Элементы комбинаторики

 

Содержание

 

Введение………………………………………………………..……..…….3

История…………………………………………………………….…...…4-6

Комбинаторика в начальной  школе………………………….…….....…7-8

Подготовительный этап………………………………………….….…..9-11

Ознакомление с приемами решения комбинаторных задач……......12-14

Этап обработки умения выполнять организационный перебор…...…...15

Литература………………………………………………………………….16

Заключение…………………………………………………….…………...17

 

 

 

 

 

Введение

Комбинаторика занимается различного вида соединениями , которые можно

Образовывать из элементов  конечного множества. Некоторые  элементы комбинаторики были известны в Индии ещё во II в. до н. э . Нидийцы умели вычислять числа , которые сейчас называют «сочетания» . В XII в. Бхаскара вычислял некоторые виды сочетаний и перестановок . Предполагают , что индийские учёные изучали соединения  в связи с применением их в поэтике , науке о структуре стиха и поэтических произведениях . Например , в связи с подсчетом возможных сочетаний ударных (долгих) и безударных (кратких) слогов стопы из n слогов . Как научная дисциплина , комбинаторика сформировалась в XII в. В книге «Теория и практика арифметики» (1656 г.) французский автор А .Также посвящает сочетаниям и перестановкам целую главу.

Б.Паскаль в «Трактате  об арифметическом треугольнике» и  в «Трактате о числовых порядках»(1665 Г.)  изложил учение о биномиальных коэффициентах . П . Ферма знал о связях математических квадратов и фигурных чисел с теорией соединений. Термин «комбинаторика» стал употребляться  после опубликования Лейбницем  в 1665 г. работы «Рассуждение о комбинаторном  искусстве», в которой впервые  дано  научное  обоснование теории сочетаний и перестановок .Изучением  размещений впервые занимался Я . Бернулли во второй части своей  книги  «Arsconjectandi» (искусство предугадывания) в 1713 г. Современная символика сочетаний была предложена  разными авторами учебных руководств только в  XIX в.

Комбинато́рика (Комбинаторный  анализ) — раздел математики, изучающий  дискретные объекты, множества (сочетания, перестановки, размещения и перечисления элементов) и отношения на них (например, частичного порядка). Комбинаторика  связана со многими другими областями  математики — алгеброй, геометрией, теорией вероятностей и имеет  широкий спектр применения в различных  областях знаний (например в генетике, информатике, статистической физике).

 

Иногда под комбинаторикой понимают более обширный раздел дискретной математики, включающий, в частности, теорию графов.

 

 

ИСТОРИЯ

 

Комбинаторика - ветвь математики, изучающая комбинации и перестановки предметов. Еще комбинаторику можно  понимать как перебор возможных  вариантов.

Комбинаторика возникла в 17 веке. Долгое время она лежала вне  основного русла основного развития математики. С задачами, в которых  приходилось выбирать те или иные предметы, располагать их в определенном порядке и отыскивать среди разных расположений наилучшие, люди столкнулись  еще в доисторическую эпоху, выбирая  наилучшее положение охотников  во время охоты, воинов – во время  битвы, инструментов – во время работы. Комбинаторные навыки оказались  полезными и в часы досуга. Нельзя точно сказать, когда наряду с  состязаниями в беге, метании диска, прыжках появились игры, требовавшие, в первую очередь, умения рассчитывать, составлять планы и опровергать  планы противника.  Со временем появились  различные игры (нарды, карты, шашки, шахматы и т.д.). В каждой из этих игр приходилось рассматривать  различные сочетания фигур, и  выигрывал тот, кто их лучше изучил, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных. Не только азартные игры давали пищу для комбинаторных  размышлений математиков. Еще с  давних пор дипломаты, стремясь к  тайне переписки, изобретали сложные  шифры, а секретные службы других государств пытались эти шифры разгадать. Стали применять шифры, основанные на комбинаторных принципах, например, на различных перестановках букв, заменах букв с использованием ключевых слов и так далее.

Комбинаторика как наука  стала развиваться в 18 веке параллельно  с возникновением теории вероятностей, так как для решения вероятностных  задач необходимо было подсчитать число  различных комбинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Дж. Кардано, Н.Тарталье (1499-1557), Г.Галилею (1564-1642) и французским ученым Б.Паскалю(1623-1662) и П.Ферму.

