Автор работы: Пользователь скрыл имя, 25 Октября 2013 в 09:54, курсовая работа
Теория массового обслуживания опирается на теорию вероятностей и математическую статистику. Первоначальное развитие теории массового обслуживания связано с именем датского ученого А.К. Эрланга(1878-1929),с его трудами в области проектирования и эксплуатации телефонных станций.
Теория массового обслуживания — область прикладной математики, занимающаяся анализом процессов в системах производства, обслуживания, управления, в которых однородные события повторяются многократно, например, на предприятиях бытового обслуживания; в системах приема, переработки и передачи информации; автоматических линиях производства и др. Большой вклад в развитие этой теории внесли российские математики А.Я. Хинчин, Б.В. Гнеденко, А.Н. Колмогоров, Е.С. Вентцель и др.
ЛИТЕРАТУРНЫЙ ОБЗОР
1 Математическое моделирование систем массового обслуживания
1.1 Элементы теории массового обслуживания 9
1.2 Классификация систем массового обслуживания 14
1.2.1 Классификация входных потоков 16
1.2.2. Классификация процессов обслуживания. 18
1.2.3 Классификация систем массового обслуживания по характеру обслуживания. 19
2 Имитационное моделирование систем массового обслуживания
2.1 «Когда другие методы беспомощны…» 28
2.2. Построение имитационной модели 30
2.3 Языки имитационного моделирования 34
2.3.1 Универсальный язык моделирования GPSS 37
ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ
2 Решение задачи математическими методами
2.1 Постановка задачи 49
2.1.2 Решение задачи 49
2.1.3 Решение задачи методом моделирования на GPSS 55
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 60
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 62
б) Оптимальное количество nопт. контролеров-кассиров, при котором относительная величина затрат, связанная с издержками на содержание каналов обслуживания и с пребыванием в очереди покупателей, задаваемая, например, как
Cотн. = , будет минимальна, и сравнить характеристики обслуживания при n=nmin и n=nопт. . Определить прибыль фирмы при n=nопт.
в) Вероятность того, что в очереди будет не более трех покупателей.
Задача представляет собой яркий пример СМО с ожиданием.
Необходимо найти:
А). Минимальное количество контролеров-кассиров nmin, при котором очередь не будет расти до бесконечности, соответствующие характеристики обслуживания при n=nmin и прибыль фирмы при этих условиях.
По условию l=81 (1/ч)=1.35(1/мин).
Очередь не будет расти до бесконечности при условии, что среднее число занятых каналов будет меньше, чем реальное количество кассиров. На числовой оси наименьшее натуральное целое число, большее, чем 2,7, есть число 3. Значит минимальное количество кассиров =3.
Таким образом, можно заключить, что 2,5% времени касса свободна.
Прибыль = выручка – себестоимость. На себестоимость продукции отнесем заработную плату 3х кассиров, амортизационные отчисления от использования основных средств (кассовые аппараты), материальные затраты на канцелярию, арендную плату, затраты на коммунальные услуги, а также начисленные предприятию налоги. При расчете заработной платы будем считать, что фирма работает без выходных, а отчетный период равен 30 дням.
З/П. 3х кассиров = 3 кассира*5 т.р.=15 т.р.
Начислена амортизация основных средств:
т.р.
Материальные затраты на канцелярию 150*3=0,45 т.р.
Арендная плата = 10 т.р.
Затраты на коммунальные услуги = 2 т.р.
Начисленные предприятию налоги = 5,670 т.р.
Значит себестоимость
по осуществлению
Рассчитаем выручку с учетом данных задачи об интенсивности обслуживания. Если человек в час, то можем посчитать, сколько людей обслуживается одним кассиром за месяц: человек.
Теперь можем определить размер выручки: т.р.
Прибыль = 5103-36,12 =5066,88 т.р.
Б). Оптимальное количество nопт. контролеров-кассиров, при котором относительная величина затрат, связанная с издержками на содержание каналов обслуживания и с пребыванием в очереди покупателей, задаваемая, например, как Cотн. = , будет минимальна, и сравнить характеристики обслуживания при n=nmin и n=nопт. . Определить прибыль фирмы при n=nопт.
