N-мерные векторные пространства

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть    - произвольные векторы в пространстве. Будем считать , что среди этих векторов никакие три не являются комланарными , ибо в противном случае в силу теоремы 3.4 данные четыре вектора будут заведомо линейно зависимы.

Приведем все векторы к общему началу О(рис.2) и проведем через конец вектора плоскости , параллельные плоскостям , в которых лежат пары векторов и соответственно.

 Обозначим через А,В,С соответ-

Ственно точки пересечения указан-

ных плоскостей с прямыми О , О,

О.

   Векторы 

коллинеарны. Поэтому , . Однако , откуда , что и означает линейную зависимость векторов .

Следствие. Каковы бы ни были три некомланарных вектора пространства V³ , любой вектор пространства V³ может быть разложен по векторам   в виде  .

 Итак , подводя итоги , можно сделать следующие выводы:

• Всякие два вектора на прямой линейно зависимы;
• Всякие три вектора на плоскости линейно зависимы;
• Всякие четыри и более вектора в трехмерном пространстве V³ линейно зависимы;
• Всякий нулевой вектор представляет собой линейно независимую систему , причем любой другой ненулевой вектор , коллинеарный  , может быть представлен через вектор  в виде ;
• Всякие два неколлинеарных вектора  на плоскости линейно независимы , причем любой третий вектор  ,  компланарный , может быть разложен по векторам  в виде ;
• Всякие три некомпланарных вектора   трехмерного пространства линейно независимы, причем любой четвертый вектор пространства V³ может быть разложен по векторам   в виде .

 

                                        Базис линеала.

Упорядоченный набор линейно  независимых элементов (векторов ) е₁,е₂,…,е_n   линеала  L называется базисом линеала , если для каждого элемента (вектора)   найдутся такие вещественные числа   _, что                 

                                    

Последнее равенство называется разложением элемента (вектора) x по базису е₁,е₂,…,е_n   .

На основании полученных в (Геометрический смысл линейной зависимости и независимости векторов на плоскости и в трехмерном  пространстве.) можем утверждать следующее:

• В векторном пространстве V¹ произвольный ненулевой вектор может быть взят в качестве  базисного ;
• В векторном пространстве V² порядочная пара неколлеарных  векторов образует базис;
• В векторном пространстве V³ упорядоченная тройка некомпланарных векторов образует базис.

В пространстве    векторы (элементы)       ,                    , …, является линейно независимы , так как равенства нулевому элементу их линейной комбинации возможно лишь при условии, когда ,

Согласно определению  линейных операций в  любой вектор ,   ,линейно выражается через векторы   .

Таким образом, векторы  образуют базис пространства .

Отметим , что определении базиса порядок элементов существенен, поскольку , переставляя элементы базиса, мы получаем снова базис, но другой.

Числа    , фигурирующие в разложении элемента x линеала L по заданному базису   , называется  координатами вектора x относительно рассматриваемого базиса.

Теорема 7. Всякий элемент линеала L может быть единственным образом разложен по базису   , тем самым его координаты относительно заданного базиса определяется однозначно .

Д о к а з а т е л ь с т в о . Допустим, что для некоторого элемента x наряду с разложением     существует еще и другое  расположение . Почленно вычитая последнее равенство из предыдущего , получаем

                                    

Базисные элементы    линейно независимы , поэтому для всех имеем .

Теорема 8. При сложении элементов линеала L их координаты складываются , а при умножении элемента на вещественное число все его координаты умножаются на это число.

Д о к а з а т е л ь с т в о.  Пусть элементы образуют базис в L , x и y – произвольное вещественное число и .

           Разложим x, y, s, p по базису:

, ,   , .

Используя аксиомы   линеала L , получаем

,

.

В силу единственности разложения по базису имеем  , ,

Теорема 9. Если каждый из элементов линеала L представим  в виду линейной комбинации n  линейно независимых элементов того же линеала , т.е.

, j=0,…,n,                (1)

то элементы линейно зависимы.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство проведем методом математической индукции по .

Если  , то , , причем оба числа   отлично от нуля, ибо противном случае элементы линейно зависимы (один из элементов нулевой).

Умножим на , а - на и вычтем почленно.  Тогда . Последнее равенство при условии , означает линейную зависимость элементов y₀,  y_{1 .}

предположим , что теорема справедлива для n элементов. Докажем ее справедливость для элемента.

По индукционному предположению  имеем , что если каждый из n элементов линеала L представим в виде линейной комбинации линейно независимых элементов   того же линеала L , т.е. , то элементы линейно зависимы .

Не уменьшая общности , будем предполагать , что в равенстве (1) для всех   то утверждение теоремы следует из индукционного предположения.

Введем в рассмотрение вспомогательные элементы при

 

 

Каждый n указанных вспомогательных элементов является линейной комбинацией n-1 линейно независимых элементов   По индукционному предположению элементы     линейно зависимы, т.е. существует число , не равные нулю одновременно , такие что , т.е.

 

Отсюда следует соотношение 

 

Что означает линейную зависимость  элементов  так как хотя бы одно из чисел отлично от нуля .

Следствие. Любые элементов в пространстве линейно зависимы.

Доказательство.  Любой  из векторов

 

 

Пространства  можно разложить по базису этого пространства                в виде                       , А тогда по теореме 6 элементы линейно зависимы.

Размерность линеала .

Линеал Lназывают конечномерным (n-мерным), если в нем имеется независимая система , состоящая из n элементов, а всякое система , содержащая более n элементов, является линейно зависимой.

Число n называют размерностью линеала L и обозначают символом dim(L)=n.

Таким образом, размерность  пространства – это наибольшее число  его линейно независимых элементов.

Если линеал L является n-мерным , то его обычно обозначают символом .

Ясно, что  dim()=1, dim()=2, dim()=3.

Линеал , содержащий единственный элемент (нулевой), является нульмерным.

Линеал L называется бесконечномерным , если любого натурального числа N в нем найдется линейно независимая система, состоящая из N элементов.

Примером бесконечномерного линеала является линейное пространство непрерывных на заданном отрезке функций.

Теорема10. Для того чтобы линеал L был n-мерным, необходимо и достаточно , чтобы в нем существовал базис, состоящий из n элементов.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Если линеал является n-мерным , то в нем есть линейно независимая система    , состоящая из n элементов. Добавив к этой системе произвольный элемент получаем линейно зависимую систему    ,x , причем элемент x линейно выражается через элементы  . Тогда элементы образуют базис линеала L.

Достаточность.  Если линеал L имеет базис    , то любой из n+1 произвольных элементов из L представим в виде линейной комбинации базисных элементов , а тогда в силу теоремы9 рассматриваемая система из n+1 элемента линейна зависима.