Системы массового обслуживания

S_n – канал занят (n-1 заявок стоит в очереди);

………………………………………………….

S_N – канал занят (N-1 заявок стоит в очереди).

Стационарный процесс  в данной системе будет описываться  следующей системой алгебраических уравнений:

(1.11)

где ρ=λ/µ; n – номер состояния.

Решение приведенной выше системы уравнений (1.10) для нашей модели СМО имеет вид:

(1.12)

 

(1.13)

 

Тогда

 

Следует отметить, что  выполнение условия стационарности для данной СМО необязательно, поскольку число допускаемых в обслуживающую систему заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди (которая не может превышать N-1), а не соотношением между интенсивностями входного потока, т.е. не отношением λ/µ=ρ.

Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N-1):

1. вероятность отказа в обслуживании заявки:

(1.14)

2. относительная пропускная способность системы:

(1.15)

3. абсолютная пропускная способность:

(1.16)

4. среднее число находящихся в системе заявок:

(1.17)

5. среднее время пребывания заявки в системе:

(1.18)

6. средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:

(1.19)

7. среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди):

. (1.20) [2, 89 – 92].

 

 Теперь рассмотрим более подробно СМО, имеющую n-каналов с неограниченной очередью. Поток заявок, поступающих в СМО, имеет интенсивность λ, а поток обслуживаний – интенсивность µ. Необходимо найти предельные вероятности состояний СМО и показатели ей эффективности.

Система может находиться в одном состоянии S₀, S₁, S₂,…,S_k,…,S_n,…, нумеруемых по числу заявок, находящихся в СМО: S0 – в системе нет заявок (все каналы свободны); S₁ – занят один канал, остальные свободны; S₂ – заняты два канала, остальные свободны;…, S_k – занято k каналов, остальные свободны;…, S_n – заняты все n каналов (очереди нет); S_n+1 – заняты все n каналов, в очереди одна заявка;…, S_n+r – заняты все n каналов, r заявок стоит в очереди, … . 

  Граф состояний показан на рисунке 7.

^{Рис. 7. Граф состояний многоканальной СМО с ожиданием}

Обратим внимание, что  по мере увеличения в СМО от 0 до n увеличивается число каналов обслуживания. При числе заявок в СМО, большем, чем n, интенсивность потока обслуживания сохраняется равной nµ.

Формулы для предельных состояний СМО с ожиданием  выглядят следующим образом:

(1.27)

(1.28)

(1.29)

 

Вероятность того, что  заявка окажется в очереди равна:

(1.30)

 

Для n-канальной СМО с ожиданием, используя прежние формулы, можно найти:

• среднее число занятых каналов:

(1.31)

• среднее число заявок в очереди:

(1.32)

• среднее число заявок в системе:

(1.31) [4, 349 – 360].

 

2.1. Практическая часть.

 

I. Изготавливаются два вида деталей. Заготовки должны пройти последовательную обработку на трех станках. Каждый станок не может работать более 10 часов в сутки. Время обработки и прибыль от продажи одного изделия указаны в таблице. Каковы оптимальные объемы производства изделий каждого вида.

 

Изделие	Время обр. 1 изд., мин.
	Станок 1	Станок 2	Станок 3	Станок 4
1	10	6	8	4
2	5	20	15	6

 

II. Постановка задачи.

Пусть х₁ количество первого вида изделий, х₂ – второго вида изделий, поэтому на х₁ и х₂ накладываем условия: х₁ 0; х₂ 0. Получаем систему ограничений:

Составляем целевую  функцию по данным задачи:

Определяем графически область решения каждого ограничения:

 

X1	2	0
X2	-2	2

 

2.  

 

X1	-2	2
X2	1,1	-0,1

 

 

 

X1	2	-4
X2	-0,4	2,8

 

 

X1	0	3
X2	0	-2

 

 

 

 

Опорная линия определила точку А, в которой целевая  функция принимает максимальное значение. Выписываем линии 1 и 3, которые  пересекаются в точке А, в систему  уравнений, и находим х₁ и х₂:

 

 

 

 

 

 

 

Найденные значения х₁ и х₂ подставляем в целевую функцию и находим F_max:

Ответ: F_max = при и . 

 

 

 

Заключение.

Выше были рассмотрены  примеры простейших систем массового  обслуживания (СМО). Понятие «простейшие» не означает «элементарные». Математические модели этих систем применимы и успешно используются в практических расчетах.

Возможность применения теории принятия решений в системах массового обслуживания определяется следующими факторами:

1. Количество заявок  в системе (которая рассматривается  как СМО) должно быть достаточно  велико (массово).

2. Все заявки, поступающие  на вход СМО, должны быть  однотипными.

3. Для расчетов по  формулам необходимо знать законы, определяющие поступление заявок и интенсивность их обработки. Более того, потоки заявок должны быть Пуассоновскими.

4. Структура СМО, т.е.  набор поступающих требований  и последовательность обработки  заявки, должна быть жестко зафиксирована.

5. Необходимо исключить  из системы субъектов или описывать их как требования с постоянной интенсивностью обработки.

К перечисленным выше ограничениям можно добавить еще  одно, оказывающее сильное влияние  на размерность и сложность математической модели.

6. Количество используемых  приоритетов должно быть минимальным. Приоритеты заявок должны быть постоянными, т.е. они не могут меняться в процессе обработки внутри СМО.

В ходе выполнения работы была достигнута основная цель – изучен основной материал «СМО с ограниченным временем ожидания» и «Замкнутые СМО», которая была поставлена преподавателем учебной дисциплины. Также мы ознакомились применением полученных знаний на практике, т.е. закрепили пройденный материал.

 

Список литературы:

1)Фомин Г.П. Математические  методы и модели в коммерческой деятельности. М: Финансы и статистика, 2001.

2) Гмурман В.Е. Теория  вероятностей и математическая  статистика. М: Высшая школа, 2001.

3) Советов Б.А., Яковлев  С.А. Моделирование систем. М: Высшая  школа, 1985.

4) Лифшиц А.Л. Статистическое  моделирование СМО. М., 1978.

5) Вентцель Е.С. Исследование  операций. М: Наука, 1980.

6) Вентцель Е.С., Овчаров  Л.А. Теория вероятностей и  её инженерные приложения. М: Наука, 1988.