Анализ данных житлового фонду України у 1990-2009 роках

 

Отже, між  факторами 

3 та 5, 3 та 6,

5 та 6, 6 та 8

 

присутнє  явище мультиколінеарності.

 

12. Оцінка наявності гетероскедастичності за допомогою теста Гольдфельда-Квандта

 

Одним із основних припущень моделі класичної лінійної регресії є припущення про сталість дисперсії випадкової величини :

 

.

 

Якщо це припущення не задовольняється  в деякому окремому випадку, тобто 

 

,

 

то кажуть, що має місце явище гетероскедастичності.

Суть припущення гетероскедастичності полягає в тому, що дисперсія випадкової величини навколо її математичного сподівання є величиною сталою і не залежить від значення .

 

 

Цей тест застосовується до великих  вибірок, для яких спостережень має  бути хоча б удвічі більше, ніж оцінюваних параметрів.

Тест припускає нормальний розподіл та незалежність випадкової величини   .

Для застосування тесту сформулюємо  нульову та альтернативну гіпотези:

 – полягає в тому, що  є гомоскедастичною.

 – полягає в тому, що  є гетероскедастична величина зі зростаючою дисперсією.

 

Тест складається з декількох  етапів:

І етап:

Ранжуємо спостереження незалежної змінної в порядку зростання. У разі багатофакторної регресії, коли ми маємо більше ніж одну незалежну змінну, обираємо одну з них і для неї проводимо ранжування.

Якщо важко апріорі визначити  змінну для ранжування, то по черзі проводимо ранжування за кожною змінною і в кожному випадку застосовуємо тест Гольдфельда-Квандта.

 

ІІ  етап:

Задаємо величину – кількість центральних спостережень за незалежною змінною , які ми будемо виключати з подальшого аналізу (для вибірки з кількістю спостережень оптимальна кількість центральних спостережень, що не враховуються в тесті становить всіх спостережень):

 

.

 

Залишок спостережень ділиться на 2 рівні підвибірки однакового розміру , одна з яких включає малі значення , інша – великі.

 

	y	x2
1995	978,3	19,2
1996	995,2	19,7
1997	1 002,6	20,0
1998	1 008,4	20,2
2000	1 015,0	20,7
2005	1 046,4	22,0
2006	1 049,2	22,2
2007	1 057,6	22,5
2008	1 066,6	22,8
2009	1 072,2	23,0

 

	y	x7
1995	978,3	1 781
1996	995,2	1 812
1997	1 002,6	1 850
1998	1 008,4	1 878
2000	1 015,0	1 899
2005	1 046,4	1 967
2006	1 049,2	1 987
2007	1 057,6	2 006
2008	1 066,6	2 025
2009	1 072,2	2 039

 

	y	x8
2009	1072,2	1174
2008	1066,6	1216
2007	1057,6	1252
2006	1049,2	1300
2005	1046,4	1323
2000	1015	1765
1998	1008,4	2029
1997	1002,6	2164
1996	995,2	2297
1995	978,3	2411

 

ІІІ етап:

Будуємо окремо регресію для кожної підвибірки і розраховуємо суму квадратів  залишків. В результаті отримаємо:

- сума квадратів залишків  для підвибірки з малими значеннями  ;

- сума квадратів залишків  для підвибірки з великими  значеннями  .

 

1. для підвибірки з малими значеннями x₂:

тоді регресія має вигляд:   ŷ = 506,32 + 24,73∙x₂

звідси 

 

2. для підвибірки з великими значеннями x₂:

тоді регресія має вигляд:    ŷ = 458,84 + 26,65∙x₂

звідси 

 

3. для підвибірки з малими значеннями x₇:

тоді регресія має вигляд:   ŷ = 469, 95 + 0,29∙x₇

звідси 

 

4. для підвибірки з великими значеннями x₇:

тоді регресія має вигляд:    ŷ = 302,26 + 0,38∙x₇

звідси 

 

 

5. для підвибірки з малими значеннями x₈:

тоді регресія має вигляд:   ŷ = 1 285,27 – 0,18∙x₈

звідси 

 

6. для підвибірки з великими значеннями x₈:

тоді регресія має вигляд:    ŷ = 1 111,34 – 0,05∙x₈

звідси 

 

IV етап:

Кількість ступеней вільності для сум квадратів залишків: , де – кількість параметрів оцінюваної моделі.

