Шпаргалка по "Теория вероятностей "

28Неравенство Маркова (лемма  Чебышева) с док-вом для дискретной сл\величины. Пример.

Теорема. Если сл\в Х принимет только неотриц знач и имеет мат\о, то для любого положительного числа А верно неравенство: . Доказательство для дискретной сл\в Х: Расположим значения дискр сл\в Х в порядке возрастания, из кот часть значений будет не больше числаА, а др часть будут больше А, т.е

Запишем выражение для  м\о M(X): , где

- в-ти т\ч сл\в Х примет значения . Отбрасывая первые k неотрицательных слагаемых получим: . Заменяя в этом неравенстве значения меньшим числом, получим неравенство: или . Сумма в-тей в левой части представляет сумму  в-ей событий , т.е в-ть соб Х>А. Поэтому . Т.к события и противоположные, то заменяя выражением , придём к др форме неравенства Маркова: . Неравенство Маркова применимо к любым неотрицательным сл\в.

29Неравенство Чебышева с выводом и его частные случаи для сл\в, распределённой по биномиальному закону, и для частности события.

Неравенство Чебышева. Теорема. Для люб сл\в имеющей м\о и дисперсию, справедливо неравенство Чебышева: , где .

Применим неравенство  Маркова в форме к сл\в , взяв в кач + числа . Получим: . Т.к неравенство равносильно неравенству , а есть дисперсия сл\в Х, то из неравенства получаем доказываемое . Учитывая, что события и противоположны, неравенство Чебышева можно записать и в форме: . Неравенство Чебышева применимо для любых сл\в. В форме оно устанавливает верхнюю границу, а в форме - нижнюю границу в-ти рассм-го события.

Запишем неравенство  Чебышева в форме для некоторых сл\в:

А) для сл\в Х=m, имеющей биноминальный закон распр с м\о a=M(X)=np и дисперсией D(X)=npq.

;

Б) для частности m\n события в n независимых испытаниях, в каждом из кот оно может произойти с 1 и той же в-тью ; и имеющей дисперсию : .

30. Неравенство  Чебышева для средней арифметической случайных величин (с выводом).

1-ый вариант  ответа : по условию М(Х1)=а1, М(Х2)=а2,…,М(Хn)=а_n , Д(Х1)≤С, Д(Х2)≤С,…, Д(Хn)≤С, где С – постоянное число. Получим неравенство Чебышева в форме Р(|Х-а|≤∆)≥1- Д(Х) / ∆² (*) для средней арифметической СВ, т.е. для Х=(Х1+Х2+…+Хn) /n. Найдем мат. Ожидание М(Х) и оценку дисперсии Д(Х): М(Х)=М((Х1+Х2+…+Хn) /n)=1/n(М(Х1)+ М(Х2)+…+ М(Хn))= (а1+ а2+…+ а_n) / n. Д(Х)=Д((Х1+Х2+…+Хn) /n)=1/n²(Д(Х1)+ Д(Х2)+…+ Д(Хn))≤ 1/n²(С+С+…+С)( n раз)= nС/n²=С / n. Здесь использованы свойства мат. Ожидания и дисперсии и, в частности, то, что СВ Х1,Х2,…,Хn независимы, а следовательно, дисперсия их суммы равна сумме дисперсий. Запишем неравенство (*) для СВ Х=(Х1+Х2+…+Хn) /n: Р(|(Х1+Х2+…+Хn) /n  - (а1+ а2+…+ а_n) / n |≤∆)≥1-Д(Х) /∆². так как неравенство Д(Х)≤С / n, то 1- Д(Х) /∆²≥1- (С / n) / ∆²=1-С / n∆².

2-ой вариант  ответа: Т.Бенулли Частость события в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и тойже вер-ю p,при неограниченном увеличении числа n сходится к вер-ти p этого соб-я в отдельном исп-и

Или

Вытекает из нер-ва Чебышева для частости собятия:

31. Теорема  Чебышева (с доказательством), ее  значение и следствие. Пример.

Пусть с.в.Х1..Хn имеют одинаковое м.о. а и дисперсия ограниченна одной и той же постоянной С,тогда верно:

M(Xi)=a   D(Xi)≤C тогда

Вытекает из нер-ва Чебышева для частости собятия:

Смысл: При большом  числе Х с.в. Х1…Хn практически достоверно, что их сред.ариф., которая явл.с.в.сколь мало отличается от конкретного числа a, т.е.практически перестаёт быть с.в..

