Формирование математической символики

Министерство  образования и науки РФ федеральное  государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Волгоградский государственный университет»

 

 

 

 

 

 

 

Реферат на тему:

Формирование  математической символики

 

 

 

 

 

 

Выполнила: студентка группы ПМПОм-121

Шешукова Е. Г.

 

 

 

 

 

 

 

 

Волгоград 2013г. 

Введение

 

Математика – первая наука, которую смог освоить человек. Самой  древней деятельностью был счёт. Некоторые первобытные племена  подсчитывали количество предметов  с помощью пальцев рук и ног. Наскальный рисунок, сохранившийся, до наших времён от каменного века изображает число в виде нарисованных в ряд палочек. Можно сказать, что 1 палочка – это первый математический символ. Развитие математики началось примерно в 3000г. до н.э. благодаря вавилонянам и египтянам.

Источником знаний о вавилонской  цивилизации служат хорошо сохранившиеся  глиняные таблички, датируются от 2000г. до н.э. Математика на каменных табличках  в основном была связана с ведением хозяйства. Арифметика использовалась при обмене денег и расчётах за товары, вычисление процентов, налогов и даже урожая. Геометрические задачи возникли в связи со строительством каналов, зернохранилищ и храмов. Очень важной задачей математики был расчёт календаря. Календарь использовался для сельскохозяйственных работ и религиозных праздников. Деление окружности на 360, а градуса на минуты берут начало в вавилонской астрономии. Вавилоняне составили таблицы для обратных чисел, таблицы квадратов и квадратных корней, а также таблицы кубов и кубических корней.

Наше знание древнеегипетской математики основано на двух папирусах 1700г до н.э. Египтяне использовали математику, чтобы вычислять вес тел, площади посевов, размеры податей, в строительстве и астрономии. Древнеегипетская письменность основывалась на иероглифах. Для каждого числа от 1 до 9 был свой иероглиф. А также для чисел 10, 100, 1000, 10000 и т.д.

А в Греции математики и  философы принадлежали к высшим слоям  общества, где любая практическая деятельность рассматривалось, как  недостойное занятие. Математики предпочитали абстрактные рассуждения о числах и пространственных отношениях решению практических задач. Математика делилась на арифметику – теоретический аспект и логистику – вычислительный аспект. Логистикой занимались низкие классы и рабы. Древние римляне изобрели систему исчисления, основанную на использовании букв для отображения цифр.

С открытием математических правил и теорем ученые придумывали  новые математические обозначения. Система обозначения для любой  области знания играет важную роль. Математические знаки служат в первую очередь для точной записи математических понятий и предложений в компактной форме. Система математических символов представляет собой универсальный язык. Использование символов позволяет формулировать законы или математические теории в общем виде.

 

Математические  обозначения – это символы, используемые для компактной записи математических уравнений и формул. Помимо цифр и букв математический язык использует множество специальных символов, которые формировались в течение нескольких столетий. 

 

История формирования математических символов

 

Первыми существенными успехами в арифметике стали концептуализация числа и изобретение четырех основных действий: сложения, вычитания, умножения и деления.

 

Знаки сложения и  вычитания ( +, - )

Знаки плюса и минуса придумали, по-видимому, в немецкой математической школе «коссистов» (то есть алгебраистов). Они используются в «Арифметике» Иоганна Видмана изданной в 1489 году (Рис. 1). До этого сложение обозначалось буквой p (plus) или латинским словом et (союз «и»), а вычитание — буквой m (minus). У Видмана символ плюса заменяет не только сложение, но и союз «и». Происхождение этих символов неясно, но, скорее всего, они ранее использовались в торговом деле как признаки прибыли и убытка. Оба символа практически мгновенно получили общее распространение в Европе — за исключением Италии.

Рисунок 1. Первое появление знаков «плюс» и «минус». Страница из книги Иоганна Видмана.

 

Знаки умножения ( × , ∙ )

Первое определение действия умножения восходит к грекам. Знак умножения в виде косого крестика ввел Оутред 1631 год. Это обозначение принял Лейбниц. Во всеобщее употребление знак вошел благодаря "Основаниям всех наук" Вольфа 1710 год. До него использовали букву M. Позднее Лейбниц заменил крестик на точку (конец XVII века), чтобы не путать его с буквой x; до него такая символика встречалась у Региомонтана (XV век) и английского учёного Томаса Хэрриота (1560—1621).  Знаки точка и «х» отобраны среди множества символов, придуманных различными авторами.

 

Знаки деления ( /, : , ÷ )

В математике древности не было деления - его производили последовательным вычитанием. До распространения современного способа деления эта операция была трудной и громоздкой. Термины  деление, делимое, делитель появились сравнительно поздно у Герберта в конце X века, когда он был центральной фигурой у ученых.

