Определение оптимальных объемов производства технологической щепы и тарной дощечки, оптимальное распределение ресурсов сырья

Федеральное государственное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

«Марийский государственный технический университет»

Кафедра ТОЛП

Расчетно-графическая работа на тему:

«Определение оптимальных объемов производства технологической щепы и

тарной дощечки, оптимальное распределение ресурсов сырья»

                                                                                 Выполнил: ст. гр. ЛД-41

                                                                                 Проверил: д.т.н., проф.

                                                                                 Якимович С. Б.

Йошкар-Ола

2011

Содержание:

Введение

1.      Исходные данные

2.      Эвристическое решение задачи

3.      Разработка математической модели и постановка задачи оптимизации распределения ресурсов сырья

4.      Геометрическое решение поставленной задачи

5.      Эффективный выбор технологических и управленческих решений в ситуации изменения ресурсов сырья, спроса и цен

6.      Алгебраическое решение поставленной задачи

7.      Компьютерное решение поставленной задачи в математических программных средах

1. Исходные данные

Содержательное описание ситуации и формулировка задачи имеет следующий вид. На лесопромышленном складе низкокачественная древесина в виде технологических дров и отходов лесопиления (горбыли, рейки и др.) перерабатывается на технологическую щепу и тарную дощечку, которые поставляются потребителям по договорным (рыночным) ценам. Структурная схема процесса производства на складе представлена на рис.1, из которого видно, что технологическая щепа и тарная дощечка изготовляются из смеси двух видов сырья: технологических дров и отходов лесопиления.

Рис. 1.1. Структурная схема процесса производства на лесопромышленном складе.

Исходные данные к расчетно-графической работе приведем в табл.1.

Таблица 1.1

Исходные данные для постановки задачи рационального

распределения ресурсов сырья

Объем поставок (реализации) тарной дощечки не превышает 20 м3 в смену.

2. Эвристическое решение задачи

При решении задачи посредством инженерной интуиции необходимо учесть, что произвести продукцию в большом количестве, чем позволяет сырье, невозможно. Следует также не забывать, что потребитель приобретает не более 20 м3 в смену тарной дощечки.

Рассмотрим следующие случаи:

1)     Изготовим технологической щепы 15 м3 и тарной дощечки 20 м3:

для изготовления технологической щепы понадобиться технологических дров 15*1,35=20,25 м3 и отходов лесопиления 15*0,45=6,75 м3, а для тарной дощечки  понадобиться технологических дров 20*2,0=40 м3 и отходов лесопиления 20*1,0=20 м3.

Доход от реализации составит:

y=15*55+20*80=825+1600=2425 руб.

Остаток технологических дров=19,75 м3 и отходов лесопиления = 1,25 м3.

2)     Изготовим тех. щепы 50 м3 и тар. дощечки 5 м3:

для изготовления тех. щепы понадобиться тех. дров 50*1,35=67,5 м3 и отходов лесопиления 50*0,45=22,5 м3, а для тар. дощечки  понадобиться тех. дров 5*2,0=10 м3 и отходов лесопиления 5*1=5 м3.

Доход от реализации составит:

y=50*55+5*80=2750+400=3150 руб.

Остаток тех. дров = 2,5 м3 и отходов лесопиления = 0,5 м3.

Вывод: при решении задачи посредствам инженерной интуиции определили, что  для получения максимального дохода лесопромышленный склад должен производить технологической щепы 50 м3, а тарной дощечки 5 м3. При этом остатки будут равны: технологических дров=2,5 м3 и отходов лесопиления = 0,5 м3.

3. Разработка математической модели и постановка задачи оптимизации

распределения ресурсов сырья

Цель - найти объемы производства каждого из видов продукции (тарной дощечки и технологической щепы), максимизирующие доход в рублях от реализации продукции с учетом ограничений на поставки и расход технологических дров с отходами лесопиления.

Построение математической модели осуществляется в следующем порядке:

1)   обозначение переменных: а) хщ - сменный объем производства технологической щепы, м3; б) хд - сменный объем производства тарной дощечки, м3; в) у - функция цели.

2)   целевая функция разрабатывается исходя из того, что сменный доход от реализации технологической щепы равняется 55хщ, тарной дощечки - 80хд; общий доход (целевая функция) равняется сумме двух доходов: у=55хщ+80хд.