Т.Чеб.принято  наз.законом больших чисел. –это общ. принцип согласно кот.действия большого числа случ.факторов при весьма общих условиях приводит к результату почти независищяму от случая.

2-ой  вариант ответа теорема: если дисперсии n независимых СВ Х1,Х2,…,Хn ограничены одной и той же постоянной, то при неограниченном увеличении числа n средняя арифметическая СВ сходится по вероятности к средней арифметической их математических ожиданий а1,а2,…,а_n, т.е. lim (|(Х1+Х2+…+Хn) /n – (а1+а2+…+а_n) / n |≤∆)=1(*). вначале докажем эту формулу. По условию М(Х1)=а1, М(Х2)=а2,…,М(Хn)=а_n , Д(Х1)≤С, Д(Х2)≤С,…, Д(Хn)≤С, где С – постоянное число. Получим неравенство Чебышева в форме Р(|Х-а|≤∆)≥1- Д(Х) / ∆² (**) для средней арифметической СВ, т.е. для Х=(Х1+Х2+…+Хn) /n. Найдем мат. Ожидание М(Х) и оценку дисперсии Д(Х): М(Х)=М((Х1+Х2+…+Хn) /n)=1/n(М(Х1)+ М(Х2)+…+ М(Хn))= (а1+ а2+…+ а_n) / n. Д(Х)=Д((Х1+Х2+…+Хn) /n)=1/n²(Д(Х1)+ Д(Х2)+…+ Д(Хn))≤ 1/n²(С+С+…+С)( n раз)= nС/n²=С / n. Здесь использованы свойства мат. Ожидания и дисперсии и, в частности, то, что СВ Х1,Х2,…,Хn независимы, а следовательно, дисперсия их суммы равна сумме дисперсий. Запишем неравенство (**) для СВ Х=(Х1+Х2+…+Хn) /n: Р(|(Х1+Х2+…+Хn) /n  - (а1+ а2+…+ а_n) / n |≤∆)≥1-Д(Х) /∆² (*). так как неравенство Д(Х)≤С / n, то 1- Д(Х) /∆²≥1- (С / n) / ∆²=1-С / n∆², и от  неравенства (*) перейдем к более сильному неравенству: Р(|(Х1+Х2+…+Хn) /n - (а1+ а2+…+ а_n) / n|≤∆)≥1- С/ n∆². в пределе при n→∞ величина С/ n∆² стремится к нулю, и получим доказываемую формулу (*).  Эта теорема является обобщением неравенства Чебышева. Она устанавливает связь между средней арифметической наблюд. Значений СВ и ее мат. Ожиданием. Следствие: если независимые СВ Х1,Х2,…,Хn имеют одинаковые мат. Ожидания, равные а, а их дисперсии ограничены одной и той же постоянной, то неравенство Р(|(Х1+Х2+…+Хn) /n - (а1+ а2+…+ а_n) / n|≤∆)≥1- С/ n∆² и формула lim (|(Х1+Х2+…+Хn) /n – (а1+а2+…+а_n) / n |≤∆)=1 примут вид: (|(((Х1+Х2+…+Хn)/n) – а) / n|≤∆)≥1- С/ n∆²  и lim (|(((Х1+Х2+…+Хn) /n) – а) / n |≤∆)=1.  среднее арифм. Мат. Ожид. М(Х1+Х2+…+Хn) /n = nа / n=а. например: партия - 100 ящиков. Для контроля взяли из каждого по одной детали и измерили длину. Оценить вероятность, что ср. длина во всей партии не более, чем 0,3 мм, если известно, что ср. квадратич. Отклоненин не >0,8 мм.  σ<0,8, ∆=0,3, n=100, Д(Х)=σ², Д(Х)≤0,64=С. р≥1-(С / n *∆²), р≥1-(0,64 / 100 *(0,3)²)., р≥0,93. с вероятностью не меньше 0,93 можно ожидать, что ср. длина детали выборки отлична от ср. длины детали в партии.

32Закон больших чисел. Теорема  Бернулли с док-м и её значение. Пример.

К законам больших  чисел относятся т Чебышева (наиболее общий случай) и т Бернулли (простейший случай)

Теорема Бернулли Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых в-ть появления события А равно р. Возможно определить примерно относительную частоту появления события А. 