Из современных знаков деления старейший - горизонтальная черточка, она была у Герона и  Диофанта, затем встречается у  Леонардо Пизанского. Однако во всеобщее употребление горизонтальная черта вошла лишь в XVI-XVII веке. Отред предпочитал косую черту.  Двоеточие введено в "Арифметике" Джонса (1633 год). С 1684 года двоеточие как знак деления употребляет Лейбниц. Швейцарец Ран ввел знак двоеточие с чертой 1659 год. В 1923 году Национальный Комитет Математических Проблем постановил прекратить употребление этого знака.

 

Знак равенства ( = )

До появления специального знака слово "равенство" писали на разных языках, а затем "унифицировали" математический язык и в научный обиход вошло слово aequatura или сокращенно aequ. В 1557 году английский математик и врач Рекорд предложил знак =, "ибо, - писал он, - ничего нет более равного, чем две параллельные прямые". В континентальной Европе знак равенства был введён Лейбницем.

 

Знаки неравенств ( >, < ,  >>, << )

После введения знака равенства  английский ученый Гарриот ввел в употребление знаки неравенства 1631 год. До него писали словами: больше, меньше. << и >> были введены Борелем и Пуанкаре 1901 год при сравнении рядов и впоследствии приобрели смысл "много мньше" и "много больше".

 

Символ процента (%)

Символ процента появляется в середине XVII века сразу в нескольких источниках, его происхождение неясно. Есть гипотеза, что он возник от ошибки наборщика, который сокращение cto (cento, сотая доля) набрал как 0/0. Более вероятно, что это скорописный коммерческий значок, возникший лет на 100 раньше.

 

Знак корня ( √ )

Древнегреческие математики говорили "найти сторону по данной площади квадрата" вместо извлечь корень. Следуя этой традиции, раньше квадратный корень называли "стороной". Знак корня ввел автор первого учебника по алгебре на немецком языке, учитель математики в Вене Рудольф (1525 год). Затем в 1637 году Декарт объединил знак корня с горизонтальной чертой - знаком скобок, и получился современный знак.

 

Возведение в  степень (aⁿ)

Современная запись показателя степени введена Декартом в его  «Геометрии» (1637), правда, только для  натуральных степеней, больших 2. Позднее  Ньютон распространил эту форму  записи на отрицательные и дробные  показатели (1676).

Логарифм ( log, lg, ln )

Логарифмы были изобретены Непером, шотландским бароном, и Бюрги, другом Кеплера, королевским придворным часовых дел мастером в Праге, а также мастером астрономических инстрементов. Непр изобрел логарифмы не позднее 1594 года. Непр не употреблял никаких символов для обозначения логарифмов.

Напрашивающиеся сокращения у Кеплера в 1624 году, Бриггса в 1631 году, Оутреда в 1647 году употреблялись в течение века без строго различия. Коши первый предложил ввести различные знаки для десятичных и натуральных логарифмов.

 

Обозначения дроби

На всех языках дробь называется "ломаным, раздробленным числом". До эпохи Архимеда дроби описывали  словами. Архимед и Диофант писали знаменатель над числителем, без  черточки.  Современная запись ведет начало от индусов, у которых ее переняли арабы: числитель пишется над знаменателем. Черту для их разделения впервые применил Леонардо Пизанский (1202 год). Потом эта запись исчезла и появилась вновь только у Видмана 1489 год. Запятую в десятичных дробях ввели итальянский астроном Маджини (1592 год) и Непер (1617 год).

 

Скобки ()

До появления специальных  символов перед выражением, которое  нужно было заключить в скобки, ставили слово collect и т.п. Знаки, выполняющие роль скобок появились в XV веке. Широкое применение скобки получили лишь в первой половине XVIII века благодаря Лейбницу и еще больше Эйлеру.

Термин интервал происходит от латинского intervallum - промежуток, расстояние. Современные обозначения появились впервые в 1909 году в книге немецкого профессора математики Г. Ковалевского.

Модуль ( | | )

Термин происходит от латинского modulus - мера. Широко использовался в математике. Модуль перехода (при логарифмировании) ввел Коутс. Модуль сравнения введен Гауссом в 1801 году. Слово всегда использовал Коши в теории комплексной переменной (начиная с 1829 года). Символ || появился у Вейерштрасса для комплексного числа довольно рано в 1841 году.

 

Знаки суммы и  произведения ( Σ, П )

Знак суммы ввёл Эйлер  в 1755 году. Знак произведения ввёл Гаусс  в 1812 году.

 

Знак мнимой единицы  ( i )

Букву i как код мнимой единицы: предложил Эйлер (1777), взявший для этого первую букву слова imaginarius (мнимый).

