Элементы теории игр в задачах моделирования экономических процессов

1). Согласно критерию Вальда

 Þ следует строить бесшлюзовую электростанцию.

2). Воспользуемся критерием Сэвиджа. Построим матрицу рисков:

Согласно критерию Сэвиджа определяем

В соответствии с этим критерием  также предлагается строить бесшлюзовую электростанцию.

3). Воспользуемся критерием Гурвица. Положим

т.е. следует принять решение  о строительстве приплотинной электростанции.

4). Если принять известным  распределение вероятностей для  различных состояний природы,  например считать эти состояния равновероятностными

 то для принятия решения следует найти математические ожидания выигрыша:

Так как максимальное значение имеет М₃, то следует строить бесшлюзовую электростанцию.

 

 

Пример 4. Магазин имеет некоторый запас товаров ассортиментного

минимума. Если запас товаров недостаточен, то необходимо завести его с базы; если запас превышает спрос, то магазин несет расходы по хранению нереализованного товара. Пусть спрос на товары лежит в пределах S = 5-8 единиц, расходы по хранению одной единицы товара составляют с = 0,1 руб., а расходы по завозу единицы товара к = 0,2 руб. Определить оптимальную

стратегию магазина по завозу товаров. Составим платежную матрицу. Игроком является магазин, а «природой» — спрос на товары. Элементы платежной матрицы определяют следующим образом. Если магазин имеет 5 единиц товара и спрос равен S = 5, то магазин расходов не несет и элемент

α₁₁= 0.

Если магазин имеет 6 единиц товара, а спрос равен S = 5, то

магазин может продать 5 единиц товара, а одну единицу должен

хранить, неся при этом расходы, которые определяются элементом

α₂₁= —0,1.

Если магазин имеет 5 единиц товара, а спрос равен S = 6, то магазину необходимо завести одну единицу товара, расходуя на это сумму, равную к. Следовательно, элемент α₁₂ = —0,2. Проведя аналогичные рассуждения, можно получить значения всех элементов платежной матрицы:

 

aij	5	6	7	8
5	0	-0,2	—0,4	-0,6
6	-0,1	0	-0,2	-0,4
7	-0,2	-0,1	0	~0,2
8	-о,з	-0,2	-0,1	0

 

Определим оптимальную стратегию  по максиминному критерию Вальда:

W=max min α_ij

      i   j

 

Для этого по каждой строке найдем минимальные значения элементов матрицы α_i=min α_ij.    

j

Так как элементами являются расходы магазина, взятые с противоположным знаком, то, следовательно, минимальный выигрыш будет соответствовать минимальному числу.

Тогда α1= -0,6;  α2= -0,4;α3 = -0,2; α4= -0,3, из которых по

критерию Вальда находим максимальное значение:

W=max α_i=α₃= -0,2.

 

Следовательно, оптимальная стратегия магазина заключается в поставке 7 единиц товара, что позволит ему обеспечить минимум издержек в самой неблагоприятной ситуации.

Определим оптимальную стратегию  по минимаксному критерию

Сэвиджа:

S= min max r_ij

  i       j

 

Матрица рисков строится следующим  образом. По каждой

строке (так как оптимальная стратегия находится для магазина,

т.е. игрока А) находится элемент  с максимальным значением

βj =max α_ij Каждый элемент в i-й строке находится как разность

r_ij=βj- α_ij  . Следовательно, матрица рисков будет выглядеть следующим образом

 

rij	5	6	7	8
5	0	0,2	0,4	0,6
6	0,1	0	0,2	0,4
7	0,2	0,1	0	0,2
8	0,3	0,2	0,1	0

 

Согласно минимаксному критерию находим максимальное

значение риска по каждой строке: 0,6; 0,4; 0,2; 0,3.

 

Минимаксное значение риска  r = 0,2. Следовательно, минимаксная

стратегия магазина заключается в поставке 7 единиц товара, что позволяет ему гарантировать минимальный риск в самой неблагоприятной ситуации.

 

Таким образом, используя  методы и модели принятия решений в условиях неопределенности, можно проводить количественный анализ сложных ситуаций, возникающих в коммерческой практике, учитывать разнообразные социально-экономические факторы, влияющие на деятельность торговых предприятий, и принимать обоснованные, близкие к оптимальным решения по управлению.

 

 

Примеры экономических  задач, сводящихся к игровой модели

Рассмотрим в заключение конкретный числовые примеры решения задачи принятия решения в экономике методами теории игр.

Пример 1. Швейное предприятие, выпускающее детские платья и костюмы, реализует свою продукцию через фирменный магазин. Сбыт продукции зависит от состояния погоды. По данным прошлых наблюдений предприятие в течение апреля — мая в условиях теплой погоды может реализовать 600 костюмов и 1975 платьев, а при прохладной погоде — 1000 костюмов и 625 платьев. Известно, что затраты на единицу продукции в течение указанных месяцев составили для костюмов 27 руб., для платьев 8 руб., а цена реализации равна соответственно 48 руб. и 16 руб. (цифры условные).

Задача заключается в  максимизации средней величины прибыли  от реализации выпущенной продукции  с учетом неопределенности погоды в  рассматриваемые месяцы. Таким образом, служба маркетинга предприятия должна в этих условиях определить оптимальную  стратегию предприятия, обеспечивающую при любой погоде определенный средний доход. Решим эту задачу методами теории игр, игра в этом случае будет относиться к типу игр с природой.

Предприятие располагает  в этих условиях двумя чистыми  стратегиями: стратегия А — в  расчете на теплую погоду и стратегия  Б — в расчете на холодную погоду. Природу будем рассматривать  как второго игрока также с  двумя стратегиями: прохладная погода (стратегия В) и теплая погода (стратегия  Г). Если предприятие выберет стратегию  А, то в случае прохладной погоды (стратегия  природы В) доход составит:

 

600(48 - 27) + 625(16 - 8) - (1975 - 625)8 = 6 800 руб., а в случае теплой погоды (стратегия природы Г) доход  будет равен:

600(48 - 27) + 1 975(16 - 8) = 28 400 руб.

Если предприятие выберет  стратегию Б, то реализация продукции  в условиях прохладной погоды даст доход:

1 000(48 - 27) + 625(16 - 8) = 26 000 руб., а  в условиях теплой погоды

600(48 - 27) + 625(16 - 8) - (1 000 - 600)27 = 6 800 руб.

Следовательно, матрица данной игры (платежная матрица) имеет вид:

 

Первая и вторая строки этой матрицы соответствуют стратегиям А и Б предприятия, а первый и второй столбцы — стратегиям В и Г природы.

По платежной матрице  видно, что первый игрок (предприятие) никогда не получит доход меньше 6800 руб. Но если погодные условия совпадают  с выбранной стратегией, то выручка (выигрыш) составит 26 000 или 28 400 руб. Отсюда можно сделать вывод, что в  условиях неопределенности погоды наибольший гарантированный доход предприятие  обеспечит, если будет попеременно  применять то стратегию А, то стратегию  Б. Такая стратегия называется смешанной. Оптимизация смешанной стратегии позволит первому игроку всегда получать среднее значение выигрыша независимо от стратегии второго игрока.

Пусть х означает частоту  применения первым игроком стратегии  А, тогда частота применения им стратегии  Б равна (1 - х). В случае оптимальной  смешанной стратегии первый игрок (предприятие) получит и при стратегии  В (холодная погода), и при стратегии  Г (теплая погода) второго игрока одинаковый средний доход:

 

6800x + 26 000(1 - х) = 28 400x + 6800(1 - х).

Отсюда можно найти, что  х = 8/17; 1 - х = 9/17.

Следовательно, первый игрок, применяя чистые стратегии А и  Б в соотношении 8:9, будет иметь  оптимальную смешанную стратегию, обеспечивающую ему в любом случае средний доход в сумме 6800∙8/17 + 26000∙9/17 ≈16965 руб.; эта величина и будет в данном случае ценой игры.

Легко рассчитать, какое  количество костюмов и платьев должно выпускать предприятие при оптимальной  стратегии:

(600 костюмов + 1975 платьев)  ∙ 8/17 + (1000 костюмов +625 платьев)∙ 9/17 = 812 костюмов + 1260 платьев.

Следовательно, оптимальная  стратегия предприятия заключается  в выпуске 812 костюмов и 1260 платьев, что обеспечит ему при любой  погоде средний доход в сумме 16 965 руб.

 

 

Рассмотрим еще одну экономическую задачу, сводящуюся к игровой модели.

Пример 2.Предприятие выпускает скоропортящуюся продукцию, которую может сразу отправить потребителю (стратегия А2), отправить на склад для хранения (стратегия A3) или подвергнуть дополнительной обработке (стратегия А3 для длительного хранения.

Потребитель может приобрести продукцию: немедленно (стратегия В1), в течение небольшого времени (В2), после длительного периода времени (В3).

В случае стратегий A2 и А3 предприятие несет дополнительные затраты на хранение и обработку продукции, которые не требуются для A1, однако при A2 следует учесть возможные убытки из-за порчи продукции, если потребитель выберет стратегии B2 или В3.

Определить оптимальные  пропорции продукции для применения стратегий А1, A2, А3, руководствуясь "минимаксным критерием" (гарантированный средний уровень убытка) при матрице затрат, представленной табл.

А	В1	В2	В3
А1	2	5	8
А2	7	6	10
А3	12	10	8

 

Решение. Получаем игру с платежной матрицей

 

 

В этой матрице первую строку можно отбросить как невыгодную (ее элементы меньше соответствующих  элементов второй строки). Матрица  примет вид

 

 

 

 

Элементы первого столбца больше соответствующих элементов второго столбца, поэтому его можно отбросить.

Игра упростилась:

Находим:

P*₂₌ =                                P*₃=

V=+=8

Вывод: оптимальная стратегия производителя продукции

S*_A= (0; ;), т.е. стратегия А₁ не применяется, 1/3 продукции отправляется на склад (стратегия А₂, 2/3 продукции дополнительно обрабатывается (стратегия A₃), при этом цена игры  V=8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Заключение

В заключение данной работы можно сделать вывод о необходимости  использования теории игр в современных  экономических условиях.

В последние годы значение теории игр существенно возросло во многих областях экономических и  социальных наук. В экономике она  применима не только для решения  общехозяйственных задач, но и для  анализа стратегических проблем  предприятий, разработок организационных  структур и систем стимулирования.

В условиях альтернативы очень часто нелегко принять решение и выбрать ту или иную стратегию. Исследование операций позволяет с помощью использования соответствующих математических методов принять обоснованное решение о целесообразности той или иной стратегии. Теория игр, имеющая в запасе арсенал методов решения матричных игр, позволяет эффективно решать указанные задачи несколькими методами и из их множества выбрать наиболее эффективные, а также упрощать исходные матрицы игр.