Измерение отклонения от перпендикулярности осей внутренних цилиндров

Число степеней свободы вычисляем  по формуле:

k= 8-3=6-3=5,

где m- число интервалов.

Подсчитаем значение χ2(наблюдаемое) по следующей формуле:

,

где fi – наблюдаемые (эмпирические) частоты (Observed frequency),  fi´ - ожидаемые (теоретические) частоты (Expected frequency) .

Значение χ ² (критическое) берем из таблицы для значения степени свободы k=5 и уровня значимости α=0,05:

χ ²_критич=11,1

В нашем случае χ ²_набл<χ ²_критич, т.е. 11,1>4,77. Следовательно, гипотеза о нормальном распределении верна, что можно наблюдать и на гистограмме.

Проведем статистическую проверку наличия результатов с  грубыми погрешностями по критерию 3 .

Проверке подвергнем наиболее подозрительные результаты измерений:

|Vmax| <3 х:   3 х = 3·0,013 = 0,039; 

Vmax=0,031, Vmin= -0,031

Отсюда видно, что результатов  с грубыми погрешностями нет.

Рассчитаем оценку среднего квадратического отклонения результата измерения (оценки СКО среднего арифметического  значения).

Определим доверительную  границу результата измерений Δ  для разных  значений доверительной  вероятности P.  При P=0,95 коэффициент Стьюдента t=2, а при P=0,99 коэффициент Стьюдента t = 2,66.  Тогда значение Δ рассчитываем по формуле:

^,

 где t – коэффициент Стьюдента;

 Р – доверительная  вероятность.

Таким образом:

Δ = 2· 0,0017 = 0,0034 при P = 0,95;

Δ = 2,66·0,0017 = 0,0045 при  P = 0,99.

Графическая интерпретация  доверительных границ результатов измерений представлена на рисунке 2.5

 

 

 

 

а)

б)

 

Рисунок 2.5 –  Доверительные границы для результатов измерения;

а) при P = 0,95 t = 2; б) для P = 0,99 t = 2,66

 

     Значение расширенной  неопределенности определяется  следующим образом:                                   

Up(x) = k ∙ u_c(x),

где k – коэффициент охвата, при P = 0,95 k  = 2, а при P = 0,99 k = 3;

uc(x) = 0,0017 – суммарная стандартная  неопределенность.

     Таким образом:

Up(x) = 2∙ 0,0017 = 0,0034 при Р  = 0,95;

Up(x) = 3∙ 0,0017 = 0,0045 при  P = 0,99.

     Графическая интерпретация доверительных границ для расширенной неопределенности представлена на рисунке 2.6

 

а)

б)

 

Рисунок 2.6 –  Доверительные границы для расширенной неопределенности;

а) при P = 0,95 k = 2; б) для P = 0,99 k = 3

 

 

     Запишем результат  измерения A  в установленной  форме:

Q = Xср + Δ, Р,

где Δ = t σXср;

t – коэффициент Стьюдента,  зависящий от n и Р;

Р – доверительная вероятность.

      Поскольку  в серии результатов наблюдений  присутствует переменная систематическая  погрешность, точечную оценку  в виде Xср не представляем, заменяя  ее буквенной оценкой общего  вида А.

     Результаты  запишем в следующей форме:

(А ± 0,0034);  P=0,95.

(А ± 0,0045);  P=0,99.

     Записанный  результат означает, что с такой  вероятностью (P=0,95 или P=0,99)  данный  интервал накрывает истинное  значение измеряемой величины.

2.3 Анализ точечной  диаграммы второй серии измерений

В таблице 2.3 представлены результаты измерений одной и той же физической величины (массив 2).

