имеют вид:

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 16

 

Частотные характеристики звена (рис. 17а-в) определяются соотношениями:

 

 

 

 

а)    б)      б)   

Рис. 17

 

Идеальное дифференцирующее звено является физически  не реализуемым. В реальных звеньях такой вид характеристики могут иметь только в ограниченном диапазоне частот.

Логарифмические частотные характеристики звена (рис. 18) определяются по формуле:

 

 

 

 

 

 

Рис. 18

 

Примеры звена:

1. Дифференцирующее  звено может быть реализовано  на операционных усилителях (рис. 19).

 

 

Æ Æ

Рис. 19

 

2. Тахогенератор  (рис. 20).

 

 

Æ

 

Æ

Рис. 20

 

Колебательное звено. Колебательным называют звено, которое описывается уравнением:

 

 (10)

 

или передаточной функцией:

 

 (11)

 

где x – демпфирование (0 £ x £ 1).

Если x = 0, то демпфирование отсутствует (консервативное звено – без потерь), если x = 1, то имеем два апериодических звена.

При этом переходная функция звена  и его функция веса (рис. 21) соответственно имеют вид:

 

 (12)

 

а) б)

Рис. 21

 

Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФХ) имеет вид (рис. 22а) и определяется соотношением

 

 

Амплитудно-частотные  характеристики (АЧХ) для различных  значений x имеет вид (рис. 22б) и определяется соотношением

 

 

Фазовая частотная характеристика (ФЧХ) имеет  вид (рис. 22в) и определяется соотношением

 

 

Частотные характеристики колебательного звена имеют вид

 

 

 

 

 

 

 

а) б) в)

Рис. 22

 

Логарифмические частотные характеристики звена (рис. 23) определяются по формуле:

 

 

При k = 1

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 23

 

 

Примеры звена. Колебательное звено может быть реализовано на операционных усилителях (рис. 24).

 

 

 

 

 

Рис. 24

Колебательное звено на RLC-цепи (рис. 25).

 

Рис. 25

 

В приведенной  схеме:

С – накапливает энергию электрического поля;

L – накапливает энергию электромагнитного поля;

R – на сопротивлении происходит потеря энергии.

Запишем передаточную функцию цепи:

 

 

 – затухание (демпфирование).

4. Механические  демпферы (рис. 26).

 

 

 

 

Рис. 26

 

Форсирующее звено. Форсирующим называют звено, которое описывается уравнением:

 

  (13)

 

или передаточной функцией

 

 (14)

 

где k – коэффициент передачи звена.

При этом переходная функция звена  и его функция веса соответственно определяются соотношениями:

Частотные характеристики звена (рис. 27а-в) определяются соотношениями:

 

 

 

1

а)    б)    в) 

Рис. 27

 

Логарифмические частотные характеристики звена (рис. 28) определяются по формуле:

 

 

 

 

 

Рис. 28

 

Форсирующее звено 2-го порядка. Передаточная функция форсирующего звена 2-го порядка имеет вид:

 

 (15)

 

Логарифмические частотные характеристики звена  имеют вид:

 

 

 

 

 

 

 

 

Запаздывающее звено. Дифференциальное уравнение и передаточная функция запаздывающего звена имеют вид:

 

 (16)

 (17)

 

где t – время запаздывания.

В соответствии с теоремой запаздывания . При этом переходная функция звена и его функция веса (рис. 30а, б) соответственно определяются соотношениями:

 

 

 

 

 

 

Рис. 30

 

 

Частотные характеристики звена (рис. 31а-в) определяются соотношениями:

 

 

 

 

 

 

а)    б) в)  

Рис. 31

 

Устойчивые и неустойчивые звенья. В устойчивых звеньях переходный процесс является сходящимся, а в неустойчивых он расходится. Устойчивые звенья называются минимально – фазовыми. Эти звенья не содержат нулей и полюсов в правой полуплоскости корней. Неустойчивые звенья называются не минимально – фазовыми. Т. е. изменению амплитуды на ±20 дБ/дек соответствует изменение фазы на ±p/2, а ±40 дБ/дек – на ±p.