Якщо кожну з цих сум поділити на кількість ступеней вільності, то отримаємо оцінки дисперсії величини у двох підвибірках.

 

Обчислюємо значення відношення двох дисперсій:

 

 

Ця величина має розподіл Фішера з ступенями  вільності  та :

 

.

1)

2)

3)

 

V етап:

Якщо  , то дві дисперсії рівні і вони є гомоскедастичними.

Якщо ж дисперсії відрізняються, то , так як

 

 

і в цьому випадку  порівнюється з теоретичним значенням

• при α = 0,05
• при α = 0,01

 

Якщо  , то в системі присутня гетероскедастичність. Чим більша ця різниця, тим більша гетероскедастичність.

 

F = 0,13 <	F = 0,13 <
F = 0,39 <	F = 0,39 <
F = 25,03 >	F = 25,03 <

 

 

4. Висновки

 

І)

Проста лінійна регресійна модель залежності кількості сімей та одинаків, які одержали житло протягом року (тис.) від загальної площі всього житлового фонду (млн. м²) має вигляд:

 ŷ = 1 051,21 – 0,65х 

 

На рівні значущості α = 0,05 отримана регресійна модель:

1. Є адекватною;
2. Коефіцієнт b₀ є значимим;
3. Коефіцієнт b₁ є значимим;
4. Інтервали довіри для β₀ та β₁ відповідно мають вид:

1 039,62 < β₀ < 1 062,8

–0,77< β₁ < –0,53

5. Інтервали довіри для прогнозованих значень відповідно мають вид:

971,54  < y_n+1 < 1043,8

1 009,15 < y_n+2 < 1 082,87

 

На рівні значущості α = 0,01 отримана регресійна модель:

1. Є адекватною;
2. Коефіцієнт b₀ є значимим;
3. Коефіцієнт b₁ є значимим;
4. Інтервали довіри для β₀ та β₁ відповідно мають вид:

1 035,34 < β₀ < 1 067,08

–0,82 < β₁ < –0,48

5. Інтервали довіри для прогнозованих значень відповідно мають вид:

958,18  < y_n+1 < 1 057,15

995,52 < y_n+2 < 1 096,5

 

ІІ)

Багатофакторна лінійна регресивна модель залежності кількості загальної площі всього житлового фонду (млн. м²) від:

• у середньому на одного жителя, м²;
• кількості чотири- і більше кімнатних квартир, усього, тис.;
• кількість сімей та одинаків, які перебували на квартирному обліку на кінець року, тис.;

має вигляд:

 

 

Отримана  регресійна модель є адекватною на рівні значущості α = 0,01 та α = 0,05.

 

1. Вплив множинного коефіцієнту кореляції для наших початкових даних є значним. Знайдені дані точно відповідають фактичним.
2. Коефіцієнти b₀ та b₁ є значимими, а коефіцієнти b₂ та b₃ не є значимим на рівні значущості α = 0,01 та α = 0,05.
3. Інтервали довіри для коефіцієнтів мають вигляд:

 

165,65 < β0 < 572,88	226,30 < β0 < 512,50
6,16 < β1 < 28,64	9,49 < β1 < 25,31
-0,02 < β2 < 0,30	0,03 < β2 < 0,25
-0,01 < β3 < 0,03	-0,003 < β3 < 0,02

 

4. Інтервал довіри для прогнозованого значення y_n+k має вигляд:

1 086,44 < yn+k < 1 109,29	1 089,83 < yn+k < 1 105,9

 

Інтервал довіри для математичного  сподівання прогнозованого значення має вигляд:

1 087,85 < М(yn+k ) < 1 107,88	1 090,82 < М(yn+k ) < 1 104,91

 

На рівні  значущості α = 0,05 між факторами

2 та 8, 3 та 4, 3 та 5, 3 та 6,

3 та 7, 3 та 8, 4 та 6, 4 та 7,

5 та 6, 5 та 7, 5 та 8, 6 та 7, 6 та 8