Исследование заданного контура автоматической системы

МИНОБРНАУКИ РОССИИ Федеральное государственное  бюджетное образовательное учреждение  высшего  профессионального образования «Самарский  государственный технический университет»

 

Факультет автоматики и  информационных технологий

Кафедра : «Электронные системы и информационная безопасность»

 

 

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

по дисциплине:

«Техническая кибернетика».

Тема:

«Исследование заданного  контура автоматической системы».

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выполнила:

Проверил:

 

 

 

 

 

 

 

Самара 2012

 

 

Содержание

   Введение………………………………………………………………..…...3

1. Передаточные функции и дифференциальные уравнения системы….…4
2. Частотная характеристика…………………………………………….…..16
3. Логарифмические амплитудные характеристики (ЛАХ) системы….….18
4. Практическое задание…………………………………………………..…19

Список использованной литературы………………………………..……27

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

           Автоматизация – это идеология и практика использования в промышленном производстве автоматических управляющих устройств, заключается в замене умственной деятельности человека работой автоматических технических средств в отличии от механизации. 
          Механизация – замена мускульной физической силы человека работой технических устройств. 
          Теоретической базой автоматизации является техническая кибернетика, технической базой – технические средства, включая ЭВМ. 
          Создателем кибернетики по праву считают американского математика Норберта Винера (1894-1964). Со времени выхода в 50-х годах двадцатого века книги Н. Винера о кибернетике, эта область знаний (теории и практики управления) настолько бурно развивается, что само понятие “управление”, претерпевает неизбежные изменения, отражающие новые аспекты, как в теоретическом, так и в прикладном плане.  
         Поэтому сейчас под кибернетикой понимают науку об оптимальном управлении сложными динамическими системами, подразумевая и машину, и общество.

        Техническая кибернетика включает в себя теорию автоматического управления. В начале она создавалась для изучения статики и динамики процессов автоматического управления техническими объектами – производственными, энергетическими, транспортными и так далее. Основное ее значение сохранилось и в наше время, хотя в последние годы ее результатами начинают пользоваться и для изучения динамических свойств систем управления не только технического характера, но и экономического, биологического, организационного и т.д.

        Для осуществления автоматического управления техническим объектом создается система, состоящая из управляемого объекта и связанного с ним управляющего устройства. Как и всякое техническое сооружение, система должна обладать конструктивной жесткостью и динамической прочностью. Эти чисто механические термины в данном случае несколько условны. Они означают, что система должна выполнять заданные ей функции с требуемой точностью, несмотря на инерционные свойства и на неизбежные помехи. Пока объект обладает достаточной конструктивной жесткостью и динамической прочностью, потребности в автоматическом управлении (регулировании) не возникают. То есть теория автоматического управления (ТАУ) занимается вопросами описания и расчета систем управления техническими объектами на основе алгебраических, дифференциальных, интегральных уравнений и методов высшей математики.

 

 

 

 

Передаточные  функции и дифференциальные уравнения системы

 

Передаточная функция — один из способов математического описания динамической системы. Используется в основном в теории управления, связи, цифровой обработке сигналов. Представляет собой дифференциальный оператор, выражающий связь между входом и выходом линейной стационарной системы. Зная входной сигнал системы и передаточную функцию, можно восстановить выходной сигнал.

В теории управления передаточная функция непрерывной системы  представляет собой отношение преобразования Лапласа выходного сигнала к преобразованию Лапласа входного сигнала при нулевых начальных условиях.

Пусть Х_вх(р) – входной сигнал линейной стационарной системы, а Х_вых(р) – её выходной сигнал. Тогда передаточная функция W(р) такой системы записывается в виде:

 

Где Х_вх(р) и Х_вых(р) – преобразование Лапласа для сигналов х_вх(р) и х_вых(р) соответственно:

Х_вх(р)=L{х_вх(р)}=

Х_вых(р)=L{х_вых(р)}=

В общем виде передаточная функция любой системы представляет собой отношение двух полиномов.

