Туындының көмегімен функцияны зерттеу

              Туындының анықтамасы                                                   

Туынды ұғымы өзара  байланысты екені алдын ала екі  есепті пайда болды – ол қисыққа  жанама жүргізу және қозғалып бара жатқан дененің жылдамдығын табу есептері.                                                                                                                                   Осы екі есеп бір-біріне өзге білім  салалары – геометрия мен механикаға да жатса да,олар тек қана бір математикалық амалға -түріндегі шекті табу есебін әкелді.Әрине,бұл амалдың арнаулы атауы болуы керек.Ол амалдың өзін функцияны  дифференциалдау,ал оның нәтижесін,яғни шектің мәнін функцияның туындысы дейді.Сөйтіп,функциясы І аралығында анықталсын.Егер Є I үшін

   нақты мәнді шегі бар болса,онда f функциясын нүктесінде дифференциалданады , ал шектің мәнін f функциясының нүктесіндегі туындысы дейді де, f``( )символымен белгілейді. Осы анықтамаға сүйене отырып,жоғарыда талқыланған есептерді былай тұжырымдауға болады.Егер f функциясының нүктесінде туындысы бар болса,онда сол нүктеде y=f(x) қисығының жанамасы бар болып,оның теңдеуі: y=f( ).(х- )+f( )  болады.түзуін а функциясының графигінің ( ,f( ))                                               нүктесіндегі жанамасы деп те атайды.(*) теңдеуінен жанаманың бұрыштық коэффиценті сол нүктедегі туындының мәніне тең екенін көреміз.Басқаша айтқанда,жанама мен х-тер осінің арасындағы бұрыш а болса,онда f``( )=tgά теңдігі орындалады.Бұл туындының геометриялық мағынасы болады.Материялдық нүктенің қозғалысы жоғарыда айтылғандай f(t)функциясы арқылы бейнеленген болсын.Егер f( ) туындысы бар болса,онда сол туынды материялдық нүктенің мезгіліндегі жыдамдығы деп аталады.                                                   Туындының анықтамасын шекті белгілейтін символдарды қолданып,былай жазуға болады:

                               

                    

 

 

 

 

 

           Функцияларды зерттеуге туындыны қолдану мысалдары.   

Функцияның графигін салуды оны зерттеуден бастаған дұрыс,берілген функцияны зерттеу үшін:

1.Оның анықталу облысын  табады; 

2.f функциясы жұп па,әлде тақ  па,периодты ма,соны анықтайды;

3.Графиктің координат  осьтерімен қиылысу нүктелерін;

4.Таңба тұрақтылық аралықтарын;

5.Өсетін және кемитін  аралықтарын;

6.Экстремум нүктелерін  және f функциясының сол нүктелердегі мәндерін табады

7. «ерекше» нүктелердің  және модулі бойынша үлкени  х-тің маңайында функцияның қалай  өзгеретінін зерттейді.Осындай зерттеуге  сүйеніп,функцияның графигін салады.                                                                     Функциялардың өсетінін(кемитінін)және  экстремум бар-жоғын зерттеуді  туындының көмегімен жүргізген  ыңғайлы.Ол үшін ең алдымен f функциясының туындысын оның кризистік нүктелерін тауып алып,сонан соң олардың қайсысы экстремум нүктелері болып табылатынын айқындайды. Функциялардың ең үлкен және ең кіші мәндері.                                                              Көптеген практикалық есептерді шешу көбінесе кесінді де үзіліссіз функцияның ең үлкен және ең кіші мәндерін табуға келтіреді.Анализ курстарында [a;В]   кесіндісінде  үзіліссіз f функциясының сол кесіндіде ең үлкен және ең кіші мәндерін қабылдайтын нүктелері бар болғандығын тағайындайтын Вейерштрасс теоремасы дәлелденеді.                                                                                                                             Кесіндіде саны шектеулі кризистік нүктелері және кесіндінің ұштарындағы мәндерін есептеп,шыққан сандардың ішінен ең үлкен және ең кішісін таңдап алу керек.                                                                                                                          Функциясының туындысын табу амалын функцияны дифференциалдау деп атайды. Х нүктесіндегі функцияның туындысы бар болса, онда f(x) функциясын осы нүктеде дифференциалданатын функция деп атайды. Егер функция аралықтың барлық нүктелерінде дифференциалданатын болса, онда оны осы аралықта дифференциалданатын функция деп атайды. у=f(x) функциясының х₀ нүктесінде туындысы бар болса, онда осы нүктеде функция үзіліссіз болады.