Таблица 2.3 - Результаты измерений (читать построчно)

-0,006	0,020	-0,007	-0,015	-0,014	-0,051	-0,028	-0,013
0,024	0,020	0,010	-0,004	-0,051	-0,024	-0,017	0,030
0,018	0,081	0,017	0,032	0,087	0,018	0,034	0,006
-0,043	-0,016	-0,009	-0,007	0,046	-0,054	0,041	0,030
-0,046	0,005	-0,027	-0,007	0,044	0,016	0,071	0,110
0,130	-0,088	0,011	-0,022	0,013	0,050	0,022	0,056
-0,040	-0,002	0,064	0,027	-0,025	0,072	0,117	-0,060
0,021	0,058	0,055	0,035	0,001	0,062	0,055	0,050

 

Построим точечную диаграмму  для второй серии измерений в  соответствии с рисунком 2.7. Проводим аппроксимирующую линию, в данном случае это прямая линия.

Рисунок 2.7 – Точечная диаграмма  второй серии измерений

Из построенной диаграммы  видно, что в серии присутствует тенденция монотонного возрастания  значений, что свидетельствует о  наличии в серии прогрессирующей  систематической погрешности (тенденция  изменения отражена аппроксимирующей прямой). Отклонения результатов от аппроксимирующей линии могут рассматриваться  как случайные составляющие погрешности  измерения. Также на диаграмме видно, что результатов с грубой погрешностью нет.

В качестве первичной оценки погрешности измерений в серии  используем такой параметр, как размах неисправленных результатов многократных измерений:

R’=X_max-X_min.

Геометрически размах R’ неисправленных результатов измерений можно представлен на рисунке 2.8.

Для оценки размаха «исправленных» результатов измерений R исключают  влияние переменной систематической  составляющей погрешности. В данном случае размахи R и R’ совпадают.

Найдем числовое значение размаха:

R’=0,13-(-0,088)=0,218.

R’

Рисунок 2.8 - Размах R’ неисправленных  результатов, характеризующий рассеяние результатов относительно тенденции их изменения

 

2.4 Статистическая  обработка результатов серий  многократных измерений одной  физической величины

После аппроксимации и  проведения эквидистант на точечной диаграмме в пакете  STATISTICA, определим отклонения Vi  как расстояние от результата измерений до аппроксимирующей линии:

V_i = X_i – X_ср

Результаты представлены на рисунке 2.9

 

 

 

 

 

 

 

 

Рисунок 2.9 – Результаты отклонений Vi

 

Проверим правильность расчётов значений  отклонений по формуле:

= 0,063635

Рассчитаем оценку среднего квадратического отклонения результатов  наблюдений.

Сделаем проверку гипотезы о сходимости эмпирического  и  теоретического распределений по критериям  согласия.  Используем для этого  критерий Пирсона. Построим гистограмму  в соответствии с рисунком 2.10.

v

Рисунок 2.10 – Гистограмма и график плотности нормального распределения

 

Построим таблицу частот с помощью пакета Statistica (Таблица 2.4).

Таблица 2.4– Таблица частот

Число степеней свободы вычисляем  по формуле:

K = m – 3 = 6 – 3 = 3,

где m- число интервалов.

Подсчитаем значение χ2(наблюдаемое) по следующей формуле:

,

где fi – наблюдаемые (эмпирические) частоты (Observed frequency),  fi´ - ожидаемые (теоретические) частоты (Expected frequency) .

Значение χ ² (критическое) берем из таблицы для значения степени свободы k = 3 и уровня значимости α = 0,05:

χ ²_критич = 7,8

В нашем случае χ ²_набл<χ ²_критич, т.е. 7,8>1,89. Следовательно, гипотеза о нормальном распределении верна, что можно наблюдать и на гистограмме.

Проведем статистическую проверку наличия результатов с  грубыми погрешностями по критерию 3 .

Проверке подвергнем наиболее подозрительные результаты измерений:

|Vmax| <3 х:   3 х = 3· = 0,12; 

Vmax= 0,10, Vmin= -0,10

Отсюда видно, что результатов  с грубыми погрешностями нет.

