Контрольная работа по "Статистике"

Для нахождения медианы  по интервальному ряду распределения  в начале определяем медианный интервал. Им будет первый сверху интервал, в котором накопленная частота больше или равна половине объема совокупности. В нашем случае половина объема совокупности n/2=50/2=25. Первый с верху интервал, в котором накопленная частота больше чем 25 – это интервал от 34 до 39,5 (в нем накопленная частота равна 26), поэтому этот интервал является медианным.

Далее величина медианы  вычисляется по формуле

где – нижняя граница медианного интервала;

- размер медианного интервала;

- частота медианного интервала;

- накопленная частота интервала,  предществующего медианному.

 

 

3. Определение показателей вариации

 

Вариация – различие индивидуальных значений признака внутри изучаемой совокупности.

Для характеристики изменчивости отдельных  значений признака в статистике используют абсолютные и относительные показатели вариации. 

 

Абсолютные показатели вариации:

Размах

Среднее линейное отклонение

 

 

Дисперсия

 

Среднее квадратическое отклонение

 

Относительные показатели вариации:

 

Коэффициент осцилляции

 

 

Относительное линейное отклонение

 

Коэффициент вариации

Поскольку коэффициент  вариации меньше 33%, то совокупность по изучаемому признаку является однородной.

 

4. Определение показателей формы распределения

 

Показатель  асимметрии

На основе показателя асимметрии могут быть сделаны следующие  выводы.

Если As < 0, то асимметрия левосторонняя, а если As < 0 – то правосторонняя.

Если |As|<0.25, то асимметрия незначительная (несущественная), т.е. распределение может быть признано симметричным.

Если |As|>0.5, то асимметрия значительная (существенная), т.е. распределение не может быть признано симметричным.

В нашем случае асимметрия правосторонняя, незначительная и не существенная.

 

Показатель  эксцесса (островершинности)

,

где μ₄ – центральный момент 4-го порядка

 

Поскольку Ех <0, то распределение плосковершинное.

 

5. Проверка соответствия эмпирического распределения нормальному закону

 

Теоретические частоты  для нормального распределения  вычисляются по формуле

 

Таблица 2

Вычисление теоретических  частот

№ Инт.	Середина интервала
1	1.5	-1.01556	0.3621995	4.700
2	4.5	-0.29986	0.7409070	9.620
3	7.5	-0.00764	0.9923890	11.880
4	10.5	-0.13893	0.8702889	11.297
5	13.5	-0.69371	0.4997186	6.487
6	16.5	-1.67198	0.1878747	2.439

 

№ Инт.	Середина интервала
1	25,75	-1,2182421	0,295787	3,806
2	31,25	-0,4194494	0,6574373	8,459
3	36,75	-0,0366945	0,9639742	12,402
4	42,25	-0,0699776	0,9324215	11,997
5	47,75	-0,5192985	0,5949698	7,655
6	53,25	-1,3846572	0,2504456	3,222

 

 

По результатам вычислений строим график (рис. 5).

 

 

Рис. 5. Эмпирическое и  теоретическое распределения

 

Для проверки соответствия эмпирического и теоретического распределений будем использовать критерий согласия Пирсона («хи-квадрат»)

.

Применение критерия Пирсона требует выполнения следующих  условий:

1)  число наблюдений должно быть достаточно большим (n≥50). Данное условие в нашем случае выполняется;

2) теоретические частоты  в интервалах должны быть больше 5. Это условие в нашем случае не выполняется для первого и последнего интервала. Поэтому прежде чем вычислять критерий Пирсона произведем объединение интервалов – первого и второго, последнего и предпоследнего. Таким образом из 6 интервалов, которые у нас были в начале, останутся 4.

 

Таблица 3

Расчет критерия Пирсона

№ Инт.	fi
1			0.034
2
3	11	11.880	0.280
4	12	11.297	0.043
5			1.080
6
χ2=			1.437

 

Применение критерия согласия Пирсона требует использования  специальных таблиц. Что бы избежать этого, вычислим на основе критерия Пирсона критерий Романовского

,

где γ=m^*-l-1 – число степеней свободы;

m^* - число интервалов после объединения (в нашем случае m^* =4);

l – число параметров распределения (для нормального распределения l=2).

γ=4-2-1=1;

.

В соответствии с критерием  Романовского, если С<3, то эмпирическое распределение соответствует теоретическому.

В нашем случае С=0,309 < 3, следовательно эмпирическое распределение соответствует нормальному закону (закону Гаусса).

 

 

Задание 2.

 

Ряд динамики (временной ряд) – значения статистического показателя расположенные в хронологическом порядке. Временной ряд состоит из двух строк (колонок). В первой указываются периоды или моменты времени, а во второй – значения показателя, приходящиеся на эти периоды или моменты. Показатели второй строки (колонки) называются уровнями ряда динамики.

Возьмем первые 4 значения из первой строки исходных данных и  расположим их в хронологическом порядке, как это показано в табл. 4.

 

Таблица 4

Временной ряд

Период времени, t	1	2	3	4
Показатель, y	11	9	2	8

 

Для анализа временных  рядов используются специальные  показатели, которые называются показателями динамики. Существует два способа  расчета таких показателей: базисный и цепной. При определении базисных показателей текущий уровень ряда динамики y_i сравнивается с базисным уровнем y₀. Если иное не указано, то в качестве базы принимается первый уровень ряда (в нашем случае это значении 11). При вычислении цепных показателей текущий уровень ряда y_i сравнивается с предыдущим y_i-1.

 

1. Абсолютные приросты

а) базисные

;

;

;

б) цепные

;

;

.

 

2. Коэффициенты роста

а) базисные

;

;

;

 

б) цепные

;

;

.

3. Темпы роста

а) базисные

;

;

;

 

б) цепные 

;

;

.

 

4. Темпы прироста

а) базисные

;

;

;

 

б) цепные

;

;

.

 

5. Абсолютное значение одного процента прироста

;

;

;

.

 

6. Средний уровень интервального ряда динамики, состоящего из абсолютных величин, определяется по формуле средней арифметической

,

где k – число уровней ряда динамики.

 

7. Средний абсолютный  прирост

.

 

8. Средний коэффициент  роста

.

 

9. Средний темп роста

.

 

10. Средний  темп прироста 

.

 

 

Задание 3.

 

1. Определение  пределов, в которых находится  генеральная средняя

 

Генеральная средняя  находится в интервале от ( ) до ( ). Где - выборочная средняя (берется из первого задания, в нашем случае =8.07), - предельная ошибка средней:

,

где n – объем выборки (в нашем случае n=50 – из первого задания);

- выборочная дисперсия (в нашем  случае  =21.5 – из первого задания);

N – объем генеральной совокупности. По условию задания , откуда и N=500;

t – коэффициент доверия, он определяется по специальной таблице в зависимости от доверительной вероятности:

Доверительная вероятность	t
0.954	2
0.997	3

 

.

Таким образом, генеральная  средняя с доверительной вероятностью 0.954 находится в интервале:

от (8.07-1.237) до (8.07+1.237)

или

от 6.833 до 9.307.

 

2. Определение пределов, в которых находится генеральная доля

 

Нижняя граница 5-го интервала равна 12 (см. 1-ое задание). Доля единиц выборочной совокупности, имеющих значение признака равное или большее 12 равна:

.

 

Генеральная доля находится  в интервале от ( ) до ( ). Где - предельная ошибка доли:

.

Таким образом, генеральная  доля с вероятностью 0.997 будет находиться в интервале