Использование индексного метода в статистике

 

1.2.1  Индексы количественных показателей

 

К индексам количественных (объемных) показателей относятся такие индексы, как индексы физического объема производства продукции, затрат на выпуск продукции, стоимости продукции, а также индексы показателей, размеры которых определяются абсолютными величинами. Используются различные виды индексов количественных показателей.

Индекс физического объема продукции (ФОП) отражает изменение выпуска продукции.

Индивидуальный индекс ФОП отражает изменение выпуска продукции одного вида и определяется по формуле:

 

                                                                                                 (1.1)

 

где q1 и q0 - количество продукции данного вида в натуральном выражении в текущем и базисном периодах.

Агрегатный индекс ФОП (предложен Э. Ласпейресом) отражает изменение выпуска всей совокупности продукции, где индексируемой величиной является количество продукции (q), а соизмерителем - цена р:

 

                                                                                            (1.2)

 

где q1 и q0 - количество выработанных единиц отдельных видов продукции соответственно в отчетном и базисном периодах;

p0 - цена единицы продукции (отдельного вида) в базисном периоде.

При вычислении индекса ФОП в качестве соизмерителей может выступать также себестоимость продукции или трудоемкость.

Средние взвешенные индексы ФОП используются в том случае, если известны индивидуальные индексы объема по отдельным видам продукции и стоимость отдельных видов продукции (или затраты) в базисном или отчетном периоде.

Средний взвешенный арифметический индекс ФОП определяется по формуле:

 

                                                                                          (1.3)

где iq - индивидуальный индекс по каждому виду продукции;

q0 p0 - стоимость продукции каждого вида в базисном периоде.

Средний взвешенный гармонический индекс ФОП:

 

                                                                                          (1.4)

 

где q1 p1 - стоимость продукции каждого вида в текущем периоде.

Аналогично рассчитывается индекс затрат на выпуск продукции (ЗВП), который отражает изменение затрат на производство и может быть как индивидуальным, так и агрегатным.

Индивидуальный индекс ЗВП отражает изменение затрат на производство одного вида и определяется по формуле:

 

                                                                                          (1.5)

 

где z1 и z0 - себестоимость единицы продукции искомого вида в текущем и базисном периодах;

q1z1 и q0z0 - суммы затрат на выпуск продукции искомого вида в текущем и базисном периодах.

Агрегатный индекс ЗВП характеризует изменение общей суммы затрат на выпуск продукции за счет изменения количества выработанной продукции и ее себестоимости и определяется по формуле:

 

                                                                                      (1.6)

где q1z1 и q0z0 - затраты на выпуск продукции каждого вида соответственно в отчетном и базисном периодах.

Рассмотрим построение индекса стоимости продукции (СП), который может определяться и как индивидуальный, и как агрегатный.

Индивидуальный индекс СП характеризует изменение стоимости продукции данного вида и имеет вид:

 

                                                                                            (1.7)

 

где p1 и p0 - цена единицы продукции данного вида в текущем и базисном периодах;

q1p1 и q0p0 - стоимость продукции данного вида в текущем и базисном периодах.

Агрегатный индекс СП (товарооборота) характеризует изменение общей стоимости продукции за счет изменения количества продукции и цен и определяется по формуле:

 

                                                                                  (1.8)

 

где p1 и p0 - цена единицы продукции данного вида в текущем и базисном периодах;

q1p1 и q0p0 - стоимость продукции данного вида в текущем и базисном периодах.

 

 

 

 

2. Индексы качественных показателей. Факторный анализ

 

Качественные показатели определяют уровень исследуемого итогового показателя и определяются путем соотношения итогового показателя и определенного количественного показателя (например, средняя заработная плата определяется путем соотношения фонда заработной платы и количества работников). К индексам качественных показателей относятся индексы цен, себестоимости, средней заработной платы, производительности труда.

Самым распространенным индексом в этой группе является индекс цен.

Индивидуальный индекс цен характеризует изменение цен по одному виду продукции и определяется по формуле:

 

                                                                                           (1.9)

 

где p1 и p0 - цена за единицу продукции в текущем и базисном периодах.

Соответственно определяются индексы себестоимости и затрат рабочего времени по каждому виду продукции.

Агрегатный индекс цен определяет среднее изменение цены (р) по совокупности определенных видов продукции (q).

Для характеристики среднего изменения цен на потребительские товары используют индекс цен, предложенный Э. Ласпейресом (индекс Ласпейреса):

 

                                                                                    (1.10)

где q0 - потребительская корзина (базовый период);

p0 и p1 - соответственно цены базисного и отчетного периодов.

Если количество набора продуктов принимается на уровне отчетного периода (q1), то в этом случае индекс цен именуется индексом Пааше:

 

                                                                               (1.11)

 

где q1 - потребительская корзина (отчетный период);

p0 и p1 - соответственно цены базисного и отчетного периодов.

Если известны индивидуальные индексы цен по отдельным видам продукции и стоимость отдельных видов продукции, то применяются средние взвешенные индексы цен (средний взвешенный арифметический и средний взвешенный гармонический индексы цен).

Формула среднего взвешенного арифметического индекса цен:

 

                                                                                (1.12)

 

где i - индивидуальный индекс по каждому виду продукции;

 p0 q0 - стоимость продукции каждого вида в базисном периоде.

Формула среднего взвешенного гармонического индекса цен:

 

                                                                                        (1.13)

 

где p1 q1 - стоимость продукции каждого вида в текущем периоде.