При n=3 относительная величина затрат, выражаемая как Cотн. = , будет равна Cотн= .
Рассчитаем относительную величину затрат при n=4,5,6,7 и представим их в сводной таблице.
N=4
N=5
N=6
N=7
Таблица 2 - Сравнительные характеристики СМО с числом каналов обслуживания n = 3,4,5,6,7
Характеристика |
N=3 |
N=4 |
N=5 |
N=6 |
N=7 |
Вероятность того, что канал свободен |
0,025 |
0,057 |
0,05 |
0,053 |
0,05 |
Среднее время ожидания в очереди Toch |
5,8 |
0,59 |
0,3 |
0,084 |
0,021 |
Затраты Cотн. = |
19,6 |
5,32 |
5,55 |
4,944 |
5,332 |
Минимальное выражение относительная величина затрат принимает при n=6, значит .
Из таблицы видно, что характеристики системы с шестью каналами обслуживания заметно уменьшились: вероятность того, что канал свободен, увеличилась в 2,12 раза; среднее время ожидания в очереди сократилось на 5,716 минуты; затраты на содержание каналов обслуживания и с пребыванием в очереди покупателей уменьшились в 3,964 раза. Это говорит о несомненном росте эффективности функционирования СМО при увеличении обслуживающих каналов с 3х до 6ти.
Теперь рассчитаем прибыль
для СМО с количеством
З/П. 6 кассиров*5 т.р. = 30 т.р.
Начислена амортизация основных средств:
т.р.
Материальные затраты на канцелярию 150*6=0,90 т.р.
Арендная плата = 10 т.р.
Затраты на коммунальные услуги = 2 т.р.
Начисленные предприятию налоги = 5,670 т.р.
Значит себестоимость
по осуществлению
Рассчитаем выручку с учетом данных задачи об интенсивности обслуживания. Если человек в час, то можем посчитать, сколько людей обслуживается одним кассиром за месяц: человек.
Теперь можем определить размер выручки: т.р.
Прибыль = 10206-54,57 =10151, 43 т.р.
Прибыль предприятия, не смотря на рост себестоимости, возросла в два раза.
В). Для расчета вероятности того, что в очереди окажется не более трех покупателей для СМО с количеством обслуживающих каналов n=6, будем иметь ввиду, что эта вероятность будет складываться из вероятности того, что заняты все шесть каналов обслуживания и вероятности того, что в трех из них ждут своей очереди по одному человеку.
Значит
, где каждое слагаемое найдем по формулам (1.28) – (1.29).
Итак,
0,1413+0,1932+0,1739+0,1174+0,
Таким образом, вероятность того, что в очереди окажется не более трех покупателей, равна 73,86%.
В универсаме к узлу расчета поступает поток покупателей с интенсивностью λ = 81 человек в час. Средняя продолжительность обслуживания контролером-кассиром одного покупателя об.= 2 минуты. Рабочее время 8 часов (1 час обеденный перерыв).
Воспользуемся расчетными данными задачи и создадим имитационную модель работы универсама длительностью в один день и числом касс (каналов обслуживания) n=6 (оптимальное число кассиров).
10 KASS STORAGE 6;
20 GENERATE 1.35;
30 QUEUE 1;
40 ENTER KASS;
50 ADVANCE 2;
60 DEPART 1;
70 LEAVE KASS;
80 TERMINATE 1;
Рассмотрим логику выполнения этой модели.
KASS STORAGE 6 говорит о создании памяти емкостью в шесть единиц, т.е. равной числу кассиров.
Блок GENERATE 1.35 порождает транзакты через каждый 1,35 минуты.
Блок QUEUE, в который поступают транзакты из блока GENERATE, выполняет функцию входа транзакта в очередь.
Затем транзакт занимает одну ячейку памяти, что описывается блоком ENTER.
В момент обслуживания, транзакт задерживается в очереди на 2 минуты (ADVANCE 2;).
Выходит из очереди (DEPART 1;).
Освобождает кассу (LEAVE KASS;).