Комбинаторику как самостоятельный  раздел математики первым стал рассматривать  немецкий ученый Г.Лейбниц в своей  работе “ Об искусстве комбинаторики  ”, опубликованной в 1666 году. Он также  впервые ввел термин “комбинаторика”. Значительный вклад в развитие комбинаторики  внес Л.Эйлер. В современном обществе с развитием вычислительной техники  комбинаторика “добилась” новых  успехов. В настоящее время в  образовательный стандарт по математике включены основы комбинаторики, решение  комбинаторных задач методом  перебора, составлением дерева вариантов (еще его называют “дерево возможностей”) с применением правила умножения. Так, например, “дерево возможностей”  помогает решать разнообразные задачи, касающиеся перебора вариантов происходящих событий. Каждый путь по этому “дереву” соответствует одному из способов выбора, число способов выбора равно числу  точек в нижнем ряду “дерева”. Правило  умножения заключается в том, что для того, чтобы найти число  всех возможных исходов независимого проведения двух испытаний А и  В, следует перемножить число  всех исходов испытания А и  число всех исходов испытания  В. В задачах по комбинаторике  часто применяется такое понятие  как факториал (в переводе с английского  “factor” - “множитель”).

Итак, произведение всех натуральных  чисел от 1 до n включительно называют n-факториалом и пишут: n!=1 2 3 … (n-1) n. В комбинаторике решаются задачи, связанные с рассмотрением множеств и составлением различных комбинаций из элементов этих множеств. В зависимости от правил составления можно выделить три типа комбинаций: перестановки, размещения, сочетания.

 

 

 

КОМБИНАТОРИКА В  НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ 

 

Многие жизненные проблемы требуют для своего решения комбинаторного подхода, умения просчитать все возможные варианты и с учетом дополнительных условий выбрать наилучший. Поэтому весьма актуальным является формирование и развитие таких качеств мышления учащихся, как системность, гибкость, многовариантность, избирательность.  Все эти качества характеризуют комбинаторный стиль мышления.

Имея огромное развивающее  значение, комбинаторика является базой  для изучения теории вероятностей и  основ математической статистики, постепенно занимающих прочные позиции в  школьном образовании.

В рамках традиционного  подхода к преподаванию математики введение элементов теории вероятностей предполагает предварительное знакомство с комбинаторикой. Этот раздел математики очень важен в обучении школьников, т.к. он в большей степени, чем  другие разделы способствует развитию мышления учащихся. Благодаря решению  комбинаторных задач, развитие мышления младших школьников (переход от практического  вида к теоретическому) становится более осуществимым.

Комбинаторные задачи – это задачи, требующие осуществления перебора всех возможных вариантов или подсчета их числа.

В действующих учебниках  математики число комбинаторных  задач очень мало и используются задачи только некоторых видов. Поэтому  возникает необходимость в отборе комбинаторных задач, которые можно  и нужно включать в начальный  курс математики.

Итак, проведём поэтапную  работу по обучению решению комбинаторных задач в начальной школе:

1.Подготовительный этап.

2.Ознакомление с приемами  решения комбинаторных задач.

3.Этап отработки умения  выполнять организованный перебор.

 

 

 

 

 

 

 

 

ПОДГОТОВИТЕЛЬНЫЙ  ЭТАП

 

Цель: формирование мыслительных операций в процессе решения комбинаторных задач с помощью хаотического перебора.

Задачи, решаемые на данном этапе:

1.задачи-игры;

2. «жизненные» задачи (задачи, решаемые в повседневной деятельности  человека).

Примеры:  Задачи-игры

«День-ночь»

Участвуют три игрока. Они  садятся на стулья. По команде ведущего «День!» ребята встают и могут  передвигаться. По команде ведущего «Ночь!» они садятся на стулья, но так, чтобы каждый раз порядок  расположения их был другой. Все  остальные следят за тем, чтобы играющие выполняли поставленное условие. Игра продолжается до тех пор, пока не обнаружатся  все возможные варианты. Вопрос: сколько всего вариантов получится?