Пусть q₁, q₂ …q_m – корни уравнения Q(p)=0 (нули передаточной функции); р₁, р₂, …р_n – корни уравнения P(p)=0 (полюса передаточной функции).

Тогда передаточную функцию системы можно записать через соответствующие корни уравнений числителя и знаменателя в виде элементарных сомножителей

Вынесем q_i и p_j за скобки и обозначим , .

В зависимости от вида корней (действительные или комплексно-сопряженные) выражение для передаточной функции можно представить состоящим из следующих элементарных звеньев

Это будут звенья с  передаточным функциями:

 

Усилительное (пропорциональное, безинерционное) звено, для которого в любой момент времени выходная величина пропорциональна входной. И в статике, и в динамике описывается уравнением:

                                                       y(t) = k u(t).                                                

Безинерционное звено  передаст сигнал без искажения по форме и сдвига во времени, но измененный по амплитуде в k раз. Реальные звенья могут быть отнесены к данному типу условно, так как всегда обладают инерционностью. Однако если переходный процесс в элементах звена протекает за время, малое по сравнению со временем переходного процесса системы в целом, то эти элементы могут считаться безинерционными. 

Динамический  параметр  k  называют коэффициентом усиления. Переходная  характеристика повторяет  ступенчатое входное воздействие 1(t), измененное (увеличенное или уменьшенное) в k раз (рис. 1):

H(t) = k

1(t) 

При k = 1 звено передает входной сигнал на выход, а при k = -1 инвертирует входной сигнал. Передаточная функция звена равна коэффициенту пропорциональности:

W(p) = k

                                                

Амплитудно-фазо-частотная  характеристика АФЧХ: W(jw) = k. АЧХ: A(w) = k.   ФЧХ: j (w) = 0.   ЛАЧХ: L(w) = 20 lg k.

Звено пропускает все частоты одинаково c увеличением амплитуды в k раз и без сдвига по фазе (рис.2).

Некоторые реальные звенья могут рассматриваться  как безинерционные с определенной точностью (жесткий механический рычаг, механический редуктор, потенциометр, широкополосный электронный усилитель  и т.п.). Многие датчики сигналов (потенциометрические, индукционные и пр.) также обычно рассматриваются как безынерционные.

 

Апериодическое  инерционное звено первого порядка описывается дифференциальным уравнением:

                                   T dy/dt + y(t) = k u(t).                                               

 Передаточная функция звена: 

                                 W(p) = k/(Tp+1)                                                 

Динамические свойства определяются значениями двух величин, k и Т. Т – постоянная времени, k – коэффициент передачи (усиления) звена. Переходная функция:

                                           H(p) = W(p) 1(p) = k/[p(Tp+1)]                               

При обратном преобразовании Лапласа функции Н(р) по формуле вычетов:

                                            H(t) = k (1-exp(-t/T)                                                

Переходный процесс  инерционного звена экспоненциальный - типичный для систем первого порядка (рис. 3). Выходная величина звена в переходном режиме со скоростью, определяемой величиной Т, следует за изменением входной величины (свойство инерционности). Сигнал на выходе звена нарастает по экспоненте, поэтому звено называют апериодическим. При t→∞ сигнал стремится к значению k.

По переходной характеристике можно определить передаточный коэффициент k, равный установившемуся значению H(t), и постоянную времени Т по точке пересечения касательной к кривой в начале координат с ее асимптотой. Касательная при t=0 равна k/T, а при t=T значение H(t) = 0.63k. Чем больше Т, тем больше длительность переходного процесса. Практически обычно принимают, что переходной процесс заканчивается при t порядка 3T, что соответствует 95% установившегося значения. Импульсная функция h(t) также имеет касательную k/T при t=0, которая пересекает линию установившегося значения 0 в точке t=Т. Характерен скачок функции в начальный момент времени, возникающий из-за наличия на входе d-функции. Так как идеального скачка быть не может, то будет наблюдаться процесс, обозначенный на рис. 3 пунктиром.