Теорема. Если в каждом из n независимых испытаний в-ть р появления события А постоянно, то сколь угодно близка к 1 в-ть т\ч отклонение относительной частоты от в-ти р по абсолютной величине будет сколь угодно малым, если число испытаний р достаточно велико.

 m – число  появлений события А. Из всего сказанного выше не следует, что с увеличением число испытаний относительная частота неуклонно стремится к в-ти р, т.е. . В теореме имеется в виду только в-ть  приближения относительной частоты к в-ти появления события А в каждом испытании.

В случае, если вероятности  появления события А в каждом опыте различны, то справедлива следующая теорема, известная как теорема Пуассона.  Теорема. Если производится п независимых опытов и вероятность появления события А в каждом опыте равна рi, то при увеличении п частота события А сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей рi.

33. Вариационный  ряд, его разновидности. Средняя  арифметическая и дисперсия ряда. Упрощенный способ их расчета.

Пусть имеется  некотор. признак Х,котор. подлежит изучению. Значение признака х назыв. их вариантами. Рассмотрим совокупность элементов – носителей признака. Кол-во элементов назыв. объемом  совокупности. ; Если признак х принимает изоли-рованные значения, то он назыв. дискретным, если знач. Признака заполняют нек. интервал, то он интервальный. Пример: Х- размер обуви ß дискретный признак; Х- ростßинтервальный признак. Кол-во элементов совокупности, кот обладает  данными значениями признака назыв. частотой этой варианты. Суммы всех частот = n. åni=n;   (ni/n)=Wi.;  Опр.: Вариационным рядом называется таблица, содержащая варианты в порядке возрастания и соответствующие им частоты или частости. Вариационный ряд – дискретный если варианты дискретны. Если признак принимает непрерывные значения, то интервал его значения разбив. на частности соответствующими частотами или частостями – такой ряд –интервальный.

Характеристики  вариационного ряда.

1) Среднее значение         Ср. знач. вар. ряда явл. аналогом мат. ожидатия

случайной величины.; 2) Диспер. вар. ряда явл аналогом дисперсии случ. величины.; 3)Среднеквадратич. Отклонения à s  s=Öиз sквадрат.; Упрощённый метод вычисления хар-к вариацион. ряда. Пусть К- разность между сосед-ними значениями варианта. С- это наиболее часто встречающаяся варианта или варианта, стоящая в середине ряда

34. Генеральная  и выборочная совокупности. Принцип  образования выборки. Собственно-случайная  выборка с повторным и бесповторным отбором членов. Репрезентативная выборка. Основная задача выборочного метода

Совокупность, подлежащая изучению называется генеральной. Из генеральной  отбираются элементы с целью изучения – это выборочная совокупность. n  - число элементов выборочной совокупности или объем выборки. N – объем генеральной совокупности. n/N=0. N много больше n. Вся подлежащая изучению совокупность объектов называется генеральной совокупностей. Та часть объектов, которая попала на проверку, исследование и т.п., называется выборочной совокупностью (выборкой). Числа элементов в генеральной и выб. Совокупности наз. Их объемами. Выб. Совокупность в одних случаях образуется для оценки среднего значения признакав генеральной совокупности, в других – доли членов генеральной совокупности с некоторым признаком. Собственно-случайная выборка – пронумеровать каждый член совокупности и записать, а потом наугад вытаскивать бумажку с номером. С.-с. с повторным отбором (повторная выборка) – если элемент обследуется не один раз. С.-с. с бесповторным отбором (бесповторная выборка) – если элемент обследуется 1 раз и в генеральную совокупность не возвращается. Осн. Задача выборочного метода – изучать сравнительно небольшую часть из всей совокупности для получения достаточной для практики достоверной инфо о всей совокупности (чтобы по некоторой части генер. Совокупности выносить суждение о ее свойствах в целом). Выборка называется репрезентативной (представительной), если она достаточно хорошо воспроизводит генер. Совокупность.

35. Понятие об оценке параметров генеральной совокупности. Свойства оценок: несмещенность, состоятельность, эффективность.

