Cмысл натурального числа и действий над ними – результатами измерения величин

 

 

Введение

Изучение в курсе математики начальной школы величин и их измерений имеет большое значение в плане развития младших школьников. Это обусловлено тем, что через понятие величины описываются реальные свойства предметов и явлений, происходит познание окружающей действительности; знакомство с зависимостями между величинами помогает создать у детей целостные представления об окружающем мире; изучение процесса измерения величин способствует приобретению практических умений и навыков необходимых человеку в его повседневной деятельности. Кроме того знания и умения, связанные с величинами и полученные в начальной школе, являются основой для дальнейшего изучения математики.

Актуальность данного исследования объясняется значимостью понимания детьми понятия и термина «число», а также умения отличить число от цифры, поскольку зачастую ученики начальной школы путают эти понятия, и эта проблема переходит в среднюю школу, что безусловно является ошибкой преподавания учителя. Число – это то понятие, с которого, как правило, начинается обучение в школе. Уже в начальных классах дети изучают различные функции натурального числа, которых немало, и многие из них должны быть поняты и усвоены уже младшими школьниками. Поэтому важной задачей учителя является овладение теми теориями, в которых обосновываются различные подходы к определению натурального числа и действий над ними.

При изучении чисел, сразу же должна вставать проблема их обозначения. Первоначально эта проблема возникает при обобщении и уточнении числовых представлений первоклассников. Средством такого обобщения и уточнения может быть конструирование способов количественного сравнения предметов и групп предметов по различным качествам – признакам, свойствам, а также конструирование способов, где обозначения результатов этого сравнения в речи и на письме.

В процессе изучения понятия числа у младших школьников должны овладеть системой теоретических знаний, а также рядом умений и навыков, которые определение программой. Обучение должно обеспечить овладение младшими школьниками осознанными знаниями и на достаточно высоком уровне обобщения. Это может быть достигнуто в том случае или обучение будет развивающим, то есть будет обеспечивать достаточный уровень интеллектуального развития младших школьников, их познавательных способностей и интересов, будет вооружать их приемами познавательной деятельности.

Целью данной работы является ознакомление с понятием натурального числа и действиями над ним.

Объектом исследования является натуральное число.

Предметом исследования – результаты измерения величин.

Задачи исследования:

• Проанализировать смысл натурального числа.
• Рассмотреть действия над натуральными числами.

 

Cмысл натурального числа и действий над ними – результатами измерения величин

Человеку в практической деятельности приходится не только вести счет предметов, но и  измерять различные величины: длину, массу, время и т.д. Поэтому к возникновения натуральных чисел привела не только потребность счета, но и задача измерения величин.

Выясним, какой смысл имеет натуральное число, если оно получено в результате измерения величин. Все теоретические факты, связанные с этим подходом к натуральному числу, рассмотрим на примере одной величины – длины отрезка.

Длиной отрезка называется положительная величина, определённая для каждого отрезка так что:

1/ равные отрезки имеют разные  длины;

2/ если отрезок состоит из  конечного числа отрезков, то  его длина равна сумме длин  этих отрезков.

Рассмотрим процесс измерения длин отрезков. Пусть даны отрезки а и b. Отложим равные им отрезки на одном луче с началом О. Получим отрезки ОА=а и ОВ=b. Возможны три случая.

• Точки А и В совпадут (рисунок 1). Тогда ОА и ОВ – это один отрезок, а отрезки а и b равны ему, значит, а = b.

                        А

   О           В  

Рисунок 1.

• Точка В лежит внутри отрезка ОА (рисунок 2). Тогда говорят, что отрезок ОВ меньше отрезка ОА (или отрезок ОА больше отрезка ОВ), и пишут: ОВ< ОА (ОА>ОВ) или b< а (а >b).

 

  О         В       А

Рисунок 2.

• Точка А лежит внутри отрезка ОВ (рисунок 3). Тогда говорят, что отрезок ОА меньше отрезка ОВ, и пишут: ОА<ОВ или а <b (b> а).

 

  О             А      В

Рисунок 3.

Над отрезками выполняют различные действия.

Отрезок а называют суммой отрезков , , …, , если он является их объединением, никакие из отрезков не имеют общей внутренней точки (не налегают друг на друга) и последовательно прилегают один к другому концами.

Пишут: a= ++…+.

Например, можно утверждать, что отрезок a, изображенный на рисунке 4, является суммой отрезков , , , .

                 

Рисунок 4.

Разностью а – b отрезков а и b называется такой отрезок с, что b + c =a.

Разность отрезков а и b находится так. Строится отрезок АВ, равный а, и на нем откладывается отрезок АС, равный b. Тогда отрезок СВ есть разность а-b отрезков а и b (рисунок 5).

a   b

   A                 C          В

Рисунок 5.

Очевидно, для того чтобы существовала разность отрезков а и b, необходимо и достаточно, чтобы отрезок b был меньше отрезка а.

Действия над отрезками обладают рядом свойств.

• Для любых отрезков а и b справедливо равенство а+b=b+ а, т.е. сложение отрезков подчиняется переместительному закону.
• Для любых отрезков а, b, с справедливо равенство (а+b)+с= а+(b+с), т.е. сложение отрезков подчиняется сочетательному закону.
• Для любых отрезков а и b имеем, что а+b≠ а.
• Для любых отрезков а, b, с: если а <b, то а+с< b+с.

Из множества отрезков выбирают какой-нибудь отрезок e и принимают его за единицу длины. На отрезке а от одного из его концов откладывают последовательно отрезки равные e, до тех пор, пока это возможно. Если отрезки, равные e отложились n раз и конец последнего совпал с концом отрезка e, то говорят, что значение длины отрезка а есть натуральное число n, и пишут: а = ne. Если же отрезки, равные e, отложились n раз и остался ещё остаток, меньший e, то на нём откладывают отрезки равные e =1/10e. Если они отложились точно n раз, то тогда а=n, n e и значение длины отрезка а есть конечная десятичная дробь. Если же отрезок e отложился n раз и остался ещё остаток, меньший e , то на нём откладывают отрезки, равные e =1/100e. Если представить этот процесс бесконечно продолженным, то получим, что значение длины отрезка а есть бесконечная десятичная дробь.

Итак, при выбранной единице, длина любого отрезка выражается действительным числом. Верно и обратное; если дано положительное действительное число n, n , n , ... то взяв его приближение с определённой точностью и проведя построения, отражённые в записи этого числа, получим отрезок, численное значение длины которого, есть дробь: n ,n ,n …

Выясним, какой смысл приобретают сложение и вычитание натуральных чисел, если эти числа получены в результате измерения длин отрезков.

Сложение. Пусть, например, числа 3 и 8 являются результатами измерения длин отрезков b и c при помощи единицы е, т.е. b=3e, c=8 e. Известно, что 3+8=11. Но результатом измерения длины какого отрезка является число 11? Очевидно, это значение длины отрезка a=b+c (рисунок 6).

b   c

a

Рисунок 6.

Проведем рассуждения в общем виде.

Пусть отрезок a слагается из отрезков b и c и b=me, c=ne, где m и n – натуральные числа. Тогда отрезок b разбивается на m частей, каждая из которых равна единичному отрезку e, а отрезок c - на n таких частей. Следовательно, весь отрезок а разбивается на m+n таких частей. Значит, a=(m+n)e.

Таким образом, сумму натуральных чисел m и n можно рассматривать как значение длины отрезка a, состоящего из отрезков b и c, длины которых выражаются натуральными числами m и n.

Вычитание. Если отрезок а состоит из отрезков b и c и длины отрезков a и b выражаются натуральными числами m и n (при одной и той же единице длины), то значение длины отрезка c равно разности значений длин отрезков a и b: c=(m-n)e, т.е.разность натуральных чисел m-n можно рассматривать как значение длины отрезка c, являющегося разностью отрезков a и b, длины которых выражены натуральными числами m и n соответственно.

Так, если отрезок а=9е состоит из отрезков b и c, причем b=4e, то с=(9-4)е=5е.

Такой подход к сложению и вычитанию натуральных чисел связан не только с измерением длин отрезков, но и с измерением других величин.

Умножение натуральных чисел отражает переход к новой, более мелкой единице величины.

Докажем это утверждение в общем виде применимо к числам – значениям длин отрезков, т.е. если отрезок а состоит из m отрезков, равных е, а отрезок е состоит из n отрезков, равных , то численное значение длины отрезка а при единице длины  будет равно m*n.

Действительно, число частей отрезка а, равных отрезку , выражается так:  - и потому равно n*m. Значит a=(m*n).

Итак, умножение натуральных чисел отражает переход к новой к новой единице длины: если натуральное число m – значение длины отрезка а при единице е, а натуральное число n – значение длины отрезка е при единице длины , то произведение m*n есть значение длины отрезка а при единице длины .

Деление натуральных чисел связано с переходом к новой единице величины. Покажем это в общем виде.

Пусть отрезок а состоит m отрезков, равных e, а отрезок  состоит из n отрезков, равных е. Выясним, как найти число, которым будет выражаться длина отрезка а при единице длины .

Так как =ne, то е=/n. Тогда a=me=m*(/n)=(m/n).

Таким образом, деление натуральных чисел, рассматриваемых как значения длин отрезков, отражает переход к новой (более крупной) единице длины: если натуральное число m – значение длины отрезка а при единице длины е, а натуральное число n – значение длины отрезка при единице длины е , то частное m/n есть значение длины отрезка а при единице длины .

 

 

Список используемой литературы:

1. Стойлова Л.П., Пышкало А.М., Основы начального курса математики. Учебное пособие для учащихся педучилищ., М., Просвещение, 1988 – 320с.
2. Березина Р.Л., Михайлова З.А., Непомнящая Р.Л. и др.; Формирование элементарных математических представлений у дошкольников: Учеб. Пособие для студентов пед. ин-тов по спец. – М.: Просвещение, 1988. – 303 с.: ил.
3. Пехлецкий И.Д. Математика: Учебник – 2-е изд. Стереотип – М.: Издательский центр «Академия»; Мастерство, 2002 – 302с.
4. Чесноков А.С., Немков К.И. Дидактические материалы по математике для 5 класса – М., Классикс Стиль. 2006 – 144с.
 

5. Список исп