АФЧХ инерционного звена :

W(jw) = k/(Tjw +1) = k(Tjw-1) /[(Tjw+1)(Tjw-1)] =

= k [1/( T²w²+1) - jTw/( T²w²+1)] =

= k exp(-j arctg Tw /

.

Годограф описывает  полуокружность с наинизшей точкой на частоте w=1/Т, при этом фазовый сдвиг равен -p/4, a коэффициент усиления АЧХ равен 0.707k. При изменении частоты от 0 до ∞ радиус-вектор АЧХ монотонно убывает от значения k до 0. Полная АФЧХ для положительных и отрицательных частот представляет собой окружность.

ЛАЧХ инерционного звена:

L(w) = 20 lg |W(jw)| = 20 lg k – 10 lg(T²w²+1).

Чтобы упростить использование  ЛАЧХ, вводят понятие асимптотических ЛАЧХ, то есть кусочно - постоянных функций, не сильно отличающихся от истинных. Они применяются не только для инерционного звена, но и для любых более сложных передаточных функций. Переход к асимптотической ЛАЧХ выполняется в следующем порядке (Рис.5):

Выделим области низких и высоких  частот, по отдельности рассмотрим поведение ЛАЧХ в этих областях и  оценим максимальную ошибку, возникающую на границе областей.

В области низких частот   T²ω² << 1, и можно пренебречь выражением T²ω². Получаем горизонтальную прямую:  L(ω)=20lgk.

В области высоких частот  T²ω² >> 1 и значением 1 можно пренебречь. Получаем уравнение прямой с наклоном 10дб./декаду в логарифмических координатах: L(ω)=20lgk - 20lgTω.

Излом асимптотической LАЧХ имеется  на ω=1/T (сопрягающая частота), где  ошибка максимальна, не зависит от k и T, и равна примерно -3дб.:

ΔL=20lgk-20lgk+10lg(T²ω²+1)= 10lg2 ≈ - 3.03 дб.

Уровень -3 дб. принято  считать границей полосы пропускания.

ЛФЧХ асимптотически стремится  к нулю при уменьшении w до нуля (чем меньше частота, тем меньше искажения сигнала по фазе) и к значению   -p/2 при возрастании w до бесконечности. Перегиб кривой на сопрягающей частоте при j(w) = -p/4. ЛФЧХ всех апериодических звеньев имеют одинаковую форму и могут быть построены по типовой кривой с параллельным сдвигом вдоль оси частот.

Для всех звеньев первого порядка  характерен наклон ЛАЧХ 20 дБ/дек и  максимальный поворот фазы p/2.

При достаточно больших значениях  Т звено на начальном участке  может рассматриваться как интегрирующее, при малых Т - как безынерционное. Примеры апериодического звена: термопара, электродвигатель, четырехполюсник  из сопротивления и емкости или сопротивления и индуктивности.

Апериодическое  звено второго порядка. Дифференциальное уравнение звена:

T² d²y(t)/dt² + 2rT dy(t)/dt + y(t) = k u(t),

где r -  коэффициент (декремент) затухания (демпфирования). Передаточная функция: 

W(p) = k/(T²p² + 2r Tp + 1).

Корни характеристического  уравнения:

r_1,2 = (-r ±

)/T.

Звено будет апериодическим второго порядка, если корни вещественные, или колебательным, если корни комплексные.

Если r ≥ 1, то знаменатель W(p) имеет два вещественных корня и может быть разложен на два сомножителя:

T²p²+2rTp+1 = (T₁p+1)(T₂p+1),   T_1,2 = T(r ±

).

Переходная характеристика и весовая функция:

H(t) = k(1-(T₁/(T₁-T₂)) exp(-t/T₁)  + (T₂/(T₁-T₂)) exp(-t/T₂)) 1(t).

h(t) = (k/(T₁-T₂)) (exp(-t/T₁) – exp(-t/T₂)) 1(t).

Такое звено эквивалентно двум последовательно включенным апериодическим звеньям первого порядка с общим коэффициентом передачи k и постоянными времени Т₁ и Т₂. Амплитудная частотная характеристика: