Численное решение и программная реализация задачи о провисании цепи

Логические операции могут комбинироваться с помощью  связок:

• and (логическое И);
• or (логическое ИЛИ);
• xor (исключающее ИЛИ).

Константа – это область памяти, содержащая определённое значение, но значение остаётся на весь период существования константы. При определении константы тип данных не указывается. Константа определяется в разделе const.

Программа позволяет решить систему двух нелинейных уравнений методом Ньютона – Рафсона.

 

3.2.2 Тестирование программы

 

Используя метод Ньютона, решить систему нелинейных уравнений  с точностью до 0,002.

 

 

Таблица 1 – Значения функций, входящих в первое и второе уравнение

x	-1,1	-1	-0,8	-0,6	-0,4	-0,2	0,2	0,4	0,5
x2	1,21	1	0,64	0,36	0,16	0,04	0,04	0,16	0,25
0.8x2	0,97	0,80	0,51	0,29	0,13	0,03	0,03	0,13	0,20
1-0.8x2	0,03	0,20	0,49	0,71	0,87	0,97	0,97	0,87	0,80
	0,02	0,13	0,33	0,47	0,58	0,65	0,65	0,58	0,53
y2	0,15	0,37	0,57	0,69	0,76	0,80	0,80	0,76	0,73
1.2x	-1,32	-1,2	-0,96	-0,72	-0,48	-0,24	0,24	0,48	0,6
0.4+1.2x	-0,92	-0,8	-0,56	-0,32	-0,08	0,16	0,64	0,88	1
2x-y	-1,17	-0,93	-0,59	-0,33	-0,08	0,16	0,69	1,08	1,57
y1	-1,03	-1,07	-1,01	-0,87	-0,72	-0,56	-0,29	-0,28	-0,57

 

Значения для x можно брать исходя из следующих условий:

• из первого уравнения –1<1.2x+4<1, т.е. – 1.16<x<0.5;
• из второго уравнения – <x< , т.е. – 1.12<x<1.12.

Таким образом, – 1.12<x<0.5.

Система имеет два решения. Уточним одно из них, принадлежащее  области D: 0.4<x<0.5;  – 0.76<y<– 0.73.

За начальное приближение  примем x₀=0.4; y₀= – 0.75.

Имеем следующие системы:

 

 

Найдем элементы матрицы  Якоби  , где , и значения функций в x₀=0.4; y₀= – 0.75:

 

 

F(0,4;– 0,75)=0,11978; G(0,4;-0,75)=– 0,02825.

 

 

где ;   .

 

 

 

 

Итерационные формулы:

 

 

Таблица 2 – Значения вычислений

n	xn	0.8xn2	2xn-yn	sin(2xn-yn)	F(xn,yn)			detW	detW1	∆x
	yn	1.5yn2		cos(2xn-yn)	G(xn,yn)				detW2	∆y
0	0,40000	0,12800	1,55000	0,99978	0,11978	-1,15841	-0,02079	2,61973	0,27010	0,10310
	-0,75000	0,84375		0,02079	-0,02825	0,64000	-2,25000		0,04394	0,01677
1	0,50310	0,20249	1,73943	0,98581	-0,01791	-1,53568	0,16784	3,24291	-0,03790	-0,01169
	-0,73323	0,80644		-0,16784	0,00893	0,80496	-2,19969		-0,00071	-0,00022
2	0,49142	0,19319	1,71628	0,98944	-0,00026	-1,48994	0,14497	3,16440	-0,00057	-0,00018
	-0,73345	0,80692		-0,14497	0,00011	0,78627	-2,20034		-0,00005	-0,00001
3	0,49124
	-0,73346

 

Так как δ<ε, то можно прекратить производить вычисления. Таким образом, ответ: 

На рисунке (3.2) представлены вычисления системы нелинейного  уравнения.

 

Рисунок 3.2 – Решение системы нелинейного уравнения

 

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

 

В работе изучены методы приближенного  решения системы нелинейных уравнений (метод Ньютона – Рафсона, метод спуска, метод простой итерации и метод Зейделя). Решена задача о провисании цепи. Разработана программа для решения полученной в задаче системы трех нелинейных уравнений.

Решив задачу, мы пришли к тому, что цепь провисает под действием тяжести, но величины свободного падения в формуле провисания цепи нет. Это значит, что любая цепь одинаково провисает (тяжелая стальная и тонкая нитка).

_{Для решения системы нелинейных уравнений в данной курсовой работе были использованы возможности языка Delphi. Решена задача о провисании цепи, проведены тестирование и отладка программы.}

_{В ходе выполнения курсовой работы получены как теоретические, так и практические навыки работы в языке Delphi. Были углублены и закреплены знания по алгоритмизации, программированию в среде программирования Delphi.}

В процессе создания программы и  последующего тестирования было устранено  большинство  ошибок при трансляции, запуске и использовании программного продукта. Поэтому данная программа, реализующая алгоритм решения систем нелинейных уравнений методом простой итерации и методом Зейделя вполне может быть применена в более крупных проектах по реализации нескольких математических методов решения тех или иных задач. Интерфейс программы удобен и элементарно прост в обращении даже для тех, кто в первый раз имеет дело с подобным типом программ.

_{Также, исходя из проработанной литературы, сделан вывод о  том, что данная тема изучалась и изучается  многими авторами, как зарубежными, так и советскими, и находит практическое применение в различных науках.}

 

 

 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Абрамов, С.А., Зима, Е.В., Начала программирования / Е. В. Зима. Изд. – М.: Наука, 1987. – 112 с.
2. Демидович, Б.П., Марон, И.А., Основы вычислительной математики / Б.П. Демидович. Изд. – Москва «Наука», 1970. – 305с.
3. Васильков, Ф.В., Василькова, Н.Н., Компьютерные технологии вычислений вматематическом моделировании. Учеб. Пособие / Ф.В.Васильков. Изд. – М.: Финансы и статистика, 1999. – 125с.
4. Вержбицкий, В.М., Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения) / В.М. Вержбицкий. Изд. – Москва, «Высшая школа», 2000. – 451с.
5. Бахвалов, Н.С., Численные методы в задачах и упражнениях / Н.С.Бахвалов. Изд. – Москва, «Высшая школа», 2000. – 76с.
6. Корн, Г., Корн, Т., Справочник по математике / Т. Корн. Изд. – М: Наука, 1984. – 324с.
7. Фильчаков, П.Ф., Численные методы / П. Ф. Фильчаков. Изд. – Киев: Наукова думка, 1976. – 148с.
8. Жидков, Кобельков, Численные методы / Жидков. Изд. – М: Наука, 1970. – 664с.
9. Киреев, В.И., Пантелеев, А.В., Численные методы в примерах и задачах./ В.И. Киреев. Изд.  – М.: Высш. шк., 2004. – 480с.
10. Дубровская, Н.С., Численные методы. / Н.С. Дубровская. Изд.: – М.: Наука, 2001. – 210с.
11. Деннис, Дж., Шнабель Р., Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. / Дж. Шнабель. Изд. – М.: Мир, 1988. – 320с.
12. Волков, Е.А., Численные методы / Изд. – М.: Наука, 1997. – 125с.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ  А

 

Листинг программы «Задача о провисании цепи»

 

unit RSNY;

interface

uses

  Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

  Dialogs, OleCtnrs, StdCtrls,Math, ExtCtrls;

type

  TForm1 = class(TForm)

    OleContainer1: TOleContainer;

    Label1: TLabel;

    Label2: TLabel;

    Button1: TButton;

    Button2: TButton;

    Edit1: TEdit;

    Label3: TLabel;

    Edit2: TEdit;

    Label4: TLabel;

    Label5: TLabel;

    Memo1: TMemo;

    Label6: TLabel;

    Label7: TLabel;

    Edit3: TEdit;

    Label8: TLabel;

    Label9: TLabel;

    Edit4: TEdit;

 

    procedure Button2Click(Sender: TObject);

    procedure FormCreate(Sender: TObject);

    procedure Button1Click(Sender: TObject);

    procedure Edit1KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);

  private

    { Private declarations }

  public

    { Public declarations }

  end;

var

  Form1: TForm1;

  Eps:double; X,Y,Z:double; CounterIter:word; X0,Y0,Z0:double;n,max_it:integer;

  implementation

{$R *.dfm}

function ReturnF(N:byte;X,Y,Z:double):double;{N - номер уравнения  в нелинейной системе}

begin

  if N = 1 then

    ReturnF := Y+(((exp(X/Z)+exp(-X/Z))/2)-1)-7

  else

    if N = 2 then

      ReturnF := Y+(((exp((30-X)/Z)+exp((30-X)/Z))/2)-1)-15

       else

    if N = 3 then

      ReturnF := ((exp(X/Z)-exp(-X/Z))/2)-0.52

      end;

//метод  Зейделя

procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);

begin

  X:=0;

  Y:=0;

  Z:=0;

  {вот такие начальные приближения}

  X0 := StrToFloat(Edit1.Text);

  Y0 := StrToFloat(Edit2.Text);

  eps:= StrToFloat(Edit3.Text);

  Z0 := StrToFloat(Edit4.Text);

  if (X0>0.6) or (Y>0.6) or (Z>0.6) then

  begin

   MessageBox(0,'Введите правильное начальное  приближение','Ошибка',MB_OK+MB_ICONERROR);

   exit;

  end;

  {поехали...}

  X := ReturnF(1,Y0,X0,Z0);

  Y := ReturnF(2,Y0,X0,Z0);

  Z := ReturnF(3,Y0,X0,Z0);

  CounterIter := 1;

  while (power((power((X-X0),2)+power((Y-Y0),2)+power((Z-Z0),2)),(1/2))) >= eps do

  begin

    X0 := X;

    Y0 := Y;

    Z0 := Z;

    X := ReturnF(1,Y0,X0,Z0);

    Y := ReturnF(2,Y0,X0,Z0);

    Z := ReturnF(3,Y0,X0,Z0);

    inc(CounterIter);

  end;

Memo1.Clear;

if (power((power((X-X0),2)+power((Y-Y0),2)+power((Z-Z0),2)),(1/2))) <= eps  then

begin

Memo1.Lines.Add('Заданная точность достигнута');

end else

begin

Memo1.Lines.Add('Заданная точность не достигнута');

end;

Memo1.Lines.Add('Количество  итераций: '+IntToStr(CounterIter));

Memo1.Lines.Add('X0 = '+FloatToStrF(x,ffgeneral,5,8));

Memo1.Lines.Add('H = '+FloatToStrF(y,ffgeneral,5,8));

Memo1.Lines.Add('a = '+FloatToStrF(y,ffgeneral,5,8));

end;

 

procedure TForm1.FormCreate(Sender: TObject);

begin

Edit1.Text:=FloatToStr(0);

Edit2.Text:=FloatToStr(0);

Edit4.Text:=FloatToStr(0);

Edit3.Text:=FloatToStr(0.001);

end;

//метод  итераций

procedure TForm1.Button1Click(Sender: TObject);

begin

  X:=0;

  Y:=0;

  Z:=0;

  {вот такие начальные приближения}

  X0 := StrToFloat(Edit1.Text);

  Y0 := StrToFloat(Edit2.Text);

  Z0 := StrToFloat(Edit4.Text);

  eps:= StrToFloat(Edit3.Text);

   if (X0>0.6) or (Y>0.6) or (Z>0.6) then

  begin

   MessageBox(0,'Введите правильное начальное  приближение','Ошибка',MB_OK+MB_ICONERROR);

   exit;

  end;

    {поехали...}

  X := ReturnF(1,Y0,X0,Z);

  Y := ReturnF(2,Y0,X0,Z0);

  Z := ReturnF(3,Y0,X0,Z0);

  CounterIter := 1;

  while (power((power((X-X0),2)+power((Y-Y0),2)+power((Z-Z0),2)),(1/2))) >= eps do

  begin

    X0 := X;

    Y0 := Y;

    Z0 := Z;

  X := ReturnF(1,Y0,X0,Z0);