 

Обозначение числа ( π )

Общепринятое обозначение  числа 3.14159… образовал Уильям Джонс  в 1706 году, взяв первую букву греческих  слов περιφέρεια — окружность и περίμετρος — периметр, то есть длина окружности.

 

Интеграл ( ∫ )

В превой половине XVII века при вычислении фигуры операцию записывали словами: "совокупность всех неделимых". Лейбниц ради сокращения вводит начальную букву Summa, которая по начертанию того времени писалась как наш знак интеграла.

 

Обозначение производной  ( y' )

Краткое обозначение производной  штрихом восходит к Лагранжу.

 

Обозначение дифференциала  ( d )

Лейбниц для "бесконечно малой разности" использовал обозначение  d - первую букву слова differential. Обозначени dx появилось у него в 1675 году.

 

Обозначение предела  ( lim )

Символ предела появился в 1787 году у Симона Люилье (1750—1840).

 

Градиент

Термин происходит от латинского gradior - идти вперед. Символический вектор был введен ирландским ученым Гамильтоном в 1846 году (Рис. 2).

Рисунок 2. Градиент.

 

Параллельность

С греческого означает "рядом идущая". Слово стало употребляться как математический термин 2 500 лет назад в школе пифагора. Для обозначения использовался знак =

Лишь после введеного Рекордом знака равенства стали пользоваться знаком || (Керси 1637, Вильсон).

 

Синус, косинус, тангенс, котангенс

Слово встречается в индийских  сидхантах - анонимном труде по астрономии IV или V век и в "Ариабхатиам" (сочинение по астрономии и математике Ариабхаты 476 год). Линия синуса называлась "ардхаджива": "ардха" означает "половина", а "джива" - "тетива лука, хорда". Позднее синус стали сокращенно называть "джива". В IX веке было заменено арабским словом "джайб". При переводах на латынь переводчики Роберт Честерский(1145) и Герард Кремонский (1175) употребили слово sinus. Современное обозначение sin употребляли Симпсон, Эйлер, Кестнер, Д'Аламбер, Лагранж. Благодаря Эйлеру утвердились обозначения sin, cos, tg.

Термин «косинус» представляет собой сокращение выражения complementi sinus - т.е. "дополнительный синус". В трудах арабских математиков косинус рассматривается только как синус дополнения угла до 90 градусов. Этот термин как и "котангенс", ввел английский математик и астроном, Гентер в 1620 году. Благодаря Эйлеру эти обозначения стали общепринятыми.

 

Градус

Латинское слово gradus означает "шаг". Как заметили вавилонские жрецы, солнечный диск укладывается по дневному пути Солнца 180 раз, т.е. "Солнце делает 180 шагов". Тогда путь за сутки равен "360 шагам". Круг стали делить на 360 частей.

Обозначения, напоминающие современные, использовались Птолемеем, который  употреблял шестидесятеричную систему исчисления. Он называл градусы "частями" и обозначал минуты штрихом, а секунды двумя штрихами (' и ")

Современные знаки ввел медик  и математик Плетье (1558 год). Эти обозначения распространились очень быстро и к 1600 году стали общепринятыми.

 

Обозначение бесконечности ( ∞ )

Математики Греции пытались дать определение понятиям бесконечность, предел и столкнулись с непреодолимыми трудностями. Эти понятия были корректно  определены только в XIX веке.  Современное определение бесконечности предложил Дедекин в книге "Что такое числа и чем они должны быть", 1888.

Знак для указания неограниченного  возрастания был введен Валлисом (1655). Предполагают, что Валлис использовал  римский символ, означавший 1000. Знак стал общепринятым с XVIII века.

 

 

Заключение

 

Анри Пуанкаре писал: "В  ее строго логической форме математическая дисциплина принимает столь искусственный  характер, что ставит в тупик любого. Забывая исторические истоки, мы видим, как вопросы могут быть разрешены, но перестаем понимать как и почему они были поставлены".

Прежде чем понять, что  означает какой либо математетический символ, необхадимо узнать историю появления этого символа.

 

Математическая наука  необходима для цивилизованного  общества. Математика содержится во всех науках. Можно сказать, что язык математики мы начинаем изучать вместе с родной речью. Так неразрывно вошла математика в нашу жизнь. Благодаря математическим открытиям прошлого, ученые создают новые технологии. Сохранившиеся открытия дают возможность решать сложные математически задачи. И древний математический язык нам понятен, а открытия нам интересны. Благодаря математике Архимед, Платон, Ньютон открыли физические законы. Мы изучаем их в школе.  Благодаря истории сохраняются знания и факты для будущих поколений. Дальнейшее изучение математики необходимо для новых открытий.