3)   построение ограничений производится на основе содержательной сущности задачи, в которой отражены:

а) ограничения на расход сырья, представленные в словесной и символьной форме:

{расход сырья для производства технологической щепы и тарной дощечки}

{максимально возможные объемы производства сырья: технологические дрова и отходы лесопиления}

1,35хщ + 2,0хд ≤ 80

0,45хщ + 1хд ≤ 28

б) ограничения на объем реализации (поставок)

(объем реализации технологической щепы)≥(объем реализации тарной дощечки), (объем реализации тарной дощечки)20 м3 в смену, т.е.

хщ ≥ хд

хд ≤ 20

в) ограничения на неотрицательность переменных управления хщ и хд, поскольку объемы производства не могут быть отрицательными:

хщ ≥ 0; хд ≥ 0.

Итак, на основании изложенного, математическая модель сформирована, и задача оптимизации ставится следующим образом: определить сменные объемы производства технологической щепы хщ и тарной дощечки хд, такие, при которых функция цели достигает максимума:

y = 55хщ+80хд => max,   (1)

и удовлетворяются ограничения:

1,35хщ + 2,0хд ≤ 80              (2)

0,45хщ + 1,0хд ≤ 28             (3)

хщ ≥ хд                                (4)

хд ≤ 20                                (5)

хщ ≥ 0                                 (6)

хд ≥ 0                                  (7)

4. Геометрическое решение поставленной задачи

Графическое представление функции цели строится на основе выражения (1) и является плоскостью Р, уходящей в бесконечность при неограниченном возрастании хщ и хд (рис. 4.1.). При наличии ограничений вида (2)-(7) возможные решения могут принадлежать лишь тем точкам плоскости Р, в которых одновременно удовлетворяются все ограничения. Совокупность этих точек определяет область допустимых решений (ОДР).

Построение этой области проводится в системе координат хщОхд.

Рис. 4.1. Графическая интерпретация функции цели (дохода)

Построенная область допустимых решений показана на рис.4.2. Здесь многоугольник АВСD является областью допустимых решений, ибо в каждой точке этой области выполняются все ограничения и любые решения в данной области допустимы. Их количество бесконечно, но среди них находится одно, которое является наилучшим, исходя из заданного критерия (дохода), т.е. оптимальным. Поиск оптимального решения производим посредством определения направления, в котором возрастает функция цели у = 55хщ + 80хд. Направление возрастания функции цели находим посредством последовательного построения линий ее уравнения (1) для заданных конкретных значений у.

Рис. 4.2.Графическая интерпретация ОДР и процедура поиска оптимального решения

Значения объемов хщ и хд в оптимальной точке В определяем решением системы уравнений, описывающих прямые (2) и (7):

1,35хщ + 2,0хд ≤ 80,

хд ≥ 0

Результат решения системы уравнений: хд = 0 м3; хщ=59,26. При таких значениях сменных объемов производства технологической щепы и тарной дощечки доход от их реализации будет равен

у=59,26*55 + 0*80 = 3259,3 руб.

5. Эффективный выбор технологических и управленческих решений в ситуации изменения ресурсов сырья, спроса и цен

5.1. Первая задача анализа на чувствительность

Эта задача отвечает на вопрос: на сколько можно сократить или увеличит сменный объем производства технологических дров и отходов лесопиления и ресурсы спроса на технологическую щепу и тарную дощечку? В свою очередь она подразделяется на две подзадачи:

А) определение предельно допустимого увеличения объема дефицитного ресурса при одновременном улучшении оптимального решения;

Б) определение предельно допустимого снижения объема недефицитного ресурса, не ухудшающего оптимального значения целевой функции.

Рис. 5.1. Графическая интерпретация анализа на чувствительность

А) Определим объем допустимого увеличения ресурса технологических дров (см. рис. 3.). Смещаем прямую (2) до пересечения прямых (3) и (7) в т. Д.

Решаем систему уравнений:

0,45хщ + 1хд = 28

хд =0

Получаем  хщ=62,22 и хд =0

Определяем максимально допустимый запас технологических дров:

1,35хщ + 2хд=1,35*62,22 + 2*0 = 84 м3. Величина допустимого увеличения тех. дров по сравнению с прошлым составляет 84 – 80 =4 м3.