Шпаргалка по "Линейная алгебре"

1.  Понятие  арифметического вектора. Координаты  вектора. Операции над векторами  и их свойства.

n-мерным арифметическим вектором называется упорядоченный набор n-чисел, каждое из которых является координатой вектора.

Выражение x = С1·e1+ С2·e2+ ...+ Сn· en называется разложением вектора по базису e1, ..., en, а числа С1, С2, ..., Сn называются координатами вектора x  в базисе e1, ..., en.

Операции:

• Операция сложения (вектор n-мерный с  называется суммой двух n-мерных векторов а и в, если любая его координата является суммой соответствующих координат векторов слагаемых) с= а+в
• Операция умножения на число (с называется произведением а на скаляр α, если каждая его координата представляет собой произведение соответствующей координаты вектора а на скаляр α. с=αа

Свойства: (над всеми буквами значки вектора)

• a+b=b+a (коммуникативный закон сложения)
• a+(b+c)=(a+b)+c (ассоциативный закон сложения)
• α(a+b)=αa+αb
• (α+β)a=α(β*a)
• a*1=a

a*(-1)=-a

• a+(-a)=0

 

2. Линейные векторные пространства.

n-мерным векторным пространством (Rn) называется совокупность (множество) всех n-мерных векторов вместе с операцией сложения и умножения на число, удовлетворяющих свойствам операций (1 вопрос).

 

3. Скалярное произведение и его свойства. Евклидовы векторные пространства.

Скалярное произведение векторов – число (скаляр) равное сумме произведений соответствующих координат векторов. (!Вектора должны быть одинаковой величины!)

(a*b)=a1b1+a2b2+…+anbn= Σni=1ai*bi

Свойства:

• a*b
• α(a*b)=αa*αb
• a*(b+c)=ab+ac

Линейным векторным пространством называется Евклидовым векторным пространством, если в данном пространстве проведены не только операции сложения и умножения на число, но и скалярное произведение на число.

 

4. Системы векторов. Линейно зависимые и линейно независимые системы векторов.

Системой n-мерных векторов называется конечный набор n-мерных векторов.

Система векторов а1,а2…аn называется линейно-зависимой системой, если линейная комбинация составляющих из векторов данной системы =0, причем хотя бы один из скаляров (чисел) отличен от 0.

Система векторов а1,а2…аn называется линейно-независимой системой, если линейная комбинация составляющих из векторов данной системы =0 только когда все скаляры данной комбинации равна 0.

 

5. Критерий линейной зависимости векторов. Следствия.

Критерий: Система векторов а1,а2…аn является линейно-зависимой тогда и только тогда, когда хотя бы 1 из векторов данной системы представлен в виде линейной комбинации других векторных систем.

Следствия:

• Система векторов векторного пространства является линейно-независимой тогда и только тогда, когда ни один из векторов системы линейно не выражается через другие вектора этой системы.
• Система векторов, содержащая нулевой вектор или два равных вектора, является линейно зависимой.

6. Теорема о линейной независимости диагональной системы.

Система N n-мерных единичных векторов линейно независима.

Пусть задана система N n-мерных векторов

e1= (1 0 … 0)

e2= (0 1 … 0)

e3= (0 0 … 1)

Рассмотрим линейную комбинацию, составленную из векторов данной системы.

α1*e1+α2*e2+ … +αnen =α1(1 0 0)+α2(0 1 0)+…+αn(0 0 1)=(α1 0 0)+(0 α2 0)+…+(0 0 αn)=(α1 α2…αn)

Данный вектор является называется вектором (линейная комбинация равна 0) только в том случае, если все скаляра α1 α2…αn одновременно равна 0.

Следовательно система N n-мерных единичных векторов линейно независима .

 

7. Базис системы векторов. Теорема о разложении вектора по базису.

Базисом системы векторов называется максимально линейно-независимая подсистема заданной системой векторов.

Теорема. Любой вектор пространства Rn раскладывается (представляется в виде системы линейной комбинации) по векторам базиса данной системы, причем единственным образом. (над е стрелки) a=a1e1+a2e2+…+anen

 

8. Базис векторного пространства. Ортогональный и ортонормированный базис. Теорема о разложении вектора по базису.

