Шпаргалка по "Математике"

Вся математика носила рецептурный характер. Т.е. все, что там записано - записано в виде рецепта, который не обсуждается, он просто предлагается.

Формулы у египтян могли быть записаны через иероглифы или в словестном виде, но как правило это были рецепты, по котор. можно было вычислять то или другое. Основной числовой материал в Древнем Египте – это положительн. рациональные числа.

Кто творил эту математику? В какой-то период  у того или иного народа (племени), появлялись излишки, помимо того необходимого для проживания, – появление этих излишков создавало возможность для некотор. части общества, которая имела эти излишки, могла их использовать, заниматься не обязательно конкретным производством, а могла просто заниматься исследованием того, что они видят.

6 вопрос: Знаменитые задачи др.Греции

Знаменитые задачи Греции

3 задачи: квадратура круга, трисекция угла и удвоение куба.

1.                        Одна задача о трисекции угла – любой угол, с помощью циркуля и линейки можно разделить на три равные части. Какие-то углы делятся, какие-то –нет.

2.                        Вторая о квадратуре круга – построить равнобедренный прямоуг. тр-к, площадь котор. совпадает  с площадью данного круга – строим прям. тр-к, число «пи», равнобедренный прямоуг. тр-к, площадь котор. равняется площ. круга, и когда мы пишем выражения  площади там появляется «пи», после его не будет.

В конце 19 века было доказано, что нельзя построить корень квадратный из числа с помощью циркуля и линейки, то есть нельзя разрешить эту задачу с помощью циркуля и линейки. Греки пытались решить эту задачу с помощью других инструментов. В 20 веке было доказано, что число является иррациональным.

3.                        Третья задача об удвоении площади куба. Задача – нужно построить сторону куба, которая бы равнялась в кубе:

, х – сторона нового куба, а – сторона старого куба.

Можно ли построить только с помощью цирк. и линейки? Знали что кубические рациональности, котор. встречались из многих чисел просто не строятся так. А уже в 19.в доказано, что с их помощью строится решение только тех уравнений, котр. могут быть записаны через конечное число квадратичных рацион-х. Т.е. этот х построить не может быть.

Можно свести эту задачу к тройному соотношению:

Решение этого отношения – пересечение кривых второго порядка (параболы и гиперболы).

Омар Хайям решал с помощью геометрии – точка пересечения кривых второго порядка.

6 вопрос: Рождение математики как теоретической науки в др.Греции

Если условно всю историю математики поделить на 4 периода(периодизация по Колмогорову): подготовительный (накопительный) период(30в. до н.э. – до 7 в. до н.э.), период математики постоянных величин (условно 7,6 в. до н.э. – 16-нач.17вв. н.э.), период  математики переменных величин (17-18в.), современная математика (19в. – 20в.), то математика Древняя Греция относится к периоду математики постоянных величин.

С этого периода начинается научный период истории матматики – математики как науки.

Этот период характерен тем, что до этого была характерна рецептурность матем-ки,  а здесь появление доказательной методики исследования в обл-ти мат-ки. И первый, кто внес в эту доказательную струю в историческую науку это Греция.

Как объясняют философы необходимость греков в доказательном  принципе? В тот период – в Греции в большинстве городах-государствах была демократия,  котор. заключалась в том, что почти все вопросы выделения истинности решались на общем собрании. И на нем тому, кто доносит на обсуждение свой вопрос, нужно было хорошо аргументировать, приводить правильные факты, более глубоко разбираться в каком-то вопросе, нужно было отстаивать истинность. В процессе выработки этой истинности пользовались именно рассуждениями, которые привели именно к необходимости вести дедуктивные доказательные рассуждения. Это одна причина.  Другая причина: у греков были бедные каменистые земли, и чтобы получать урожай – они должны были разработать способ, как эту землю обработать так чтобы были хорошие урожаи. Требовалась большая затрата умственной работы плюс существовавшая демократия – все вместе привело к тому, что  греки  стали получать излишки. Поэтому из свободного населения Греции выделялось определенная элита, котор. имела возможность думать о чем то другом, а не о том как получить свой кусок хлеба. И первое что стали выяснять эти философы – обратили внимание на то, что делается в том мире, где они живут, какую человек играет роль в этом мире. В Греции появились первые модели строения вселенной.

------Это про Рождение математики как теоретической науки в древней Греции.