В статистической практике очень широко используется агрегатный территориальный индекс цен, который может быть рассчитан по следующей формуле:

 

                                                                                 (1.14)

 

где pA pB - цена за единицу продукции каждого вида соответственно на территории А и В;

qA - количество выработанной или реализованной продукции каждого вида по территории А (в натуральном выражении).

Из формулы видно, что в данном индексе в качестве фиксированного показателя (веса) принят объем продукции территории А. При расчете данного индекса в качестве веса можно принять также объем продукции территории В или суммарный объем продукции двух территорий.

Возможны два способа расчета индексов: цепной и базисный.

Цепные индексы получают путем сопоставления текущих уровней с предшествующим, при этом база сравнения постоянно меняется.

Базисные индексы получают путем сопоставления с тем уровнем периода, который был принят за базу сравнения.

Цепные индивидуальные индексы цен имеют следующий ряд расчета:

 

                               ,                            (1.15)

 

где q0 – цена за единицу продукции за базовый период;

q1, q2, q3 – цена за единицу продукции за отчетные периоды.

Базисные индивидуальные индексы цен:

 

                                 ,                          (1.16)

 

где q0 – цена за единицу продукции за базовый период;

q1, q2, q3 – цена за единицу продукции за отчетные периоды.

Между индексами существует также взаимосвязь и взаимозависимость, как и между самими экономическими явлениями, что позволяет проводить факторный анализ. Благодаря индексному методу можно рассматривать все факторы независимо друг от друга, что дает возможность определить размер абсолютного изменения сложного явления за счет каждого фактора в отдельности.

Предположим, что результативный признак зависит от трех факторов и более. В этом случае результативный индекс примет вид:

 

                                          ,                                         (1.17)

 

где a1,b1,c1…n1 – факторы зависимости за отчетный период;

a0,b0,c0…n0 – факторы зависимости за базовый период.

Изменение результативного индекса за счет каждого фактора может быть выражено следующим образом:

 

                                                      (1.18)

 

где a1,b1,c1…n1 – факторы зависимости за отчетный период;

a0,b0,c0…n0 – факторы зависимости за базовый период.

Для выявления роли каждого фактора в отдельности индекс сложного показателя разлагают на частные (факторные) индексы, которые характеризуют роль каждого фактора.

 

3.   Индекс как показатель центральной тенденции (индекс средний из индивидуальных)

 

Мы можем  услышать, что уровень потребительских цен понизился или повысился. Речь в этом случае идет об индексе цен на потребительские товары. Общее изменение образуется под влиянием изменений цен на отдельные товары. Таким образом, мы имеем ряд отношений:

и т.д.

Эти отношения есть не что иное, как индивидуальные индексы, и сводный индекс представляет собой средний из них:

 

,                                                                                         (1.19)

 

где р1,р0 – цена за единицу продукции отчетный и базовый период соответственно;

 j - номер товара.

Так как средняя есть показатель центра распределения, то и сводный индекс можно назвать показателем центральной тенденции. Проблема состоит в том, как получить этот сводный индекс. Впервые она возникла при попытке оценить совокупное изменение цен, либо в виде отношения сумм цен, либо как среднее из изменений цен на отдельные товары.

В том и другом варианте представлены не взвешенные средние. Первый вариант исходит из того, что цена рассчитывается за единицу товара, например за 1кг, и сумма цен может рассматриваться как набор слагаемых с равными весами. Однако, этот вариант не отвечает задаче осреднения показателей изменений цен на отдельные товары. Второй 'вариант настораживает тем, что согласно общему правилу средняя из относительных величин должна вычисляться как средняя взвешенная. Действительно, если говорить конкретно об измерении динамики цен на все продовольственные или непродовольственные товары, то ясно, что если цены на ювелирные изделия из золота удвоятся, а цены на хлеб останутся неизменными, это не значит, что в целом цены выросли на 50% ((2+ 1)/2 = 1,5). Приведенный пример показывает, что индекс цен для каждого товара должен сопровождаться неким «весом», который позволяет оценить относительную значимость этого индекса для потребителя. В качестве веса используют удельный вес в общей стоимости покупок: в базисном периоде:

 

                                                ,                                (1.20)

 

где q0 р0 – стоимость продукции данного вида в базисном периоде;

р0 – цена за единицу продукции за базисный период;

j - номер товара.

Если обозначить удельный вес отдельных затрат то получим общий индекс цен как средний арифметический взвешенный из индивидуальных индексов цен:

 

                                                          (1.21)

 

где ip – индивидуальный индекс потребительских цен;

d0 – удельный вес;

q0 р0 – стоимость продукции данного вида в базисном периоде;

j - номер товара.

Используя формулу (1.21) можно получить общее изменение цен на продукты по данным табл. 1.1.

Часто можно встретить утверждение, что чем сильнее варьируют веса средней, тем значительнее отличие не взвешенной средней от взвешенной. Покажем ошибочность этого утверждения применительно к индексу среднему из индивидуальных. Рассмотрим два примера А и Б.

А. Равенство взвешенной и простой средних при сильной вариации весов.

В табл. (1.1) представлены данные примера А.

Таблица 1.1 – Данные примера А

№ товара	Цены		Индекс ip	Доля в базисной выручке d0	ip×d0	Вариация долей
	Р0	Р1				(dj0 – d0)	(dj0–d0)^2
1	10	11	1,1	0,40	0,44	0,20	0,0400
2	15	30	2,0	0,25	0,50	0,05	0,0025
3	20	28	1,4	0,15	0,21	-0,05	0,0025
4	25	40	1,6	0,10	0,16	-0,10	0,0100
5	30	27	0,9	0,10	0,09	-0,10	0,0100
Итого	X	X	1,4	1,00	0,40	0	0,0650