Базис векторного пространства – это упорядоченная совокупность линейно независимых векторов этого пространства, число которых равно размерности пространства.

Ортонормированный n-мерный базис – это система N n-мерных единичных векторов (векторы взаимно ортогональны и их длина равна 1).

Базис   евклидова пространства называется ортогональным, если все образующие его векторы попарно ортогональны, т.е.

 при  

Теорема. Любой вектор пространства Rn раскладывается (представляется в виде системы линейной комбинации) по векторам базиса данной системы, причем единственным образом. (над е стрелки) a=a1e1+a2e2+…+anen

 

9. Матрицы. Виды матриц.

Прямоугольной матрицей Am*n называется прямоугольная таблица, содержащая m строк и n столбцов.

Виды:

• Квадратная матрица – матрица, у которой число строк и столбцов равно n. (здесь существует главная и побочная диагональ)
• Диагональная матрица – все элементы этой матрицы равны 0,кроме элементов главной диагонали.
• Единичной матрицей n порядка (Еn) называется квадратная диагональная матрица n-ого порядка, где все диагональные элементы равны 1.
• Единичная матрица – аналог единичного элемента для матрица.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Операции над матрицами. Свойства операций над матрицами.

Операции над матрицами:

• Две матрицы одной и той же размерности называются равными, если равны между собой все i соответствующие элементы.
• Суммой двух матриц одной и той же размерности n*m называется матрицей той же размерности n*m, каждый элемент которой равен сумме соответствующих элементов матриц слагаемой.
• Произведением называется матрица той же размерности, каждый элемент которой представляет собой произведение элементов заданной матрице на число α.
• Разностью матриц  и  одного и того же размера называется матрица  такого же размера, получаемая из исходных путем прибавления к матрице  матрицы  , умноженной на (-1).
• Произведением матрицы Am*n на матрицу Bn*p называется матрица Cij является скалярное произведение i строки матрицы А на j столбец матрицы B.

Свойства операции:

• Аnm+Bnm=Bnm+Anm
• A+(B+C)=(A+B)+C
• α(A+B)=αA+αB
• (α+β)A=αA+βA
• A*B(не равно)B*A

A*B можно определить

B*A нельзя определить

• A(B+C)=AB+AC
• (A+B)*C=AC+BC

*Матрица называется транспонированной, если ее строки являются столбцами матрицы А и наоборот.

*Матрица называется  обратной, если выполняется равенство :

 An*An-1= An-1*An=En

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.Определители. Свойства определителей.

 Определителем квадратной матрицы n-ого порядка называется алгебраическая сумма n членов, каждый из которых представляет собой произведение n на элементы, взятых по одному из каждой строки и столбца матрицы, причем данное произведение берется с «+», если число инверсий в перестановке индексов четное и с «-», если оно нечетное, при условии, что индексы строк матрицы идут в естественном порядке возрастания.

*Инверсией называется нарушение  естественного порядка возрастания.

*Определитель матрицы n порядка равен произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.

Свойства:

•   Определители матрицы и транспонированной матрицы равны между собой.
•   Если определитель содержит 0вую строку (столбец),то он равен 0.
•   Если определитель содержит две равных строки (столбца),то он равен 0.
•   Если определитель содержит две пропорциональных строки (столбца), то он также равен 0.
•   Общий множитель, имеющийся у элементов некоторой строки или столбца можно вынести за знак определителя.
•   Если элементы i и s строки поменять местами, то определитель сменит свой знак на противоположный.
•   Если элементы некоторой iой  строки представляют собой сумму, то определитель равен сумме двух определителей, в первом из которых элементы i строки являются первые слагаемые, а во втором – вторые.
•   Определитель не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить элементы другой строки (столбца) матрицы, предварительно умноженные на какое-либо число.

 

12. Минор и алгебраическое дополнение матрицы.

Пусть задана прямоугольная матрица Аn*m.

Зафиксируем какие-либо К-строк и К-столбцов данной матрицы. Минором К порядка называется определитель, составленный из элементов зафиксированных строк и столбцов матрицы.

Пусть задана квадратная матрица порядка m. Дополнительным минором для элемента матрицы aij называется минор n-ого порядка, полученный из основного определителя матрицы вычеркиванием i-той строки и j-того столбца.