Уходит из магазина (TERMINATE 1;).
Отчет программы выглядит следующим образом:
GPSS World Simulation Report - 123.25.1
Thursday, April 08, 2010 01:46:24
START TIME END TIME BLOCKS FACILITIES STORAGES
0.000 569.000 7 0 1
NAME VALUE
KASS 10000.000
LABEL LOC BLOCK TYPE ENTRY COUNT CURRENT COUNT RETRY
1 GENERATE 421 0 0
2 QUEUE 421 0 0
3 ENTER 421 0 0
4 ADVANCE 421 1 0
5 DEPART 420 0 0
6 LEAVE 420 0 0
7 TERMINATE 420 0 0
QUEUE MAX CONT. ENTRY ENTRY(0) AVE.CONT. AVE.TIME AVE.(-0) RETRY
1 2 1 421 0 1.477 1.997 1.997 0
STORAGE CAP. REM. MIN. MAX. ENTRIES AVL. AVE.C. UTIL. RETRY DELAY
KASS 6 5 0 2 421 1 1.477 0.246 0 0
FEC XN PRI BDT ASSEM CURRENT NEXT PARAMETER VALUE
422 0 569.700 422 0 1
421 0 570.350 421 4 5
Вывод: Коэффициент использования, доля времени моделирования, в течение которого устройство было занято (UTIL) равен 0,246. Из того, что 75,4% рабочего времени касса оставалась свободной, следует, что СМО «Универсам» по обслуживанию покупателей работает неэффективно. Более того, можно говорить о том, что предприятие работает себе в убыток. Необходимо сократить число кассиров.
Попробуем теперь создать имитационную модель этой же СМО, но теперь сократим число каналов обслуживания до n=3 (минимальное число кассиров по расчетам математическим методом).
Текст программы выглядит следующим образом, и, думаю, не нуждается в пояснении:
10 KASS STORAGE 3;
20 GENERATE 1.35;
30 QUEUE 1;
40 ENTER KASS;
50 ADVANCE 2;
60 DEPART 1;
70 LEAVE KASS;
80 TERMINATE 1;
Выводим отчет и получаем:
GPSS World Simulation Report - 123.19.1
Thursday, April 08, 2010 00:50:08
START TIME END TIME BLOCKS FACILITIES STORAGES
0.000 569.000 7 0 1
NAME VALUE
KASS 10000.000
LABEL LOC BLOCK TYPE ENTRY COUNT CURRENT COUNT RETRY
1 GENERATE 421 0 0
2 QUEUE 421 0 0
3 ENTER 421 0 0
4 DEPART 421 0 0
5 ADVANCE 421 1 0
6 LEAVE 420 0 0
7 TERMINATE 420 0 0
QUEUE MAX CONT. ENTRY ENTRY(0) AVE.CONT. AVE.TIME AVE.(-0) RETRY
1 1 0 421 421 0.000 0.000 0.000 0
STORAGE CAP. REM. MIN. MAX. ENTRIES AVL. AVE.C. UTIL. RETRY DELAY
KASS 3 2 0 2 421 1 1.477 0.492 0 0
FEC XN PRI BDT ASSEM CURRENT NEXT PARAMETER VALUE
422 0 569.700 422 0 1
421 0 570.350 421 5 6
Вывод: Коэффициент использования, доля времени моделирования, в течение которого устройство было занято (UTIL) равен 0,492. Из того, что 50, 8% рабочего времени касса оставалась свободной, следует, что СМО «Универсам» по обслуживанию покупателей работает неэффективно. Необходимо сократить число кассиров.
Сократив число кассиров до двух, получаем следующий отчет:
GPSS World Simulation Report - 123.26.1
Thursday, April 08, 2010 01:52:57
START TIME END TIME BLOCKS FACILITIES STORAGES
0.000 569.000 7 0 1
NAME VALUE
KASS 10000.000
LABEL LOC BLOCK TYPE ENTRY COUNT CURRENT COUNT RETRY
1 GENERATE 421 0 0
2 QUEUE 421 0 0
3 ENTER 421 0 0
4 ADVANCE 421 1 0