Функцияны туынды көмегімен зерттеу

Функциялар қосындысы формулалары (31) (32) (33) (34) (35)

Туындының геометриялық және механикалық мағынасы.   функциясының х₀ нүктесiндегi туындысының бар болуы, оның графигiнiң   нүктесiнде жанаманың бар болуымен бара бар. Бұл жағдайда, жанаманың бұрыштық коэффициентi  -қа тең. Туындының геометриялық мағынасы осы.   функциясы графигiне  нүктесiнде жүргiзiлген жанаманың теңдеуi

болады.   нүктесiнен жанамаға перпендикуляр болып өтетiн түзудi   функциясы графигiне, осы нүктеде жүргiзiлген нормаль деп атайды, оның теңдеуi

болады.

Егер материалдық  нүктенiң қозғалыс заңы   функциясы арқылы берiлсе, онда оның уақыт бойынша алынған туындысы жылдамдықты, ал екiншi реттi туындысы үдеудi анықтайды. Бұл бiрiншi реттi және екiншi реттi туындының механикалық мағынасы болып табылады.

Мысал.   қисығына абсциссасы   болатын нүктеде жүргiзiлген жанама мен нормальдiң теңдеуiн жазайық.

Шешуi:Нүктенiң ординатасын  табамыз

.

Туындысын анықтайық:  ; Сонда жанаманың бұрыштық коэффициентi  болады.

Сонымен, жанаманың теңдеуi  , ал нормальдiң теңдеуi   болады екен. 

1. Тригонометриялық теңдеулер мен теңсіздіктер.        

 Тригонометриялық теңдеулер  мен теңсіздіктерді шешу теңдеулер  мен теңсіздіктердің басқа түрлерін  шешуден бірінші кезекте оларды  шешу нәтижесінде шешімдердің ақырсыз сериясын алуымызбен ерекшеленеді. Сондықтан осы теңдеулер мен теңсіздіктерді шешу нәтижелерін келтірумен шектелеміз. Негізгі тригонометриялық теңдеулер мыналар:         

1) sin x = a. Егер ׀а׀›1болса, онда теңдеудің шешімдері жоқ.

Егер функциялардың графиктерін  пайдалансақ, онда берілген теңдеудің  шешуін көрнекі түрде аламыз. Sin x = a теңдеуін графиктік шешуді у = sin xпен у= a функциялары графиктерінің қиылысу нүктелерінің  абсциссаларын табу ретінде қарастыруға болады. Дәл осы теңдеуді графиктік әдіспен басқаша, тригонометриялық деп аталатын шеңберде, шешуге болады. Ол үшін радиусы бірге тең шеңбер сызамызда, оның центрі арқылы өзара перпендикуляр екі координаталар осьтерін жүргіземіз. Сондықтан біз жоғарыда келтірілген шешімдердің екі сериясын аламыз.         

2)Сos x = a. Егер ׀а׀›1 болса, теңдеудің шешімдері жоқ. К€ z формуласымен анықталатын айнымалының мәндерінің екі ақырсыз жиыны болады.         

3) tg x = a. Кез келген а үшін оның шешімдері  К€ z формуласымен беріледі.         

4) ctg = a.Кез келген а үшін оның шешімдері К€ z формуласымен беріледі.        

 Негізгі емес тригонометриялық  теңдеулерді немесе теңсіздіктерді  шешу бір немесе бірнеш негізгі  тригонометриялық теңдеулерді немесе  теңсіздіктерді шешуге келтіріледі. Негізгі емес теңдеулер мен теңсіздіктерді негізгілерге келтіру процесі тригонометриялық функцияларды тепе-тең түрлендірулердің формулалары арқылы әр түрлі түрлендірулердің көмегімен , сондай-ақ айнымалыларды ауыстырудың және көбейткіштерге жіктеудің көмегімен жүргізіледі.