Алгебраическим дополнением элемента квадратной матрицы aij называется выражение вида Aij=(-1)i+j*Mij, где Mij-дополнительный минор для элемента Aij.

 

13. Теорема Лапласа.

Определитель квадратной матрицы n-ого порядка равен алгебраической сумме произведений элементов какой-либо строки или столбца матрицы на соответствующие им алгебраические дополнения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

14. Ранг матрицы. Основная теорема о ранге матрицы. Свойства ранга матрицы.

Минимальное число линейно-независимых векторов строк или столбцов матрицы называется rank A или «rA».

Основная теорема о ранге матрицы(метод окаймляющих миноров).

Ранг матрицы равен максимальному порядку отличного от нуля минора данной матрицы.

Ранг определяется порядком последнего ненулевого минора.

Свойства:

• Ранг матрицы, полученный транспонированием, равен рангу исходной матрицы.
• Ранг матрицы останется неизменным, если вычеркнуть или приписать нулевую строку или нулевой столбец.

 

15. Понятие элементарного преобразования. Нахождение ранга матрицы с помощью элементарных преобразований. Элементарными преобразованиями матрицы называются:

• Умножение строки/столбца матрицы на некоторое число отличное от 0.
• Вычеркивание нулевой строки/столбца или 1 из 2 равных или пропорциональных строк/столбцов.
• Перестановка строк или столбцов местами.
• Сложение какой-либо строки/столбцов с какой-нибудь другой строкой/столбцом предварительно умноженное на некоторое число неравное 0.

 

16. Метод окаймляющих миноров

Теорема: Ранг матрицы равен наибольшему порядку отличного от нуля минору.

На этой теореме базируется еще один метод нахождения ранга матрицы - метод окаймления миноров. Суть этого метода заключается в нахождении миноров, начиная с низших порядков и двигаясь к более высоким. Если минор n -го порядка не равен нулю, а все миноры  (n+1)-го равны нулю, то ранг матрицы будет равен 0 .

 

17. Обратная матрица. Критерий существования обратной матрицы.

Обратная матрица существует только для квадратных матриц.

Матрица Аn-1  называют обратной, для матрицы An, если выполняется следующее равенство:

An*An-1=An-1*An= En

 

18. Присоединенная матрица. Теорема о присоединенной матрице. Методы вычисления.

Присоединенная матрица – это квадратная матрица, образованная алгебраическими дополнениями к элементам матрицы, полученной из исходной транспонированием.

Теорема: Если к квадратной матрице дописать справа единичную матрицу того же порядка и с помощью элементарных преобразований над строками добиться того, чтобы начальная матрица, стоящая в левой части, стала единичной, то полученная справа будет обратной к исходной.

Методы вычисления обратной матрицы:

1. Вычислить определитель данной матрицы.
2. Составить матрицу из алгебраических дополнений элементов матрицы.
3. Транспонируя матрицу, получить присоединенную матрицу.
4. Найти обратную матрицу, разделив все элементы присоединенной матрицы на определитель.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19. СЛУ. Различные формы записи. Решение. Совместность и несовместность системы. Определенность и неопределенность СЛУ. Эквивалентные системы линейных уравнений.

Системой М линейных уравнений с n переменными называется система вида:

(1)

• Матричная форма записи СЛУ.

Amxn*Xnx=Bmx*1

• Векторная форма записи СЛУ

Пусть задана система линейных уравнений (1). Выпишем векторы A1,A2, … ,An, векторы столбцы при неизвестных системы.

В векторной форме система имеет вид:

A1x1+A2x2+…+Anxn=B (над А и В черточки)

Если матрица коэффициентов системы является матрицей n-го порядка, то система называется квадратной системой.

РЕШЕНИЕ

системы уравнений, если при подстановке коэффициентов вектора вместо неизвестных данной системы, система превращается в верное равенство.

Система линейных уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. В противном случае система называется несовместной.

Система линейных уравнений называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если имеет бесконечное множество решений.

Две системы называются эквивалентными, т.е. равносильными, если они имеют одно и то же общее решение. Другими словами, системы эквивалентны, если каждое решение одной из них является решением другой и наоборот.

 

20.Исследование СЛУ. Критерий совместности СЛУ. Критерий определенности СЛУ. Критерий неопределенности СЛУ.