Учебная практика по математическому анализу

Часть 1. Решение задач индивидуального практического задания

1. Дифференциальное и интегральное исчисление

Задание № 1 (а).

29. Найдите точку максимума функции .

Решение:

2.                   

 

 

         

 

 

 

 

 

               

               

              

              

Ответ: 3

 

Задание № 1 (б) 

1.2.29.  Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

             Решение:

 

 

  при любых х, значит данная функция является возрастающей и наименьшее значение достигается при x=0

Ответ: 9

• Задание № 2.

3.29.   На рисунке изображен график функции и отмечены точки -2, -1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.

Имеем четыре точки: две из них принадлежат интервалам, на которых функция убывает (это точки  –1 и 4) и две  интервалам, на которых функция возрастает (это точки  –2 и 1).

 

На интервалах возрастания функции производная имеет положительное значение.

На интервалах её убывания производная имеет отрицательное значение. 

Следовательно, что в точках –1 и 4 производная имеет отрицательное значение, в точках  –2 и 1 она имеет положительное значение. Поэтому, в данном случае, необходимо проанализировать точки –1 и 4 и определить – в какой из них значении будет наименьшим. Построим касательные проходящие через указанные точки:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Значение тангенса изменяется следующим образом:

При изменении угла наклона прямой от 0о до 90о  значение тангенса, а значит и производной, изменяется соответственно от 0 до +∞;

При изменении угла наклона прямой от  90о до 180о   значение тангенса, а значит и производной, изменяется соответственно  –∞ до 0.

При угле наклона касательной от 0о до 90о

Чем  он  ближе к 0о, тем  больше значение производной будет близко к нулю (с положительной стороны).

Чем  угол  ближе к 90о, тем больше значение производной будет увеличиваться  к  +∞.

При угле наклона касательной от 90о до 180о

Чем  он  ближе к 90о, тем больше значение производной будет уменьшаться к  –∞.

Чем  угол  будет ближе к 180о, тем больше значение производной будет близко к нулю (с отрицательной стороны).

 

Значение тангенса угла между прямой a и осью абсцисс будет больше значения тангенса угла между прямой b и этой осью. Это означает, что значение производной в точке  х = -1  будет наименьшим.

Ответ:-1

Задание № 3.

4.29. Провести полное исследование функции и построить её график.

       

1.

 

 

2. Точки пересечения  с осями. Интервалы знакопостоянства.

Пересечение с осью абсцисс (Ox):

 

 

Пересечение с осью ординат (Oy):

 

 

 

 

 

 

3. Четность (нечетность):

 

 

Функция является ни четной, ни нечетной.

4. Периодичность:

Не является периодической.

5. Точки разрыва  функции и их классификация:

Не имеет точек разрыва.

6. Асимптоты:

 

 

 

7. Промежутки возрастания (убывания), точки экстремума, экстремумы  функции:

 

 

 

 

 

 

 

          

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функция возрастает на .

Функция убывает на.

8. Промежутки выпуклости, выгнутости, точки перегиба:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. График функции:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задание № 4.

4.1.29. Решить задачу оптимизации, подробно описав построение математической модели.

В основании пирамиды МАВСD, объем которой равен 9, лежит квадрат АВСD. Ребро МВ перпендикулярно плоскости основания. Найдите наименьшее значение .

Решение:

1.Пусть МВ=a, BC=x.

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Исследуем функцию на наименьшее значение на

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Т.к. функция f(x) непрерывна на R, – единственная точка экстремума-минимума, то по теореме наименьшее значение f(x)=f().

 

Ответ:55