Решение:

Получится 6 вариантов

1.КАТЯ МИША ЛИЗА

2.МИША КАТЯ ЛИЗА

3.ЛИЗА КАТЯ МИША

4.КАТЯ ЛИЗА МИША

5.МИША ЛИЗА КАТЯ

6.ЛИЗА МИША КАТЯ

 

«Башенки»

Ведущий кладет в коробку  три кубика: зеленого, синего и желтого  цветов и говорит, что будет брать, не глядя, по одному кубику и составлять башенку следующим образом: первый кубик – нижний этаж, второй –  средний, третий – верхний. Игрокам  предлагается нарисовать башенку, изображая  кубики квадратами соответствующего цвета. Затем кубики вынимаются из коробки. Тот, кто угадал, становится победителем.  Вопрос: сколько различных башенок надо нарисовать, чтобы быть уверенным, что, сколько бы башенок мы не составляли, среди рисунков всегда окажется нужный, и ты всегда будешь выигрывать?

Решение:

6 Рисунков

1.Синий    2. Желтый    3. Зеленый   4. Синий    5. Зеленый    6. Желтый 

   Зелёный      Синий           Синий          Желтый      Желтый         Зеленый

   Желтый      Зеленый       Желтый      Зеленый      Синий              Синий

 

 Пример: «Жизненные задачи»

Задача

У кассы кинотеатра стоят  четверо ребят. У двух из них сторублевые  купюры, у других двух – пятидесятирублевые. Билет в кино стоит 50 рублей. В начале продажи касса пуста. Вопрос: как должны расположиться ребята, чтобы никому не пришлось ждать сдачи?

Решение:

50 рублей 50 рублей 100 рублей 100 рублей

50 рублей 100 рублей 50 рублей 100 рублей

 

 

 

 

 

ОЗНАКОМЛЕНИЕ  С ПРИЕМАМИ РЕШЕНИЯ КОМБИНАТОРНЫХ  ЗАДАЧ 

 

Цель: ознакомление учащихся с методом организованного перебора.

Задачи, решаемые на данном этапе:

1.задачи, решаемые методом  организованного перебора;

2.задачи, решаемые с помощью  таблиц;

3.задачи, решаемые с помощью  графов;

4.задачи, решаемые с помощью  дерева возможных вариантов.

 

1.задачи, решаемые методом организованного  перебора

Задача: У Миши 6 яблок. Из них 4 красных и 2 зеленых. Миша съел 3 яблока. Какого цвета могли быть яблоки? Сколько вариантов у тебя получилось?

Решение:  3 варианта.

Красное Красное Красное

Зеленое Зеленое Красное

Красное Красное Зеленое

 

2.задачи, решаемые с помощью таблиц

Задача:  Запиши в нужные клетки таблицы следующие числа: 23, 32, 11, 31, 22, 33, 13. Какие числа нужно записать в оставшиеся клетки?

Единицы               Десятки	1	2	3
1	11	12	13
2	21	22	23
3	31	32	33

 

 

3.задачи, решаемые с помощью графов

Задача: Сколько двузначных чисел можно составить, используя цифры 1, 2, 3, 4?

Решение: 16 чисел. Последовательно соединяем каждое число между собой.

4.задачи, решаемые с помощью дерева  возможных вариантов

Задача: Какое число зашифровано в выделенном пути?  
Покажи путь, в котором зашифровано число 5571.

ЕДИНИЦЫ ТЫСЯЧ                 5

 

СОТНИ                             5               7

 

ДЕСЯТКИ                 1          7        1          7

 

ЕДИНИЦЫ               7         1          7           1

 

 

 

 

ЭТАП ОБРАБОТКИ  УМЕНИЯ ВЫПОЛНЯТЬ ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ  ПЕРЕБОР 

 

Цель: отработать у учащихся умения решать комбинаторные задачи.

Примеры:

Задача 1: Дети на доске записали верные равенства, но кто-то стёр часть записей. Восстанови их там, где сможешь (на место многоточия).

(35+…)*4=…*…+9*…    (35+40)*4=51*5+9*5

…*2-17*2=(20-…)*…    25*2-17*2=(20-16)*4

Задача 2: Восстанови пропущенные запятые в данных равенствах:

47+53=10      4,7+5,3=10

5*16=8            5*1,6=8

 

 

 

 

Литература

1. Истомина Н.Б. - математика учебник для первого класса четырёхлетней начальной школы: Смоленск, 2009 год
2. Истомина Н.Б. , Нефёдова И.Б. - учебник для второго класса четырёхлетней начальной школы: Смоленск, 1999
3. Истомина Н.Б., Нефёдова  И.Б  - учебник для третьего класса четырёхлетней начальной школы: Смоленск, 1999
4. http://combinatorica.narod.ru/second.html