Уточнение корней методом половинного деления

Лабораторная  работа

Цель  работы: Изучить численные методы решения уравнений с одной переменной, научиться программировать и анализировать различные методы решения. Общие сведения: Большинство трансцендентных уравнений с одной переменной не могут быть решены аналитически. В этом случае используются соответствующие методы приближенных вычислений. Решение уравнения численными методами разбивается на три этапа:

1) Определяется, существуют ли корни у данного  уравнения, устанавливаются примерные  границы их расположения и степень близости друг к другу.

2) Производится отделение  корней – определение малых  промежутков числовой оси, на  каждом из которых расположен  только один (возможно, кратный) корень  уравнения. 

3) Производится уточнение  значения корня до заданной погрешности.

Первый этап решения производится с использованием методов математического  анализа и плохо поддается  алгоритмизации.

Отделение корней также можно  выполнить аналитически или графически, но можно и автоматизировать этот процесс. Пусть, например, задано уравнение

. (1)

Пусть также  известно, что все корни лежат  в интервале  , и расстояние между отдельными корнями не превышает . Разобьем промежуток на равных частей таким образом, что . Будем перебирать полученные интервалы и проверять, не изменяет ли функция знака на данном промежутке. Если , то на данном интервале имеется корень.

Лабораторная работа

Уточнение корней методом  половинного деления

Цель  работы: Изучить численные методы решения уравнений с одной переменной, научиться программировать и анализировать различные методы решения.

Общие сведения Большинство трансцендентных уравнений с одной переменной не могут быть решены аналитически. В этом случае используются соответствующие методы приближенных вычислений. Решение уравнения численными методами разбивается на три этапа:

1) Определяется, существуют  ли корни у данного уравнения, устанавливаются примерные границы их расположения и степень близости друг к другу.

2) Производится отделение  корней – определение малых  промежутков числовой оси, на  каждом из которых расположен  только один (возможно, кратный) корень  уравнения. 

3) Производится уточнение значения корня до заданной погрешности.

После отделения корней получаются промежутки ширины , в каждом из которых имеется корень. Если больше требуемой точности вычислений , значение корня уточняют одним из методов. Самый простой и надежный, но не самый эффективный – метод половинного деления. Идея данного метода заключается в следующем. Пусть известно, что на интервале имеется один корень уравнения (1). Поделим отрезок пополам точкой . Возможны два случая:

1) ,следовательно, корень лежит в интервале , поэтому переносим правую границу интервала в точку : ;

2) ,значит, корень находится в интервале , и мы переносим левую границу: .

Если  , повторяем процесс деления отрезка, иначе с точностью любая из точек или является корнем уравнения (1).

Лабораторная работа

Цель  работы: Изучить численные методы решения уравнений с одной переменной, научиться программировать и анализировать различные методы решения.

Общие сведения Большинство трансцендентных уравнений с одной переменной не могут быть решены аналитически. В этом случае используются соответствующие методы приближенных вычислений. Решение уравнения численными методами разбивается на три этапа:

1) Определяется, существуют ли корни у данного  уравнения, устанавливаются примерные  границы их расположения и  степень близости друг к другу. 

2) Производится  отделение корней – определение  малых промежутков числовой оси,  на каждом из которых расположен только один (возможно, кратный) корень уравнения.

3) Производится  уточнение значения корня до  заданной погрешности. 

Метод секущих  очень похож на метод касательных  и часто позволяет решить задачу за меньшее (обычно на 1) количество шагов. Его итерационная формула имеет вид

,

а начальное  приближение задается двумя различными точками  и . Условие останова совпадает с (2).

Лабораторная работа

Уточнение корней методом Ньютона (касательных)

Цель  работы: Изучить численные методы решения уравнений с одной переменной, научиться программировать и анализировать различные методы решения.

Общие сведения Большинство трансцендентных уравнений с одной переменной не могут быть решены аналитически. В этом случае используются соответствующие методы приближенных вычислений. Решение уравнения численными методами разбивается на три этапа:

1) Определяется, существуют ли корни у данного уравнения, устанавливаются примерные границы их расположения и степень близости друг к другу.

2) Производится  отделение корней – определение  малых промежутков числовой оси,  на каждом из которых расположен  только один (возможно, кратный) корень уравнения.

3) Производится  уточнение значения корня до  заданной погрешности. 

Метод Ньютона (касательных) является одним из самых  быстрых методов уточнения. Количество итераций, требуемое для уточнения  корня, обычно не превышает 10. Для уравнения (1) вычислительная схема метода выглядит следующим образом:

,

до выполнения условия останова (2).

Варианты заданий:

 

1.              

2.         

3.                                       

4.                  

5.                             

6.                             

7.           

8.                  

9.                        

10.