Сложные проценты

Все виды финансового  планирования на фирме связаны друг с другом и осуществляются в определенной последовательности.

Виды финансового планирования	Перспективное (стратегическое) финансовое планирование	Текущее финансовое планирование	Оперативное финансовое планирование
Формы разрабатываемых  финансовых планов	Прогноз отчета о прибылях и убытках; прогноз движения денежных средств; прогноз бухгалтерского баланса	План доходов и расходов по операционной деятельности; план доходов и расходов по инвестиционной деятельности; план поступления и расходования денежных средств; балансовый план	Платежный календарь, кассовый план
Период планирования	1 -3 года	1 год	Декада, квартал, месяц

 

Исходной точкой планирования является прогнозирование основных направлений финансовой деятельности предприятия, осуществляемое в процессе перспективного планирования, которое определяет задачи и параметры текущего финансового планирования. В свою очередь основа для разработки оперативных финансовых планов формируется именно на стадии текущего финансового планирования.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 1.3. Виды финансового  планирования

 

Очень важно осознавать тесную взаимосвязь всех видов финансового планирования. И то, что с переходом от одного вида планирования к другому цели, задачи, этапы осуществления и показатели более конкретизируются, становятся более четкими.

 

 

 

 

4. Сложные проценты

4.1. Понятие простого и сложного процента

 

Предоставляя  денежные средства в долг, их владелец получает определенный доход в виде процентов, начисляемых по некоторому алгоритму в течение определенного промежутка времени Поскольку стандартным временным интервалом в финансовых операциях является 1 год, наиболее распространен вариант, когда процентная ставка устанавливается в виде годовой ставки, подразумевающей однократное начисление процентов по истечении года после получения ссуды. Известны две основные схемы дискретного начисления:

• схема простых процентов (simple interest);
• схема сложных процентов (compound interest).

Схема простых процентов предполагает неизменность базы, с которой происходит начисление. Исходный инвестируемый капитал равен Р; требуемая доходность — r (в долях единицы). Считается, что инвестиция сделана на условиях простого процента, если инвестированный капитал ежегодно увеличивается на величину P_r. Таким образом, размер инвестированного капитала (R_n) через п лет будет равен:

 

Считается, что  инвестиция сделана на условиях сложного процента, если очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей также и ранее начисленные и не востребованные инвестором проценты. В этом случае происходит капитализация процентов по мере их начисления, т.е. база, с которой начисляются проценты, все время возрастает. Следовательно, размер инвестированного капитала будет равен:

к концу первого  года: _;  

к концу второго  года: ;

………….

к концу n-го года: .

Как же соотносятся величины R_n и F_n?  Сравним множители наращения по простым и сложным процентам, т.е. сравним: (1+nr) и (1 + r)ⁿ. Очевидно, что при п = 1 эти множители совпадают и равны (1+r). Можно показать, что при любом r справедливы неравенства: , если 0 < п < 1 и , если п > 1. Итак,

• R_n> F_n   при 0<n< 1;
• R_n< F_n при п > 1.

Графически взаимосвязь F_n и R_n можно представить следующим образом (рис. 2).

Рис. 1.4. Простая и сложная схемы наращения капитала

 

Таким образом, в случае ежегодного начисления процентов  для лица, предоставляющего кредит:

• более выгодной является схема простых процентов, если срок 
  ссуды менее одного года (проценты начисляются однократно в конце 
  периода);
• более выгодной является схема сложных процентов, если срок 
  ссуды превышает один год (проценты начисляются ежегодно);
• обе схемы дают одинаковые результаты при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов.

Использование в расчетах сложного процента в случае многократного его начисления более логично, поскольку в этом случае капитал генерирующий доходы, постоянно возрастает.

Формула сложных процентов  является одной из базовых формул в финансовых вычислениях, поэтому для удобства пользования значения множителя FM1(r, n), называемого мультиплицирующим множителем для единичного платежа и обеспечивающего наращение стоимости, табулированы для различных значений r и п. Тогда формула алгоритма наращения по схеме сложных процентов переписывается следующим образом:

,

Где FV_n – сумма, ожидаемая к поступлению через n базисных периодов;

      P – исходная сумма;

        r – ставка наращения

где FM1(r, п) = (1 + r)ⁿ — мультиплицирующий множитель для единичного платежа

Экономический смысл множителя FM1(r, n) состоит в следующем он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль один доллар, одна иена и т.п.) через п периодов при заданной процентной ставке r. При пользовании финансовыми таблицами необходимо следить за соответствием длины периода и процентной ставки. Так, если базисным периодом начисления процентов является квартал, то в расчетах должна использоваться квартальная ставка.

 

 

 

 

4.2. Понятие аннуитета и методы его оценки

 

Денежный поток с  равными интервалами и равными поступлениями денежных средств называется финансовой рентой, или аннуитетом. Различают срочные и бессрочные аннуитеты. По моменту поступления денежных средств в выбранном интервале времени срочные и бессрочные аннуитеты могут быть как потоками пренумерандо, так и потоками постнумерандо. При этом каждый из срочных аннуитетов может рассчитываться как по схеме наращения, так и по схеме дисконтирования.

Классификацию аннуитетов наглядно иллюстрирует рисунок.

Рис.1.5. Виды аннуитетов

 

Под срочным аннуитетом понимается денежный поток с поступлениями в течение ограниченного времени (срочный денежный поток) с равными по величине поступлениями денежных средств через равные промежутки времени. По моменту поступления денежных средств различают срочные аннуитеты пренумерандо и постнумерандо.

Срочный аннуитет постнумерандо  можно рассчитать как по схеме  наращения, так и по схеме дисконтирования.

Формула оценки срочного аннуитета постнумерандо по схеме наращения имеет следующий вид:

FV_pst = PV (1 + r)^n-1 + PV (1 + r)^{n - 2} + ... + PV (1 + r) + PV

Срочный аннуитет пренумерандо можно рассчитать как по схеме  наращения, так и по схеме дисконтирования.

Формула оценки срочного аннуитета пренумерандо по схеме наращения имеет следующий вид:

FV_pre=FV_pst(l+ r) = PV [(1 +r)ⁿ- 1] (1 + r)/r.

Формула оценки срочного аннуитета пренумерандо по схеме  дисконтирования имеет следующий  вид:

PV_pre = PV_pst(l + r) = FV [1 - (1+r)^-n ] (1 + r) / r.

Под бессрочным аннуитетом (вечная рента) понимается денежный поток с равными по величине поступлениями денежных средств в течение длительного срока через равные интервалы времени. Примером бессрочного аннуитета являются консоли (консолидированная рента) — долгосрочные государственные облигации со сроком обращения, превышающим 30 лет.

В случае бессрочного  аннуитета поток равных платежей через равные интервалы в течение  длительного периода времени  рассматривается как бесконечный. При этом подразумевается, что в рамках выбранного интервала осуществляется только один платеж. В этой связи бессрочный аннуитет математически можно представить как бесконечность (n -> ∞) или как бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.

Бессрочный аннуитет (как разновидность денежного потока) можно классифицировать по моменту поступлений в выбранном интервале времени на потоки пренумерандо и постнумерандо. Однако, в отличие от других денежных потоков, которые можно рассчитывать как по схеме наращения, так и дисконтирования, оценка бессрочного аннуитета способом наращения не имеет смысла, так как поток стремится к бесконечности и нельзя определить п. Поэтому единственным способом остается обратный способ (способ дисконтирования).

При этом сначала рассчитывается приведенная стоимость бессрочного аннуитета постнумерандо, а затем с его помощью приведенная стоимость бессрочного аннуитета пренумерандо. Классификация способов оценки бессрочных аннуитетов приведена в таблице.

Способы оценки бессрочных аннуитетов

По моменту поступления денежных средств в выбранном временном интервале	Оценка бессрочного аннуитета
	по схеме наращения	по схеме дисконтирования
1) потоки с поступлениями  в начале выбранного интервала  времени — пренумерандо;	Не имеет решения	Бессрочный аннуитет пренумерандо
2) потоки с поступлениями  в конце выбранного интервала  времени — постнумерандо.	Не имеет решения	Бессрочный аннуитет постнумерандо

 

Формула оценки бессрочного  аннуитета постнумерандо по схеме  дисконтирования имеет следующий  вид:

PV_pst=A/r,

где А — одно денежное поступление за выбранный временной  интервал.

Данная формула показывает, что приведенную стоимость можно  рассчитать даже для денежного потока с неограниченным количеством платежей. Так, при сроке аннуитета, превышающем 50 лет, и процентной ставке, равной 10%, разница между значениями коэффициентов дисконтирования незначительная. Чем выше значение процентной ставки, тем меньше срок, при превышении которого разница между значениями коэффициента дисконтирования становится несущественной.

Формула оценки бессрочного  аннуитета пренумерандо по схеме дисконтирования имеет следующий вид:

PV_pre = PV_prs + A

где PV_pre — поток пренумерандо;

PV_pre — поток постнумерандо;

А     — величина первого платежа.

Как следует из данной формулы, приведенная стоимость бессрочного аннуитета пренумерандо превышает приведенную стоимость бессрочного аннуитета постнумерандо на величину первого платежа.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

II. Практическое применение управленческих решений финансового характера

6 вариант

1.1. Риск и доходность инвестиционного портфеля

 

Приведены следующие  данные о доходности финансовых инструментов А, Б, В.

Год	Доходность актива, %
	А	Б	В
1-й	10	14	14
2-й	13	12	16
3-й	14	11	19

 

а) Проанализируйте и  сопоставьте риск этих финансовых инструментов.

б) Составьте портфели, каждый из которых состоит на 50 % из одного актива и 50% - из другого. Является ли наименее рисковым портфель, состоящий  из наименее рисковых активов?

в) Введите в рассмотрение актив Г, отличающийся от актива В  лишь последовательностью значений доходности, то есть её значения по годам таковы: 19, 16, 14%. Дайте ответ на вопросы:

- Различаются ли по  степени риска активы В и  Г?

- Рассмотрите портфели (50%А + 50%В) и (50%А + 50%Г). Различаются  ли они по степени риска? Если да, то какой из них менее рискован и почему?

 

Решение:

Структурируем данные в  виде таблицы 1.

Таблица 1

Расчетные данные

Показатель	Виды активов				Портфели
	А	Б	В	Г	50%А+50%Б	50%Б+ 50%В	50%А+ 50%В	50%А+ 50%Г
Доходность в 1 году, %	10	14	14	19	12	14	12	14,5
Доходность во 2 году, %	13	12	16	16	12,5	14	14,5	14,5
Доходность в 3 году, %	14	11	19	14	12,5	15	16,5	14
Средняя доходность, %	12,3	12,3	16,3	16,3	12,33	14,33	14,33	14,33
Стандартное отклонение, , %	1,7	1,25	2,05	2,05	0,24	0,47	1,84	0,24
Коэффициент вариации, СV	0,138	0,102	0,126	0,126	0,019	0,033	0,128	0,017