Фурье анализ и синтез периодических функций

  
 
 
 
 
 
 
 

   Ряды  Фурье для сигналов на бесконечном интервале

   До  сих пор мы показали, что с помощью  тригонометрических рядов можно  представить два типа сигналов. Сигналы  первого типа состояли из конечного числа ординат, отстоящих на сек друг от друга. Сигналы этого типа можно было бы представить на данном интервале с помощью непрерывного сигнала , образованного гармониками основной частоты Гц. Максимальной из присутствующих частот является Гц, и поэтому про сигнал говорят, что он имеет ограниченную полосу частот.

   Сигналы второго типа были непрерывными сигналами, заданными на интервале . Сигналы такого типа можно представить на этом интервале с помощью некоторого сигнала, состоящего из бесконечного числа гармоник основной частоты Гц.

   В более общем случае нужно рассматривать сигналы третьего типа, определенные на бесконечном интервале . Соответствующий подход является предельным случаем анализа Фурье, в котором рассматриваются неограниченно увеличивающиеся отрезки бесконечной записи. По мере того как стремится к бесконечности, частотный интервал между соседними гармониками становится бесконечно малым, что приводит к непрерывному распределению амплитуд по частоте.

   Чтобы продемонстрировать эти предельные рассуждения, можно переписать (4.3) в виде

                                       

.                                 (5.1)

В пределе, когда  , , и . Поэтому (5.1) стремится к интегралу

                                         

.                                            (5.2)

Аналогично (4.2) можно переписать в виде

                                         

,                                   (5.3)

что стремится  к 

                                          

,                                          (5.4)

когда . Функция называется преобразованием Фурье функции . 

   Физически преобразование Фурье  представляет собой распределение интенсивности сигнала по частоте, т.е. является функцией плотности.

   Таким образом, мы показали, что бывает три типа сигналов: сигналы, состоящие из конечного числа ординат, сигналы непрерывные на интервале и сигналы определенные на бесконечном интервале . Каждый из этих сигналов имеет как прямое, так и обратное преобразование Фурье; эти преобразования представлены в табл. 1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Краткая сводка формул преобразований Фурье            

          

Описание	Функция	Преобразование	Обратное преобразование
Конечный  дискретный ряд	,	,	,
Непрерывная периодическая функция	,	,	, ,
Непрерывная апериодическая функция	,	,	,

 

Таблица 1. 
 

 

   

   Теорема Парсеваля 

   Среднеквадратичная  величина, или средняя мощность, сигнала  равна

   

.

Используя (2.1) и свойства ортогональности (2.3), получим, что эта величина записывается в виде

                                       

,                                (6.1)

что является частным случаем теоремы Парсеваля. Эта теорема утверждает, что среднеквадратичное значение сигнала  , или средняя мощность, рассеиваемая сигналом , может быть разложена на составляющие, даваемые гармоникой. Для нулевой и - й гармоник вклад равен , а для - й гармоники средняя мощность равна .

Более удобной мерой является среднеквадратичное значение сигнала  относительно среднего . Оно равно дисперсии

                               

,                              (6.2)

   Разложение  среднеквадратичной суммы можно  представить, нанеся на график среднюю  мощность гармоники против частоты  этой гармоники. Такой график называется линейчатым спектром Фурье.

   Если  принять во внимание (3.5), то теорема Парсеваля записывается в следующем виде

                                         

.                                              (6.3)

Следовательно, вклад в среднеквадратичную сумму, вносимый членом в (6.1), разделяется в (6.3) на две части, каждая из которых равна ; одна соответствует частоте , а другая – частоте – .

   Если  же сигнал непрерывный, то учитывая (4.2) теорема Парсеваля переходит в

                                 

,                                           (6.4)

поскольку (6.3) можно записать в виде

                                     

,                                            (6.5)

и , когда и .

   И наконец, для случая бесконечного интервала  соотношение Парсеваля можно  записать в виде

                                     

,                                      (6.6)

что стремится  к 

                                        

.                                         (6.7) 
 
 

   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

   Быстрые преобразования Фурье 

   С помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ) дискретное преобразование Фурье вычисляется гораздо быстрее, чем с помощью прямого метода и стой же самой точностью. Так, используя прямой метод для вычисления дискретного преобразования  Фурье ряда из членов, потребовалось бы приблизительно операций, в то время как БПФ требует лишь операций. Экономия времени вычислений может быть очень велика, если нужно проводить анализ Фурье длинных рядов.

   Алгоритм  БПФ

   Предположим, что требуется найти преобразование Фурье  , , ряда , , где – четное. Один из способов заключается в расщеплении ряда на два вспомогательных ряда и , где  

   

,

                                                      

, .                     (7.1)

   Каждый  из рядов  и содержит членов, и преобразования Фурье этих рядов имеют вид

   

,

                                                                                                            (7.2)

   

,

где верхний  индекс преобразованных величин  указывает число членов ряда, которое  совпадает с числом членов преобразования. Величины  , , связаны следующим соотношениями:

, (7.3)

.

Кроме того,

                                         ,                                                        

, ,

так что 

,   .                                                                                                       (7.4)

Следовательно, окончательный результат равенств (7.3) И (7.4) имеет вид

,

                

,                   (7.5)

Отсюда  легко увидеть, что преобразования Фурье ряда легко получить из преобразований Фурье вспомогательных рядов и . Подобным же образом при можно расщепить каждый из рядов и на два ряда и соответственно и вывести соответствующий вариант формулы (7.5), который выразит преобразования , через преобразования рядов длиной .

   Для рядов длины  эту процедуру можно продолжать до тех пор, пока расщепление не приведет к рядам, состоящим из одного члена; в этом случае преобразование Фурье этого члена совпадает с ним самим. В случае если не равно степени двойки, расщепление на два ряда продолжается до тех пор, пока станет легко взять преобразование Фурье вспомогательного ряда.   
 
 
 
 
 
 
 
 

   Заключение 

   В данной курсовой работе я рассмотрел основные вопросы, связанные с анализом Фурье и синтезом функций. Показал, что любую сложную функцию можно разложить на сумму косинусов и синусов, тем самым подтвердил утверждение, высказанное в начале работы. Убедился, что существует три типа сигнала и для каждого из них есть как прямое, так и обратное преобразование Фурье, что в итоге было резюмировано в таблице на странице 14. Также узнал, что среднеквадратичное значение сигнала или средняя мощность, может быть разложена на составляющие, даваемые каждой гармоникой в отдельности. В последствии показал, что на этом свойстве основано построение спектров функций, графиков, отражающих присутствующие частотные составляющие.

   Немаловажное значение имеет приложение представленное в конце работы, в котором были реализованы теоретические сведения, полученные в ходе работы. 

   Следует отметить, что остался еще очень  широкий круг неисследованных вопросов, касающихся как Фурье анализа, так  и непосредственно связанных  с ним теоретических и практических методов решения различных задач. Таким образом, исследования, проведенные в данной работе являются только первым шагом на пути изучения вопросов связанных с этой темой.   

          
 
 
 

     
 
 
 
 
 

   Приложение  №1 

   Пример  №1. Даны данные табл. 2, которые дают интенсивность сигналов, отраженных от одного из слоев в ионосфере. Приведенные цифры являются осредненными по нескольким месяцам значениями интенсивности в фиксированное время суток.

   Таблица 2

Время	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Средняя интенсивность	-6	-20	-28	-8	-1	7	-20	-6	-7	14	19	12