Автор работы: Пользователь скрыл имя, 06 Ноября 2014 в 20:28, реферат
Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.
Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур.
Функция - одно из основных математических и общенаучных понятий. Оно сыграло и поныне играет большую роль в познании реального мира.
Идея функциональной зависимости восходит к древности. Ее содержание обнаруживается уже в первых математически выраженных соотношениях между величинами, в первых правилах действий над числами. В первых формулах для нахождения площади и объема тех или иных фигур. Так, вавилонские ученые (4-5тыс.лет назад) пусть несознательно, установили, что площадь круга является функцией от его радиуса посредством нахождения грубо приближенной формулы: S=3r2 . Примерами табличного задания функции могут служить астрономические таблицы вавилонян, древних греков и индийцев, а примерами словесного задания функции - теорема о постоянстве отношения площадей круга и квадрата на его диаметре или античные определения конических сечений, причем сами эти кривые выступали в качестве геометрических образов соответствующей зависимости.
Раздел 1. Функция и её свойства.
Функция- зависимость переменной у от переменной x , если каждому значению х соответствует единственное значение у .
Переменная х- независимая переменная или аргумент.
Переменная у- зависимая переменная
Значение функции- значение у , соответствующее заданному значению х .
Область определения функции- все значения, которые принимает независимая переменная.
Область значений функции (множество значений)- все значения, которые принимает функция.
Функция является четной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f ( x )= f (- x )
Функция является нечетной- если для любого х из области определения функции выполняется равенство f (- x )=- f ( x )
Возрастающая функция- если для любых х1 и х2 , таких, что х1 < х2 , выполняется неравенство f (х1 )< f (х2 )
Убывающая функция- если для любых х1 и х2 , таких, что х1 < х2 , выполняется неравенство f (х1 )> f(х2 )
Раздел 2. Способы задания функции.
Чтобы задать функцию, нужно указать способ, с помощью которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение функции. Наиболее употребительным является способ задания функции с помощью формулы у= f ( x ) , где f ( x )- с переменной х . В таком случае говорят, что функция задана формулой или что функция задана аналитически.
На практике часто используется табличный способ задания функции. При этом способе приводится таблица, указывающая значения функции для имеющихся в таблице значений аргумента. Примерами табличного задания функции являются таблица квадратов, таблица кубов.
Раздел 2. Виды функций и их свойства.
1) Постоянная функция- функция, заданная формулой у= b , где b - некото
2) Прямая пропорциональность- функция, заданная формулой у= kx , где к¹0. Число k называетсякоэффициенто
Cвойства функции y=kx :
1. Область определения функции- множество всех действительных чисел
2. y=kx - нечетная функция
3. При k>0 функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой
3)Линейная функция- функция, которая задана формулой y = kx + b , где k иb - действительные числа. Если в частности, k =0 , то получаем постоянную функцию y = b ; если b =0 , то получаем прямую пропорциональность y = kx .
Свойства функции y = kx + b :
1. Область определения- множество всех действительных чисел
2. Функция y = kx + b общего вида, т.е. ни чётна, ни нечётна.
3. При k>0функция возрастает, а при k<0 убывает на всей числовой прямой
Графиком функции является прямая .
4)Обратная пропорциональность- функция, заданная формулой y = k /х, где k¹0 Число k называюткоэффициентом обратной пропорциональности.
Свойства функции y = k / x :
1. Область определения- множество
всех действительных чисел
2. y=k / x - нечетная функция
3. Если k>0, то функция убывает на промежутке (0;+¥) и на промежутке (-¥;0). Если k<0, то функция возрастает на промежутке (-¥;0) и на промежутке (0;+¥).
Графиком функции является гипербола .
5)Функция y = x 2
Свойства функции y=x2 :
1. Область определения- вся числовая прямая
2. y=x2 - четная функция
3. На промежутке [0;+¥) функция возрастает
4. На промежутке (-¥;0] функция убывает
Графиком функции является парабола .
6)Функция y=x3
Свойства функции y=x3 :
1. Область определения- вся числовая прямая
2. y=x3 - нечетная функция
3. Функция возрастает на всей числовой прямой
Графиком функции является кубическая парабола
7)Степенная функция с натуральным показателем- функция, заданная формулой y = xn , где n - натуральное число. При n=1 получаем функцию y=x, ее свойства рассмотрены в п.2. При n=2;3 получаем функции y=x2 ; y=x3 . Их свойства рассмотрены выше.