Анықтама бойынша туынды табу алгоритмі:

1) Аргументке ∆х  өсімшесін беру;

2) ∆х өсімшеге  сәйкес функция өсімшесін, яғни  ∆y=f(x+∆х)-f(x) анықтау;

3) Функцияның өсімшесінің  аргумент өсімшесіне қатынасын  табу,яғни

4)Соңғы  теңдіктен аргумент өсімшесі  нөлге ұмтылғандағы шекті анықтау:

 

 

Өспелі функция - Е жиынында анықталған f(x) функциясы үшін x₁< x₂, x₁ E, x₂ E теңсіздігін қанағаттандыратын аргументтерінің барлық мәндерінде f(x₁)<f(x₂) теңсіздігі орындалатын функция. Осындай функцияны қатаң өспелі деп те атайды, ал «өспелі функция» термині аргументінің осы мәндері үшін (x₁)≤f(x₂) теңсіздігін қанағаттандыратын функция үшін де қолданылады. Мұндай функция кемімейтін деп те аталады.^]

             Функцияның өсуінің (кемуінің)белгісі.                                                                                                                                                                                                                  Функцияны зерттеудің негізгі міндеттерінің бірі оның өсетінін және кемитін аралықтарын табу.Мұндай зерттеуді туындының көмегімен жүргізу оңай. Бұл жерде функцияның өсуінің       жеткілікті белгісі және кемуінің жеткілікті белгісі беріледі.Функцияның өсуінің жеткілікті белгісі.Егер І интервалының әрбір нүктесінде f``(x)>0 болса,онда f функциясы І интервалында өседі.Функцияның кемуінің жеткілікті белгісі. Егер І интервалының әрбір нүктесінде f``(x)<0 болса,онда f функциясы І интервалында кемиді.Функцияның кризистік нүктелері, максимумдары мен минимумдары.Біз f``(x)>0 және f``(x)<0  болғанда функцияның қалай өзгеретінің қарастырамыз. Функцияның туындысы нөлге тең немесе туындысы жоқ болатын анықталу облысының ішкі нүктелері сол функцияның кризистік нүктелері деп аталады. Функцияның графигін салғанда бұл нүктелер маңызды рөл атқарады,өйткені тек сол нүктелерт ғана функцияның экстремум нүктелері бола алады. Сәйкес пікірді тұжырымдаймыз – оны Ферма теоремасыдеп атайды. Экстремумның қажетті белгісі.Егер нүктесі f функциясының экстремум нүктесі болса және осы нүктеде f`` туындысы бар болса ,ол нөлге тең болады:

Функцияның өсу және кему белгілері. Теорема.Егер дифференциалданатын f(х) функциясыны4 туындысы Х аралығының әрбір нүктесінде оң таңбалы,яғни f`'(х) >0 немесе теріс таңбалы,яғни f`'(х) < 0 болса, онда ол сол аралықта өспелі немесе кемімелі болады.Сонымен,кез келген f(х) функциясының туындысының көмегімен өсу және кему аралықтарын анықтауға болады.Олкелесі алгоритм негізінде орындалады:

1)функцияның  анықталу облысын табу;

2)функцияның  туындысын есептеу;

3) f`'(х) >0 немесе f`'(х) < 0 теңсіздігін  шешу;

4)берілген  теорема бойынша функцияның өсу  және кему аралықтарын жазу.