Рассчитаем оценку среднего квадратического отклонения результата измерения (оценки СКО среднего арифметического  значения).

Определим доверительную  границу результата измерений Δ  для разных  значений доверительной  вероятности P.  При P=0,95 коэффициент Стьюдента t=2, а при P=0,99 коэффициент Стьюдента t = 2,66.  Тогда значение Δ рассчитываем по формуле:

^,

 где t – коэффициент Стьюдента;

 Р – доверительная  вероятность.

Таким образом:

Δ = 2· 0,005 = 0,01 при P = 0,95;

Δ = 2,66·0,005 = 0,013 при  P = 0,99.

Графическая интерпретация  доверительных границ результатов измерений представлена на рисунке 2.11

 

 

а) б)

 

Рисунок 2.11 – Доверительные границы для результатов измерения;

а) при P=0,95 t=2; б) для P = 0,99 t=2,66

 

     Значение расширенной  неопределенности определяется  следующим образом:                                   

Up(x) = k ∙ u_c(x),

где k – коэффициент охвата, при P = 0,95 k  = 2, а при P = 0,99 k = 3;

uc(x) = – суммарная стандартная неопределенность.

     Таким образом:

Up(x) = 2∙ 0,005 = 0,01 при Р  = 0,95;

Up(x) = 3∙ 0,005 = 0,013 при  P = 0,99.

     Графическая интерпретация доверительных границ для расширенной неопределенности представлена на рисунке 2.12

 

а) б)

 

Рисунок 2.12 – Доверительные границы для расширенной неопределенности;

а) при P = 0,95 k=2; б) для P=0,99 k=3

 

 

     Запишем результат  измерения A  в установленной  форме:

Q = X_ср + Δ, Р,

где Δ = t σX_ср;

t – коэффициент Стьюдента,  зависящий от n и Р;

Р – доверительная вероятность.

      Поскольку  в серии результатов наблюдений  присутствует переменная систематическая  погрешность, точечную оценку  в виде X_ср не представляем, заменяя ее буквенной оценкой общего вида А.

     Результаты  запишем в следующей форме:

(А ± 0,01);  P=0,95.

(А ± 0,013);  P=0,99.

     Записанный  результат означает, что с такой  вероятностью (P=0,95 или P=0,99)  данный  интервал накрывает истинное  значение измеряемой величины.

2.5 Сравнительный  анализ массивов

Сравнить сходимость двух диаграмм можно по следующим оценкам: размахам неисправленных результатов  измерений, размахам исправленных результатов  измерений, дисперсиям неисправленных результатов наблюдений, с дисперсиями  исправленных результатов наблюдений.

Размах неисправленных результатов 1 серии измерений R’₁=0,066, исправленных - R₁=0,066. Размах неисправленных результатов 2 серии измерений R’₂=0,218, исправленных - R₂=0,218. Сравним:

R’₁ < R’₂

R₁ < R₂

Размахи исправленных и неисправленных результатов наблюдений первой серии  измерений меньше чем размахи  исправленных и неисправленных результатов  наблюдений второй серии измерений. Можно сделать вывод, что сходимость первой серии измерений лучше, чем  второй.

Дисперсии неисправленных результатов  наблюдений первой и второй серии:

А  дисперсии исправленных результатов наблюдений, соответственно:

Сравним значения дисперсий:

   

Дисперсии исправленных и  неисправленных результатов наблюдений первой серии измерений меньше чем  дисперсии исправленных и неисправленных результатов наблюдений второй серии  измерений. Следовательно, сходимость первой серии измерений лучше, чем  второй.

 Сравним воспроизводимость  диаграмм, используя простейшую  модель уравновешенной одноэтапной  гнездовой структуры. Имеется  J=2  групп прямых многократных  наблюдений величины Y по К=62 наблюдений  в каждой группе.    Определим  среднее арифметическое каждой  группы наблюдений по формуле: