Контрольная работа по "Классификации измерений"

Контрольная работа

 

Пояснения

1 Классификация погрешностей измерений

 

Любое измерение, как бы тщательно и аккуратно оно ни проводилось, сопровождается погрешностями получения результата, возникновение которых зависит от многих причин: от качества изготовления средств измерений, их состояния при эксплуатации, от точности образцовых средств, по которым проводится их поверка; от температуры, влажности, атмосферного давления и от других внешних факторов; от опыта и внимательности лиц, проводящих измерение; от применяемого метода измерения. Поэтому при измерении неизменяющейся величины, полученный результат всегда отличается от ее истинного значения.

Погрешность измерения – отклонение результата измерения от истинного значения измеряемой величины:

∆ = Х – Х ист,     (1)

где Х – результат измерения,

Х ист – истинное значение измеряемой величины.

 

Это теоретическое определение  погрешности, так как истинное значение неизвестно.

 

1) По форме представления различают абсолютную и относительную погрешности измерений.

 

Абсолютная погрешность  измерений - разность между измеренным и действительным значениями измеряемой величины:

                                            ,     (2)

где  ∆ - абсолютная погрешность,

        Х – измеренное значение,

        – действительное значение измеряемой величины.

Абсолютная погрешность имеет  размерность измеряемой величины.

 

Относительной погрешность измерений - отношение абсолютной погрешности к действительному значению измеряемой величины:

                                                 (3)

где δ – относительная  погрешность.

На практике относительную погрешность определяют приближенно в процентах от измеренного значения:

                                                      (4)

Относительная погрешность  показывает, какую часть (в %) от измеренного  значения составляет абсолютная погрешность.

Приведенная погрешность – отношение абсолютной погрешности к некоторому нормирующему значению:

    (5)

где X_N – нормирующее значение. В качестве нормирующего значения X_N обычно используется предел измерений (X_N = X_max) или удвоенное значение предела измерений (если нулевая отметка находится в середине шкалы), или длина шкалы (для приборов с неравномерной шкалой).

2) По характеру проявления погрешности измерений подразделяют на систематические погрешности; случайные погрешности; промахи (грубые ошибки).

Систематической называют погрешность, которая при повторных измерениях одной и той же величины остается постоянной, или изменяется закономерно.

Случайной называют погрешность, которая при повторных измерениях одной и той же величины принимает различные значения.

Промахами называют грубые погрешности, существенно превышающие ожидаемые погрешности при данных условиях проведения измерений.

 

 

2. Виды измерений

Прямые измерения – результат измерения получается при непосредственном считывании результата измерения со шкалы СИ.

Косвенные измерения – результат измерения находится в функциональной зависимости от нескольких измеряемых величин.

По числу измерений в ряду измерений – однократные измерения и многократные измерения.

 

3. Оценивание систематических погрешностей результата прямых измерений на основе класса точности средств измерений

Погрешности, вносимые в результат измерения средствами измерения, определяются классом точности СИ.

Класс точности СИ – это обобщенная характеристика, выражаемая пределами допускаемых погрешностей.

Классы точности конкретного типа СИ устанавливают в нормативной документации. Класс точности (предел допускаемой погрешности) может быть также нанесен на лицевую панель прибора. В зависимости от типа СИ пределы допускаемых погрешностей СИ выражаются по-разному.

1. класс точности выражен числом в кружке:

 

Это означает, что предел допускаемой относительной погрешности для любого измеренного значения в пределах шкалы равен 1,5 % (δ = 1,5%). Учитывая формулу (4), найдем абсолютную погрешность:

 

2. Класс точности выражен числом без кружка: 0,5.

Это означает, что предел допускаемой  приведенной погрешности равен 0,5            (γ = 0.5%). Тогда абсолютная погрешность  определиться из формулы (5):

 

3. Класс точности выражен дробью c/d (0,02/0,01). Это означает, что относительная погрешность определяется формулой:

    (6)

После вычисления относительной погрешности, легко определить абсолютную погрешность по формуле (4).

Пример №1

Милливольтметром В3-38  измерялось напряжение переменного  тока. В нормальных условиях получено значение 100 мВ, на поддиапазоне 0 - 300 мВ. В паспорте прибора указано: предел допускаемой основной погрешности в процентах от конечного значения установленного поддиапазона измерений равен 2,5% на поддиапазоне измерений от 0 до 300 мВ.

Решение:

Приведенная погрешность  γ = 2,5% ,  = 300 мВ, следовательно, абсолютная погрешность будет равна:

 

Результат измерения: U = (100,0 ± 7,5)  мВ.

 

 

4 Оценивание систематической погрешности косвенных измерений

4.1 Пусть решается задача измерения некоторой величины y, которая является функцией суммы n аргументов:

    (7)

И пусть при измерении величин  присутствуют только систематические погрешности: .

Абсолютную погрешность косвенного измерения можно записать в виде:

 

   (8)

 

В тех случаях, когда нужно определить возможную предельную погрешность  результата измерения при  n>3 применяют простое суммирование:

 

.    (9)

 

Пример №2

Два резистора сопротивлениями  R1=50 Ом и три резистора сопротивлениями R2=100 Ом соединены последовательно, причем их систематические погрешности равны ∆R1 = ±1 Ом и ∆R2 = ±2 Ом. Определить сопротивление цепи и его погрешность.