Оценкой ̃̃ ̃˜θn  параметра θ называют всякую функцию результатов наблюдений над СВ Х с помощью которой судят о значении параметра θ:  ˜θn=˜θn(Х1,Х2,…,Хn). Поскольку Х1,Х2,…,Хn – СВ, то и оценка ̃˜ θn является СВ, зависящей от закона распределения СВ Х и числа n. Если параметр явл. Генеральная средняя, то ̃в качестве ее оценки ˜ θn  по выборке можно взять: выборочную среднюю. Св-ва: 1. оценка ˜ θn  параметра θ называется несмещенной, если ее мат. Ожидание = оцениваемому параметру, т.е. М(˜ θn)= θ. В противном случае оценка называется смещенной. Требование несмещенности гарантирует отсутствие систематических ошибок при оценивании. Если при конечном объеме выборки n М(˜θn)≠ θ, т.е. смещение оценки б(˜θn)=М(˜θn)- θ≠0, но lim б(˜θn)=0, то такая оценка называется асимптотически смещенной. 2. оценка˜ θn  параметра θ называется состоятельной, если она удовлетворяет закону больших чисел, т.е. сходится по вероятности к оцениваемому параметру: lim Р(|˜ θn  - θ |<∆)=1. практический смысл имеют только состоятельные оценки (в случае использования состоятельных оценок оправдывается увеличение объема выборки, так как при этом становятся маловероятными значительные ошибки при оценивании). 3. несмещенная оценка ˜ θn   параметра θ называется эффективной, если она имеет наименьшую дисперсию среди всех возможных несмещенных оценок параметра θ, вычисленных по выборкам одного и того же объема n. Именно она явл. Решающим свойством, определяющим качество оценки. Эффективность определяется отношением: е=σ²_˜θnэ / σ²_˜θn , где σ²_{˜θnэ и}   σ²_˜θn – соответственно дисперсии эффективной и данной оценок.  Чем ближе е к 1, тем эффективнее оценка. Если е→1 при n→∞, то такая оценка называется асимптотически эффективной.

36. Оценка  генеральной доли по собственно-случайной  выборке. Несмещенность и состоятельность  выборочной доли.

  Т. Выбор.доля w=m/n повторной выбоки есть несмещ.и состоят.оценка ген.доли p=M/N,причём её дисперсия

Т.Выб.доля w=m/n беспов. выборки есть несмещ.и состоя.оценка ген.доли p=M/N

причём её дисперсия 

q=1-p  M(w)=p

Т.к. вер-ть того,что  любой в выбоку эл-т обладает признаком  А,есть ген.доля р,то из M(w)=p след.что частость или выб.доля w есть несмещённая оцека ген.доли р.

Оценка w=m/n состаятельна если

37. Оценка  генеральной средней по собственно-случайной  выборке. Несмещенность и состоятельность  выборочной средней.

Т.выб.сред. повтор.выб. есть несмещ.и состоят.оценка ген.сред. ₀ причём

Несмещ.:

Пусть Рассмотрим дисперсию оценки д /пов.выб.

Т.о.D( ) при след.состоят.

Т.выб.сред. беспов.выб.есть несмещ.и состоят.оценка ген сред ₀ причём

38. Оценка  генеральной дисперсии по собственно-случайной  выборке. Смещенность и состоятельность  выборочной дисперсии (без вывода). Исправленная выборочная дисперсия.

. выборочная дисперсия S² повторной и бесповторной выборок есть смещенная и состоятельная оценка генеральной дисперсии σ². а) выборка повторная: найдем мат. Ожидание М(S²)= σ²- σ²/n=((n-1) /n) * σ². б) выборка бесповторная: также М(S²)= σ²- σ²/n=((n-1) /n) * σ², т.е. S² – смещенная оценка σ². так как (n-1) /n<и М(S²)< σ², то выборочная дисперсия занижает генеральную дисперсию. Поэтому, заменяя σ² на S², мы допускаем систематическую погрешность в меньшую сторону. Чтобы ее ликвидировать, достаточно ввести поправку, умножив S² на n/ (n-1). Тогда получим «исправленную» выборочную дисперсию ^ S²=n/(n-1) * S²=∑(x_i-x_выб)²*n_i / (n-1). Очевидно, что М(^ S²)=М(n/(n-1)  * S²)= n/(n-1)  *M(S²)= (n/(n-1) * (n-1)/ n)* σ²= σ², т.е. ^ S² явл. Несмещенной и состоятельной оценкой генеральной дисперсии σ².

39. Понятие  об интервальном оценивании. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Предельная ошибка выборки. Ошибки репрезентативности выборки (случайные и систематические).

интервальной оценкой  параметра θ называется числовой интервал (˜θn⁽¹⁾,(˜θn⁽²⁾), который с заданной вероятностью γ накрывает неизвестное значение параметра θ. Границы интервала (˜θn⁽¹⁾, ˜θn⁽²⁾) и его величина находятся по выборочным данным и поэтому являются СВ в отличие от оцениваемого параметра θ – величины неслучайной, поэтому правильнее говорить, что интервал (˜θn⁽¹⁾, ˜θn⁽²⁾) «накрывает», а не «содержит» значение θ. Такой интервал (˜θn⁽¹⁾, ˜θn⁽²⁾) называется доверительным, а вероятность γ – доверительной вероятностью, уровнем доверия или надежностью оценки. Величина доверительного интервала зависит от объема выборки n и от значения доверительной вероятности γ. Часто он выбирается симметричным относительно параметра θ, т.е. (θ-∆, θ+∆). Наибольшее отклонение ∆ оценки ˜θn от оцениваемого параметра θ, в частности, выборочной средней (или доли) от генеральной средней (или доли), которая возможна с заданной доверительной вероятностью γ, называется предельной ошибкой выборки. Ошибка ∆ является ошибкой репрезентативности (представительство) выборки. Она возникает только вследствие того, что исследуется не вся совокупность, а лишь часть ее (выборка), отобранная случайно. Эту ошибку часто называют ошибкой репрезентативности. Ее не следует путать с систематической ошибкой, появляющейся в результате нарушения принципа случайности при отборе элементов в выборку.

40. Формула доверительной вероятности при оценке генеральной доли признака. Средняя квадратическая ошибка повторной и бесповторной выборок и построение доверительного интервала для генеральной доли признака.

. теорема: вероятность  того, что отклонение выборочной  средней (или доли) от генеральной средней (или доли) не превзойдет число ∆>0, равна: Р(|ω-р|≤∆)=Ф(t)=γ, где t=∆/σ_ω. это формула доверительной вероятности для доли. Среднее квадратическое отклонение выборочной средней и выборочной доли собственно-случайной выборки называется средней квадратической ошибкой. а)повторная выборка: σ_ω=√pq/n ≈√ω(1-ω) /n (все под корнем и все делится на n). б) бесповторная выборка: σ ́΄_ω=√ω(1-ω) / n * (1-n/N)(все под корнем). Построение доверительного интервала. Для построения доверительных интервалов для параметров генеральных совокупностей могут быть реализованы два подхода, основанных на знании точного(при данном объеме выборки n) или асимптотического (при n→∞) распределения выборочных характеристик. Первый подход реализован далее при построении интервальных оценок параметров для малых выборок.

2-ой вариант  ответа Вер-ть того что отклонение выборочной доли по абсолютной величине не превзойдет числа ,равна

Где F-функция Лапласа, w-ген.доля p

Этот результат  основывается на централ.пред.теор. В  формуле D(w)есть неизв.пер. поэтому пользуемся приближ ф-ми. Сред.квад.ошибка

Доверит.интревал для доверит.доли может быть постр.по:

41 Формула доверительной вероятности при оценке генеральной средней. Средняя квадратическая ошибка повторной и бесповторной выборок и построение доверительного интервала для генеральной средней.

теорема: вероятность  того, что отклонение выборочной средней (или доли) от генеральной средней (или доли) не превзойдет число ∆>0, равна: Р(|хвыб-х0|≤∆)=Ф(t)=γ, где t=∆/σ_х. это формула доверительной вероятности для средней. Среднее квадратическое отклонение выборочной средней и выборочной доли собственно-случайной выборки называется средней квадратической ошибкой. а)повторная выборка: σ_хвыб=√σ²/n≈√S²/n. б) бесповторная выборка: σ ́΄_хвыб^́=√S²/n(1-n/N)(все под корнем). Построение доверительного интервала. Для построения доверительных интервалов для параметров генеральных совокупностей могут быть реализованы два подхода, основанных на знании точного(при данном объеме выборки n) или асимптотического (при n→∞) распределения выборочных характеристик. Первый подход реализован далее при построении интервальных оценок параметров для малых выборок.

2-ой вариант  ответа Вер-ть того что отклон. ген. сред. от a не привзойдёт по апсол.вел.числа где Ф-лап.

Это резул.следств.цен..пред.т.

В формуле есть неизв. перем. ,поэтому пользуются приближ. Сред.квад.ош.:

Доверит.интревал.надёжности γ для ген.сред.может быть найден: