Условная вероятность

Условная вероятность.

P(A/B)

Условной вероятностью наступления события A, при условии события B, называется вероятность наступления события A в результате испытаний, если известно, что в это испытании произошло событие B.

Вывод формулы условной вероятности для случая равновероятных элементарных событий

Действительно, в данном испытании произошло одно из t событий, входящих в B. Все элементарные события равновероятны, следовательно, для данного испытания вероятность наступления произвольного элементарного события, входящего в B равна 1/t. Тогда по классическому определению вероятности, в данном испытании событие A произойдет с вероятностью r/t.

В общем случае доказать эту формулировку невозможно, в теории вероятности она вводится как правило. Существует лишь толкование этой формулы.

Обоснование формулы условной вероятности в общем случае.

Пусть в nB испытаниях произошло событие B, а в nA испытаниях произошло событие A. Найдем условную частоту наступления события A при условии, что произошло событие B. Мы можем сделать это для обоснования формулы, т.к. под вероятностью наступления события понимается предел частоты наступления события при условии, что серия испытаний достаточно длинная.

Условная частота

Рассматривая AB как одно событие D имеем: с другой стороны

Рассмотрим систему событий A1, A2,...,Ak. Покажем, что вероятность их совместного наступления равна:

Доказательство проведем по мат индукции.

Пусть формула верна для k-1.

Введем событие B.

P(A1A2...Ak-1)=P(B)

P(A1A2...Ak)=P(AkB)=P(B)P(AkB)

Числовые характеристики выборки.

Числовыми характеристиками выборки являются: средняя арифметическая для выборки, выборочная дисперсия, выборочное среднее квадратическое отклонение. Также применяются некоторые другие простые характеристики вариационного ряда: мода, медиана, размах варьирования, коэффициент вариации.

1). Дано распределение признака Х:

Тогда средним арифметическим этого признака называют величину

Имеет место равенство , где (k и x0 – любые действительные числа, причем k ≠ 0). Умелый подбор k и x0 значительно облегчает нахождение среднего арифметического.

2). Выборочная дисперсия – это мера рассеивания значения признака Х по отношению к его среднему арифметическому.

.

3). Средним квадратичным отклонением признака Х называются корень квадратный из его дисперсии.

4). Мода – это значение переменной величины, имеющей наибольшую частоту.

Если - модальный интервал, т. е. интервал, которому соответствует наибольшая частота mk, а интервал вариационного ряда имеют постоянную ширину h, то мода признака Х вычисляется по формуле.

.

5). Медиана- это значение переменой, делящее вариационный ряд на две части, равные по числу возможных его значений.

Если распределение интервальное, то сначала находят медианный интервал   , номер которого вычисляют из неравенств  ; , где - накопленная частота в точке х. при предположении, что в медианном интервале признак распределен равномерно, медиана признака Х определяется по формуле

.

Где h – ширина интервала, n – объем статистической совокупности, - накопленная частота до данного интервала, ms – частота интервала.

6). Размах вариации – это разность между наибольшим и наименьшим значениями переменной величины.

R = Xmax - Xmin.

7). Коэффициент вариации – это величина, характеризующая рассеяние величины по отношению к выборочной средней.

Дифференцируемость функции.

Определение: Пусть y=f(x) действительная функция, определенная на [a,b]. Взяв , составим отношение и положим

если этот предел существует, функция называется производной функции . связана с и имеет область определения состоящую из таких x, где существует предел (1.1)

Если определена в точке х, то говорят, что f дифференцируема в точке х .Если определена в каждой точке , то говорят, что f дифференцируема на Е.

В формуле (1.1) можно брать правосторонний или левосторонний предел, что приводит к определению правосторонней и левосторонней производной. В частности на отрезке [a,b] мы имеем, если предел (1.1) существует, правостороннюю и левостороннюю производные.

Если f определена на (a,b) , a<x<b то,определена также как и выше, но не существуют.

- обозначение производной.

Теорема 1: Функция y=f(x) дифференцируема в точке х тогда и только тогда, когда

А – некоторое число, не зависящее от . -бесконечно малое в точке .(Удобно считать, что ).

Замечание

В (1.2) представляет главную часть приращения ,линейную относительно , если .

Определение : Дифференциалом функции y=f(x) в данной фиксированной точке х, отвечающим приращению аргумента ,называется число

Если ,то дифференциал есть главная часть меняющаяся относительно. Заметим, что вообще и dy не равны между собой. Если взять функцию у=х то, по определению , поэтому пологают и . Рассмотрим геометрический смысл производной и дифференциалов.

Прямую MN назовем секущей и устремим точку M к точке N. Если существует предельное положение секущей, то это предельное положение назовем касательной.

Уравнение касательной , нормаль

Теорема: Пусть f определена на [a,b]. Если f дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Теорема : Пусть f и g определены на [a,b] и дифференцируемы в точке .Тогда f+g, fg и f/g дифференцируемы в точке х и

а)

b)

c)

Следствие: Пусть g(x)=c. Тогда

Следствие:

а) d[f(x)+g(x)]=df(x)+dg(x)

b) d[f(x)g(x)]=g(x)df(x)+f(x)dg(x)

c) d[cf(x)]=cdf(x).

Теорема: Пусть f непрерывна на [a,b] , существует в некоторй точке , а середина на отрезке I, содержащем множество значений функции f и g дифференцируема в точке f(x). Если  h(t)=g(f(t)), то h дифференцируема в точке x и .

Следствие: Инвариантность формы первого дифференциала.

Пусть z=g(y), где y независимая переменная. Тогда . Теперь пусть y=f(x), тогда z=g(f(x)) и , . Так как , то или , где y зависимая переменная. Отсюда обозначаем .

Следствие: Дифференцирование обратной функции.

Пусть y=f(x) строго возрастает (убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки x. Пусть эта функция дифференцируема в точке х и .Тогда в некоторой окрестности точки y=f(x) определена обратная функция , которая строго возрастает (убывает) и непрерывна (Т5 из раздела “Свойства непрерывных функций”). Эта функция дифференцируема в точке y=f(x), причем  .

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

x=f--1(y)= f –1(f(x)).

По теореме о дифференцируемости сложной функции имеем - эта производная существует так как . Что и требовалось доказать.