Пусть n- произвольное четное число, большее двух: 4,6,8... В этом случае функция y = xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x2 . График функции напоминает параболу y=x2 , только ветви графика при |х|>1 тем круче идут вверх, чем больше n, а при |х|<1 тем “теснее прижимаются” к оси Х, чем больше n.
Пусть n- произвольное нечетное число, большее трех: 5,7,9... В этом случае функция y = xn обладает теми же свойствами, что и функция y=x3 . График функции напоминает кубическую параболу.
8)Степенная функция с целым отрицательным показателем- функция, заданная формулой y = x - n ,где n - натуральное число. При n=1 получаем y=1/х, свойства этой функции рассмотрены в п.4.
Пусть n- нечетное число, большее единицы: 3,5,7... В этом случае функция y = x - n обладает в основном теми же свойствами, что и функция y=1/х.
Пусть n- четное число, например n=2.
Свойства функции y=x-2 :
1. Функция определена при всех x¹0
2. y=x-2 - четная функция
3. Функция убывает на (0;+¥) и возрастает на (-¥;0).
Теми же свойствами обладают любые функции при четном n, большем двух.
9)Функция y = Ö х
Свойства функции y = Ö х:
1. Область определения - луч [0;+¥).
2. Функция y= Ö х - общего вида
3. Функция возрастает на луче [0;+¥).
10)Функция y =3 Ö х
Свойства функции y =3 Ö х:
1. Область определения- вся числовая прямая
2. Функция y= 3 Ö х нечетна.
3. Функция возрастает на всей числовой прямой.
11)Функция y=n Ö х
При четном n функция обладает теми же свойствами, что и функция y = Ö х . При нечетном n функцияy = n Ö х обладает теми же свойствами, что и функция y =3 Ö х.
12)Степенная функция с положительным дробным показателем- функция, заданная формулой y =xr , где r - положительная несократимая дробь.
Свойства функции y=xr :
1. Область определения- луч [0;+¥).
2. Функция общего вида
3. Функция возрастает на [0;+¥).
На рисунке изображен график функции y=x5/2 . Он заключен между графиками функций y=x2 и y=x3 , заданных на промежутке [0;+¥).Подобный вид имеет любой график функции вида y = xr , где r>1.
На рисунке изображен график функции y=x2/3 . Подобный вид имеет график любой степенной функции y = xr , где 0<r<1
13)Степенная функция с отрицательным дробным показателем- функция, заданная формулой y = x- r , где r - положительная несократимая дробь.
Свойства функции y = x - r :
1. Обл. определения -промежуток (0;+¥)
2. Функция общего вида
3. Функция убывает на (0;+¥)
14)Обратная функция
Если функция y = f ( x ) такова, что для любого ее значения yo уравнениеf ( x )=
Если функция y=f(x) определена и возрастает (убывает) на промежутке Х и областью ее значений является промежуток Y, то у нее существует обратная функция, причем обратная функция определена и возрастает(убывает) на Y.
Таким образом, чтобы построить график функции, обратной к функции y=f(x), надо график функции y=f(x) подвергнуть преобразованию симметрии относительно прямой y=x.
15)Сложная функция- функция, аргументом которой является другая любая функция.
Возьмем, к примеру, функцию y=x+4. Подставим в аргумент функцию y=x+2. Получается: y(x+2)=x+2+4=x+6. Это и будет являться сложной функцией.
Заключение.
Понятие функции является одним из основных понятий по математики вообщем. Оно не возникло
сразу в таком виде, как мы им пользуемся сейчас, а как и другие фундаментальные понятия прошло длинный путь
диалектического и исторического развития. Идея функциональной зависимости вос
Впервые термин "функция" вводит в рассмотрение знаменитый немецкий математик и философ Лейбниц в 1694 г. Однако, этот термин /определения он не дал вообще/ он употребляет в узком смысле, понимая под функцией изменение ординаты кривой в зависимости от изменения ее абсциссы. Таким образом, понятие функции носит у него "геометрический налет".
Ученик Лейбница Иоганн Бернулли пошел дальше своего учителя. Он дает более общее определение функции, освобождая последнее от геометрических представлений и терминов: "функцией переменной величины называется количество, образованное каким угодно способом из этой величины и постоянных".
Информация о работе Функции.Способы задания функций.График функций