Автор работы: Пользователь скрыл имя, 08 Декабря 2013 в 23:36, курсовая работа
Пусть X — некоторое пространство с мерой ; при этом мера самого X может быть конечной или бесконечной. Будем считать меру ϻ полной (т. е. любое подмножество любого множества меры нуль измеримо). Рассмотрим совокупность всех функций f, суммируемых на X. Поскольку линейная комбинация суммируемых функций суммируема, эта совокупность, с обычными операциями сложения функций и умножения их на числа, образует линейное пространство.
Норма в определяется формулой
а расстояние между элементами и g — формулой
Величину
называют также средним квадратичным уклонением функций f и друг от друга.
Сходимость функциональной последовательности в смысле метрики пространства называется сходимостью в среднем квадратичном. Если нет опасности спутать эту сходимость со сходимостью в , определенной в предыдущем параграфе, мы и здесь будем пользоваться более коротким термином «сходимость в среднем».
Теорема 1. Пространство при полно. Доказательство. Пусть {} — фундаментальная последовательность в , т. е.
при п, т .
Тогда в силу оценки (1) получаем
т. e. последовательность {} фундаментальна и в метрике пространства . Повторяя рассуждения, которые были проведены при доказательстве полноты пространства выберем из {} подпоследовательность {},сходящуюся почти всюду к некоторой функции f. В неравенстве
справедливом для членов этой подпоследовательности при всех достаточно больших и , можно, используя теорему Фату, перейти к пределу при . Получим
откуда следует, что и что Для завершения доказательства остается, как и в теореме 1 для , воспользоваться тем, что, если фундаментальная последовательность содержит сходящуюся, то и сама она сходится к тому же пределу.
Случай бесконечной меры.
Мы рассматривали только что функции с интегрируемым квадратом, определенные на некотором пространстве X конечной меры. При этом условие использовалось довольно существенно. Именно, сначала мы прибегли к нему, доказывая, что всякая функция с суммируемым квадратом суммируема и в первой степени, а затем — при выводе неравенства (2), на которое опиралось доказательство полноты пространства . Если рассматривать функции на множестве бесконечной меры (например, на всей прямой с лебеговой мерой на ней), то не всякая функция из будет содержаться в . Например, функция не интегрируема на всей прямой, а ее квадрат интегрируем. Далее, в случае имеет место неравенство (1), означающее, что из сходимости последовательности функций в следует их сходимость в . При это тоже неверно: например, последовательность функций на прямой
сходится к 0 в пространстве функций с суммируемым квадратом на прямой, но не сходится ни к какому пределу в . Однако теорема о полноте пространства остается справедливой и при .
Докажем это утверждение. Предположим, что все пространство X можно представить как счетную сумму множеств конечной меры. Пусть
— такое представление и пусть {} — фундаментальная последовательность в . Таким образом, для каждого существует такое N, что
Введем обозначение
Тогда в силу свойства -аддитивности интеграла Лебега,имеем
Для каждого конечного М и подавно
Совокупность
функций с интегрируемым
(где сходимость понимается как сходимость в пространстве , мы можем перейти к пределу при в неравенстве (3). Получаем
Так как это неравенство выполнено для всех М, то в нем можно перейти к пределу при . Таким образом, имеем
Положив
мы можем последнее неравенство переписать в виде
Отсюда вытекает как принадлежность f к , так и сходимость последовательности {} к .
Всюду плотные множества в .Теорема об изоморфизме.
Итак, пространство функций с интегрируемым квадратом есть полное евклидово пространство. За исключением вырожденных случаев, размерность этого пространства бесконечна.
С точки зрения различных применений в анализе важно выяснить, когда пространство сепарабельно, т. е. содержит счетное всюду плотное множество. Ранее мы установили, что для пространства сепарабельность вытекает из существования у меры счетного базиса. Нетрудно убедиться, что это условие гарантирует и сепарабельность . Действительно, каждую функцию из можно приблизить, с любой точностью, функциями, каждая из которых равна 0 вне некоторого множества конечной меры. Далее, те же рассуждения, которые были проведены при доказательстве теоремы 3 для , показывают, что в совокупности таких функций можно выбрать счетное всюду плотное множество.
Итак, если мера имеет счетный базис, то пространство есть полное сепарабельное евклидово пространство. Иначе говоря, оставляя в стороне тот случай, когда имеет конечную размерность, мы получаем следующий результат: если мера имеет счетный базис, то есть сепарабельное гильбертово пространство.
В силу теоремы об изоморфизме гильбертовых пространств, это означает, что все такие изоморфны между собой. В частности, каждое такое изоморфно пространству числовых последовательностей со сходящейся суммой квадратов. Последнее можно рассматривать как , когда X счетно, а определена на всех его подмножествах и равна 1 для каждой точки. Ниже мы будем рассматривать только , отвечающие мерам со счетным базисом. В случаях, когда это не может вызвать недоразумений, каждое такое пространство мы будем обозначать просто .
Поскольку пространство представляет собой, как мы выяснили, реализацию гильбертова пространства, на можно перенести все те понятия и факты для абстрактного гильбертова пространства.
В частности, согласно теореме Рисса всякий линейный функционал в гильбертовом пространстве записывается в виде скалярного произведения
где а — фиксированный вектор из . Поэтому всякий линейный функционал в имеет вид
где — фиксированная функция с интегрируемым квадратом, на X.
Пространство .
Рассмотрим линейное пространство всех непрерывных на функций. Норму введём так:
Первая и вторая аксиомы нормы проверяются тривиально. Проверим третью аксиому. По свойству модуля для любого имеем
Следовательно, . Неравенство сохранится, если взять левой его части. В результате получаем неравенство треугольника для нормы в ; для полученного нормированного пространства мы сохраним прежнее обозначение.
Покажем теперь, что сходимость по норме в есть равномерная сходимость. Пусть дана последовательность , и пусть она сходится к , т.е. . Это означает следующее: для любого существует номер такой, что при любых справедливо неравенство
и тем более для всех . Итак, сходимость по норме в - равномерная.
Посмотрим, как выглядит в (в вещественном случае) окрестность Для этого построим графики функций . Эти два графика и отрезки прямых ограничивают - полоску(полоску шириной вокруг графика ), которая и служит -окрестностью точки .
В лежат те элементы , графики которых лежат строго между графиками элементов и .
Список литературы.