Решение:

Общее сопротивление вычисляется  по формуле:

 

R=2R1+3R2=2∙50+3∙100=400 Ом.

 

Определим максимальную абсолютную погрешность, учитывая, что  n>3:

 

∆R=∆R1+∆R1+∆R2+∆R2+∆R2=2∆R1+3∆R2=±(2∙1+3∙2)= ±8 Ом.

Результат измерения: R = (400±8) Ом.

 

 

4.2 Пусть функция выражается в виде произведения сомножителей:

,    (10)

где c, α, β, γ – любые положительные или отрицательные константы.

 

В этом случае вычисляется сначала  относительная погрешность:

.     (11)

Прологарифмируем функцию (10), (логарифм произведения равен сумме логарифмов):

   (12)

Продифференцируем выражение (12), заменяя dx и dy на ∆x и ∆y:

 

  (13)

Зная относительную погрешность, легко определить абсолютную:

     (14)

 

Пример №3

Два резистора R1 = 100 Ом и R2 = 200 Ом соединены параллельно. Их систематические погрешности равны ∆ R1 = ±1 Ом и ∆ R2 = ±2 Ом. Найти сопротивление цепи и оценить его погрешность.

Решение:

Сопротивление цепи R вычисляется по формуле:

 Ом

Максимальная возможная относительная  погрешность согласно (13) определяется:

%

Абсолютная погрешность:

 Ом

Результат измерения: R = (66,7±2,0) Ом

 

5 Оценивание случайных погрешностей прямых измерений

 

Из-за влияния на средство измерений  помех различного происхождения (изменение  температуры окружающей среды, электромагнитных полей, вибраций, изменения частоты  и амплитуды сетевого напряжения, изменения атмосферного давления, влажности и т.д.), результаты повторных измерений  одной и той же физической величины (особенно ее малых значений) будут в большей или меньшей степени отличаться друг от друга. Результат измерений является случайной величиной, которая характеризуется наиболее вероятным значением и разбросом (рассеянием) результатов повторных измерений вблизи наиболее вероятного значения. Если при повторных измерениях одной и той же величины результаты измерений не отличаются друг от друга, то это означает, что случайная составляющая погрешности измерений является несущественной и ею можно пренебречь. При этом неисключенную систематическую погрешность результата измерений оценивают по величине пределов допускаемых погрешностей применяемых средств измерений. Если же при повторных измерениях одной и той же величины наблюдается разброс показаний, то это означает, что наряду с большей или меньшей неисключенной систематической погрешностью, имеет место и случайная погрешность, принимающая при повторных измерениях различные значения.

 

Пусть получен ряд из n измеренных значений величины x:

     (15)

При многократных измерениях за результат  измерения принимается среднее  значение измеряемой величины:

,     (16)

где:   x_i – результат i – го измерения;

         n – число проведенных измерений в данной серии измерений.

Затем находят оценку среднеквадратического  отклонения наблюдений, характеризующую степень рассеяния результатов отдельных наблюдений вблизи , по формуле:

,     (17)

где - отклонение результатов отдельных измерений x_i от оценки среднего значения.

Точность оценки наиболее вероятного значения измеряемой величины зависит от числа наблюдений . Нетрудно убедиться в том, что результаты нескольких оценок по одному и тому же числу отдельных измерений будут отличаться. Таким образом, сама оценка также является случайной величиной. В связи с этим вычисляется оценка среднеквадратического отклонения результата измерения , которую обозначают . Эта оценка характеризует степень разброса значений по отношению к истинному значению результата, т.е. характеризует точность результата, полученного усреднением результата многократных измерений. Для различных она определяется по формуле:

.     (18)

Следовательно, точность результата многократных измерений увеличивается  с ростом числа последних.

Случайная погрешность оценивается доверительным интервалом:

,    (19)

где - коэффициент Стьюдента.

В таблице ниже приведены значения коэффициентов Стьюдента в зависимости от заданной доверительной вероятности и числа проведенных наблюдений . 

Значения коэффициентов  Стьюдента 

n
	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,98	0,99
2	1,00	1,38	1,96	3,08	6,31	12,71	31,82	63,66
3	0,82	1,06	1,34	1,89	2,92	4,30	6,97	9,93
4	0,77	0,98	1,25	1,64	2,35	3,18	4,54	5,84
5	0,74	0,94	1,19	1,53	2,13	2,78	3,75	4,60
6	0,73	0,92	1,16	1,48	2,02	2,62	3,37	4,03
7	0,72	0,91	1,13	1,44	1,94	2,45	3,14	3,71
8	0,71	0,90	1,12	1,42	1,90	2,37	3,00	3,50
9	0,71	0,89	1,11	1,40	1,86	2,31	2,90	3,36
10	0,70	0,88	1,10	1,38	1,83	2,26	2,82	3,25
16	0,69	0,87	1,07	1,34	1,75	2,13	2,60	2,95
25	0,69	0,86	1,06	1,32	1,71	2,06	2,49	2,80