Мысал қарастырайық.1-мысыал. f(х)=3x&sup2;-12x функциясының өсу және кему аралықтарын табайық. Шешуі.

1)функцияның анықталу облысы  барлық нақты сандар жиыны;

2)f`'(х)=(3x&sup2;-12x)'=6x-12;

3) f`'(х) >0, яғни 6х-12>0, 6х>12, х>2. Ал  анықталу облысының х< 2 бөлігінде  f`'(х) < 0 болатыны ацйқын;

4)сонда теорема бойынша,[2:+∞]  аралығыда өседі, ал (-∞;2] аралығында  кемиді.Жауабы: (-∞;2] кемиді, [2:+∞]

Функцияның максимумының белгісі.Егер f функциясы нүктесінде үзіліссіз болса және (a; )интервалында f``(x)>0 ал( ;В ) интервалында f``(x)<0   болса ,онда нүктесі f функциясының максимум нүктесі болып табылады.Бұл белгінің ықшам түрдегі тұжырымдамасын пайдаланған ыңғайлы:егер нүктесінде туынды таңбасын плюстен минусқа өзгертетін болса,онда максимум нүктесі болады.

Функцияның минимумының  белгісі.Егер f функциясы x нүктесінде үзіліссіз болса және (a; )интервалында f``(x)<0 ал ( ;В) интервалында f``(x)>0 онда нүктесі f функциясының минимум нүктесі болып табылады. Бұл белгінің ықшам түрдегі тұжырымдамасын пайдаланған ыңғайлы:егер нүктесінде туынды таңбасын минустан плюсқа өзгертетін болса,онда минимум нүктесі болады.                                                                   

 

Қисықтың ойыстығы мен  дөңестігі. Иілу нүктелері.

Егер  интервалында болса, онда осы интервалда қисығы дөңес (ойыс) болады, яғни қисық сызық жанаманың астында (үстінде) орналасқан.

Егер  немесе болмаса, бірақ бар болса және 2-ші ретті туындының нүктесінің маңайында таңбасы өзгеретін болса, онда нүктесі қисығының иілу нүктесі деп аталады.

Асимптоталар.

Анықтама. Түзу сызық қисығының асимптотасы деп аталады, егер де қисық бойында жатқан нүктенің қисықтың қандай да тармағы бойымен шексіздікке қозғалысында, сол нүктенің түзу сызықтан қашықтығы нөльге ұмтылатын болса.

Асимптотаның үштүрі болады: вертикаль, горизонталь, көлбеу.

Егер мына шектердің , біреуі плюс немесе минус шексіздікке тең болса, онда түзуін функцияның вертикаль асимптотасы деп атайды.

 түзуі  сызығының көлбеу асимптотасы болады, егер , .

Егер болса, онда , яғни түзуі горизонталь асимптота болып табылады.

 

 

 

               «Астана Медициналық университеті» АҚ

                                      Математика және инфарматика кафедрасы

 

 

      СӨЖ                                               

 

Тақырыбы:Туынды көмегімен функцияны зерттеу

 

 

 

 

                                    Орындаған:Қалдыбекова Мөлдір                                              

                                   Факультет:фармация

                           Топ:102 

                                   Қабылдаған:Сұлтанова Ж. Ж

 

 

 

 

 

 

                                        Астана   2013ж

 

          Жоспар

   Кіріспе

Туындының анықтамасы  

   Негізгі бөлім  

1. Функцияларды зерттеуге туындыны қолдану мысалдары  

 2.Функцияның өсуінің (кемуінің)белгісі                                                                                                                                                                                                                 

 3.Функцияның максимумының белгісі

 4.Функцияның минимумының белгісі

5.Қисықтың ойыстығы мен дөңестігі. Иілу нүктелері