  Y := ReturnF(2,Y0,X0,Z0);

  Z := ReturnF(3,Y0,X0,Z0);

    inc(CounterIter);

  end;

Memo1.Clear;

if (power((power((X-X0),2)+power((Y-Y0),2)+power((Z-Z0),2)),(1/2))) <= eps  then

begin

Memo1.Lines.Add('Заданная точность достигнута');

end else

begin

Memo1.Lines.Add('Заданная точность не достигнута');

end;

Memo1.Lines.Add('Количество  итераций: '+IntToStr(CounterIter));

Memo1.Lines.Add('X0 = '+FloatToStrF(x,ffgeneral,5,8));

Memo1.Lines.Add('H = '+FloatToStrF(y,ffgeneral,5,8));

Memo1.Lines.Add('a = '+FloatToStrF(y,ffgeneral,5,8));

end;

//"защита  от дурака"

procedure TForm1.Edit1KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);

begin

if not (key in['0'..'9', #8, '-', ',']) then key:=#0;

end;

end.

 

ПРИЛОЖЕНИЕ  Б

 

Листинг программы «Метода Ньютона  – Рафсона»

 

unit RSNY2;

interface

uses

  Windows, Messages, SysUtils, Variants, Classes, Graphics, Controls, Forms,

  Dialogs, OleCtnrs, StdCtrls,Math;

type

  TForm1 = class(TForm)

    OleContainer1: TOleContainer;

    Label1: TLabel;

    Label2: TLabel;

    Button1: TButton;

    Button2: TButton;

    Edit1: TEdit;

    Label3: TLabel;

    Edit2: TEdit;

    Label4: TLabel;

    Label5: TLabel;

    Memo1: TMemo;

    Label6: TLabel;

    Label7: TLabel;

    Edit3: TEdit;

    Label8: TLabel;

 

    procedure Button2Click(Sender: TObject);

    procedure FormCreate(Sender: TObject);

    procedure Button1Click(Sender: TObject);

    procedure Edit1KeyPress(Sender: TObject; var Key: Char);

  private

    { Private declarations }

  public

    { Public declarations }

  end;

 

var

  Form1: TForm1;

  Eps:double; X,Y:double; CounterIter:word; X0,Y0:double;n,max_it:integer;

  implementation

{$R *.dfm}

function ReturnF(N:byte;X,Y:double):double;{N - номер уравнения в нелинейной системе}

begin

  if N = 1 then

    ReturnF := sin(2*X*Y)-1.2*X-0.4

  else

    if N = 2 then

      ReturnF := 0.8*X*X+1.5*Y*Y-1

end;

//метод Зейделя

procedure TForm1.Button2Click(Sender: TObject);

begin

  X:=0;

  Y:=0;

  {вот такие начальные приближения}

  X0 := StrToFloat(Edit1.Text);

  Y0 := StrToFloat(Edit2.Text);

  eps:= StrToFloat(Edit3.Text);

  if (X0>0.6) or (Y>0.6)then

  begin

   MessageBox(0,'Введите правильное начальное приближение','Ошибка',MB_OK+MB_ICONERROR);

   exit;

  end;

  {поехали...}

  X := ReturnF(1,Y0,X0);

  Y := ReturnF(2,Y0,X);

  CounterIter := 1;

  while (power((power((X-X0),2)+power((Y-Y0),2)),(1/2))) >= eps do

  begin

    X0 := X;

    Y0 := Y;

    X := ReturnF(1,Y0,X0);

    Y := ReturnF(2,Y0,X);

    inc(CounterIter);

  end;

Memo1.Clear;

if (power((power((X-X0),2)+power((Y-Y0),2)),(1/2))) <= eps  then

begin

Memo1.Lines.Add('Заданная  точность достигнута');

end else

begin

Memo1.Lines.Add('Заданная  точность не достигнута');

end;

Memo1.Lines.Add('Количество итераций: '+IntToStr(CounterIter));

Memo1.Lines.Add('X = '+FloatToStrF(x,ffgeneral,5,8));

Memo1.Lines.Add('Y = '+FloatToStrF(y,ffgeneral,5,8));