Через небольшое время, уже к 6 в. до .н.э.(начиная с Фалеса)появилась необходимость что-то брать за основу – обратились к математике. Пифагор в основу строения всего, из чего все состоит на земле и даже в космосе, получил число. У пифагорейцев больше всего достижений именно в области чисел. Но числа у них – это положительные рацион. числа. Их рассматривали просто как отношения.

Начиная с 7в. великий Фалес(конец 7в. – начало 6 в. до н.э.),  была организована школа в Мелете, в ней занимались серьезно матмет. проблемами. Его достижения в области матем-ки – считаются первыми – теоремы, где он доказывает определенные вещи, а не просто берет как рецептуру. Именно с именем Фалеса связана доказательная математика. Основные достижения Фалеса – он доказал, что есть линия в круге, которая делит его на две равные части. Более интересное – доказательство теоремы, что если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны. Он вычислял расстояния с берега до корабля, который находился на отдалении.

Школа Пифагора. Открытие несоизмеримости и выход из проблемы несоизмеримости.

Далее, Пифагор (школа Пифагора)- это, примерно, первая половина 6 в. до н.э. по 5 в. до н.э. Прежде всего Пиф. относят к числу философов. Школа Пифагора. Эта школа, в которой философской основой всего сущего было число.  С точки зрения философии – явления, предметы – все можно записать или соотношениями чисел или самими числами. Здесь большой материал был наработан для раздела математики – теория чисел. В школе Пифагора обнаружили, что есть несоизмеримые величины( Открытие несоизмеримости), потому что те операции, которые ввели в  теории чисел, были в основном операциями с натуральными числами и, плюс, одной из операций была операция отношения натуральных чисел (на сегодняшний день это рациональные, положительные величины). И в школе Пифагора было обнаружено, что не всякое отношение каких-то величин можно записать как отношение натуральных чисел. Появление такого факта (Появилась у них задача, связанная с тем, что нужно измерять геометрические тела, в частности: измерить одной и той же единицей диагональ квадрата и сторону. Они доказали, что они несоизмеримы, что нельзя измерить одной и той же величиной) произошло геометрически. С одной стороны, это было первым кризисом. А с другой – это кризис, который вызвал в жизни другие открытия в иных разделах математики.

В школе Пифагора знали, что есть простые и непростые числа, что каждое число бывает либо четным, либо нечетным. Было доказано, что множество простых чисел бесконечно.

Евдокс ввел понятие отношений, которые годились не только для соизмеримых величин (натуральных величин), а приводит к появлению вещественного числа.(До Евдокса отношениями, то же самое, что рациональные числа у пифагорейцев , это были пары натуральных чисел.). Это первый подход. А второй подход, выйти из ситуации несоизмеримых величин – чисто геометрический. Греки, как правило, они старались изучаемые ими вещи перевести на геометрический язык. Но действия с геометр. объектами часто были такими - чтобы доказать  нужно было построить этот объект. А построения они разрешали только с помощью – не разбитой на деления линейки и циркуля. При осмыслении пифагорейской модели вселенной встретилась задача, которая свелась к решению задачи – возможность соизмерить диагональ и сторону единичного квадрата. Они доказали, что это невозможно. А появление несоизмеримости- это был крах не только в математике, но и в мировоззрении, т.к. рушилась система, что все есть число. Сразу обнаружилась куча задач несоизмеримых величин(особенно в геометрии). И тогда было понятно, что алгебра Пифагора не может служить при решении ряда геометрических задач(т.к. в основном несоизмер. величины не позволяли получать новые результаты в обл. геометрии). Начиная с периода Евдокса, была создана другая алгебра –геометрическая алгебра.

Алгебра Пифагора себя исчерпала. Там где она работает – теория чисел (арифметика), а касаемо неизмеримых величин – возникает геометрическая алгебра.

6 вопрос: Геометрическая алгебра

Кроме рецептурной мат-ки, когда наступил научный дедуктивный, доказательный период – Др. Греция, - в то же время была открыта несоизмеримость. Т.к. греки должны были все обосновать, то четко было договорено, что объект считается построенным – если он строится только  с помощью циркуля и линейки. Поэтому неразрешимые задачи Греции были связаны, не с тем, что объект вообще не могли построить, а не могли с помощью циркуля и линейки. В геометрии были обнаружены сразу много примеров несоизм. величин. В связи с этим возникла необходимость методики работы и с несоизм. величинами.

Т.к. алгебра была основана на пифагорейских числах, то  должна была появиться другая алгебра – геометрическая алгебра (до Евдокса – ввел аксиоматику на геом. языке, и с помощью него ввел другое понятие отношений – в них попало не только рац. числа, но и отношения несоизмеримых величин).

Геометрическая алгебра появилась в Древней Греции.

В геометрической алгебре простейшими понятиями (объектами) являются отрезки – проводится прямая, а величину отрезков измеряют раствором циркуля. С отрезком можно делать:

- на прямой отложить;

-Сумма двух отрезков a и b: есть отрезок a, из его конца строим отрезок b, получаем новый отрезок, который и является суммой a и b;

- произведение отрезков – это площадь прямоугольника, построенного на этих отрезках.

Геометрическая алгебра – действия с объектами. Объекты должны обладать какими-то свойствами.

Алгебраические свойства в планиметрии геометрической алгебры

1)                       сложение: А+В.

2)                       умножением: А*В=S.

Законы, которым удовлетворяли эти действия:

3)                       закон дистрибутивности: (А+С)В=АВ+СВ.

Брали прямоугольник со стороной а и с, а с другой стороны – это сумма двух других прямоугольников.

(А+С)В=S1+S2=АВ+СВ.

4)                       формула сокращенного умножения: (А+В)2=А2+2АВ+В2.

5)                       теорема Пифагора: А2+В2=С2. Пифагор доказал в области рациональных чисел.

6)                       теорема Евдокса:

Строили картинку – в которой были две площади одинаковы – (а+b)/2 *b, но чтобы получить весь кусочек а*b, берем – площадь прямоугольника и вычитаем площадь малого («-») прямоугольника.

7)                       Умели решать следующую задачу с помощью циркуля и линейки: АХ=СВ.

8)                       Задача:

Но геометрическая алгебра просуществовала недолго, и когда Евклид предложил свою аксиоматику, и свое понятие числа, как отношения каких-то величин, очень быстро геометрическая алгебра была исчерпана. Трехмерные задачи вызывали трудности – громоздкие построения.

7 вопрос: Зарождение аксиоматического метода.Евклид

Евдокс (4 в. до н.э.), школа Евдокса –наибольшее его достижение в области астрономии. В школе были получены важные вещи, послужившие основой для различных исследований в обл. мат-ки. Заложены такие понятия мат-ки, которые только в 19 в. получили полное обоснования, но которые по сей день лежат в основе мат.анализа, теории вероятности.  Евдокс занимался вещественным понятием числа, с т.зр. как абстрактного понятия. До Евдокса, между Пифагором и им, можно сказать, что многие математики интересовались вопросом: Как изучать ту часть геометрии, в которой было обнаружено много примеров, когда несоизмеримы даже две линейные.

Наиболее ярко, появилась необходимость, полезность аксиоматического подхода в работах Евдокса. Евдокс спас математику от трагедии(в школе Пифагора обнаружили, что есть несоизмеримые величины)  – встал вопрос, как определить само понятие «величина», чтобы работать и с соизмер. и несоизмерим. величинами? Он рассматривает не только целые числа, но и величину. Понятие величины он вводит с помощью аксиоматики (выделить из всех встречаемых величин только математические и те, которые удовлетворяют определенным условиям). В  4 в. до н.э. появилась аксиоматика Евдокса. Евдокс первый предложил называть величинами только множества объектов, что удовлетворяют таким свойствам:

- если 2 величины равны 3-ьей, то они между собой равны;

- если к равным добавить равные, получится равные;

- если от равных отнять равные (которые меньше, чем эти величины), получатся снова равные;

- у двух геометрически совпадающих объектов – величина площадей, углов и т.д. равны, т.е. если  при наложений совпадают, то и по величине равны;

- часть меньше целого (с теоретико-множественной т. зр.);

- аксиома Евдокса (Архимеда): если есть две любые величины А и В, то есть такое натуральное N, что N раз повторяя - одна величина превзойдет другую величину: N*А>В, и есть такое M, что М раз повторяя В: М*В>А.

Аксиома Архимеда – это внесение в математику бесконечно малой и бесконечно большой. Благодаря этой аксиоме, сам Евдокс предложил такую конструкцию – множество величин, на котором не выполняется эта аксиома – пример неархимедова поля. Неархимедово поле все множество величин, которое удовлетворяет всем предыдущим аксиомам,  делит на 2 класса: в один – все величины, что удовлетворяют аксиоме Евдокса, в другой – не удовлетворяют. Евдокс предложил в качестве такой модели, на которой не работает аксиома Архимеда – множество роговидных углов.   Здесь он рассматривает – прямую, точку на ней и дугу окружности какого-то радиуса, которая касается этой прямой. Тот «росток», что наиболее близок к этой точке называется роговидным углом.