Методы выявления основной тенденции динамического ряда

,

где - количество дней между смежными датами;

Несколько иначе рассчитывается средний уровень для моментных рядов. Для моментного равно отстающего ряда используется формула средней хронологической:

.

Данная формула используется, например, для расчета среднегодовой стоимости основных фондов, товарных запасов и др.

Для моментного ряда динамики с неравно отстающими во времени уровнями используется формула средней хронологической взвешенной:

Средний абсолютный прирост (изменение) уровней рассчитывается как средняя арифметическая простая из отдельных цепных приростов, т.е.

для цепного

 

 

для базисного                         

где n- количество уровней ряда; - самое последнее значение уровня ряда; - самое первое значение;

Особое значение в анализе рядов динамики придаётся расчёту средних темпов (коэффициентов) роста.

Средний темп роста является обобщающей характеристикой динамики и отражает интенсивность изменения уровней ряда. Он показывает, сколько в среднем процентов последующий уровень составляет от предыдущего на всём периоде наблюдения[4, с. 227]. Наиболее часто средний темп роста рассчитывается как средняя геометрическая из цепных темпов роста, т.е. рассчитанных в каждый период по отношению к предыдущему.

Или рассчитывается через соответствующие уровни ряда:

 

2. Анализ динамических рядов с помощью трендовых моделей

 

1. Компоненты динамических рядов

 

В практике исследования динамики явлений и прогнозирования принято считать, что значения уровней динамических рядов могут содержать следующие компоненты (составные части или структурообразующие элементы): тренд, сезонную компоненту, циклическую компоненту, случайную составляющую.

Под трендом понимают изменение, определяющее общее направление развития, основную тенденцию временного ряда. Это систематическая составляющая долговременного действия[4, с. 231].

Наряду с долговременными тенденциями во временных рядах часто имеют место более или менее регулярные колебания – периодические составляющие рядов динамики. Если период колебаний не превышает одного года, то их называют сезонными.

Сезонные колебания (сезонная неравномерность) чаше всего происходят в добывающих и перерабатывающих отраслях - сельском хозяйстве, рыбной и лесной промышленности, а так же на транспорте, в строительстве, торговле, туризме и т.д.

Погодные изменения влияют на бытовое потребление топлива и электроэнергии, на ассортимент обуви, верхней одежды (зимняя, весенне-осенняя, летняя), фруктов, овощей и многих других товаров. В строительстве наибольшее оживление деятельности проявляется летом; в этот же период года наблюдается максимальный наплыв туристов. Сезонность может проявляться не только к месячным, но и к дневным, недельным данным. Так, кафе, рестораны, театры испытывают подъем спроса к концу недели.

Сезонность проявляется в полном или почти полном прекращении производства на какой-то промежуток времени, обусловленный самой природой продукта и способом его приготовления.

Иногда причины сезонных колебаний имеют социальный характер: увеличение закупок в предпраздничный период, увеличение платежей в конце квартала и т.д.

Влияние сезонных колебаний полностью устранить невозможно, но некоторые предприятия пытаются его снизить, принимая меры рационального сочетания отраслей, механизации трудоемких процессов и т.д. Вот по этой причине сезонные колебания, отраженные в рядах динамики, необходимо изучать и измерять.

Разрабатываются приемы количественного измерения анализа сезонности. По своему существу все методы анализа сезонности делятся на две группы. К первой группе относятся методы, с помощью которых определяется и измеряется сезонность непосредственно из эмпирических данных, без особой предварительной их обработки, - метод простой средней, метод относительных чисел У. Персона. Суть методов второй группы заключается в предварительном определении и исключении общей тенденции развития и в последующем исчислении и количественном измерении сезонных колебаний. К методам анализам сезонности данной группы можно отнести метод аналитического выравнивания и метод скользящей (подвижной) средней.

Метод простой средней применяется для анализа сезонности явлений, уровни которых не имеют резко выраженной тенденции увеличения или уменьшения. Сущность этого метода заключается в определении сезонной волны или индекса сезонности. Способы определения индексов сезонности различны, они зависят прежде всего от характера общей тенденции ряда динамики.

Индексы сезонности - процентные отношения фактических (эмпирических) внутригрупповых уровней к теоретическим расчетным уровням, выступающим в качестве базы сравнения. Их вычисляют по данным за несколько лет (не менее трех лет), распределенным по месяцам или кварталам.

Для каждого месяца рассчитываются средняя величина уровня, а затем - среднемесячный уровень для всего ряда (в %):

,

где - осредненные эмпирические уровни ряда по одноименным периодам (месяцам или кварталам);

 или - общий средний уровень ряда.

Для наглядного представления сезонной волны индексы сезонности изображаются в виде графиков. Применение метода простой средне для расчета сезонной волны дает возможность нейтрализовать случайные колебания показателей исследуемого ряда динамики и определить сезонные колебания в среднем за весь период. Если в ряду внутригодовой динамики имеется ярко выраженная общая тенденция к росту или снижению, то индексы сезонности определяются на основе метода аналитического выравнивания, который позволяет исключить влияние тенденции роста.

Анализ сезонности методом Персона применяется для рядов динамики, отражающих развитие явлений, общая тенденция которых изменяется по средней геометрической, то есть по сложным процентам. Суть метода заключается в исчислении показателей средней сезонной волны как медианных значений из цепных отношений. Здесь погрешность устраняется с помощью коэффициента подъема или снижения общей тенденции по средней геометрической.

При большем периоде колебания считают, что во временных рядах имеет место циклическая составляющая. Примерами могут служить циклы деловой активности, исследованные Н.Д. Кондратьевым, демографические, инвестиционные и другие циклы.

Временной ряд может быть представлен в виде суммы соответствующих компонент – аддитивная модель (1), в виде произведения – мультипликативная модель (2), в виде и суммы, и произведения – модель смешанного типа (3)[4, с.232].

,    (1)

,    (2)

,    (3)

где - уровни временного ряда;

- трендовая составляющая;

- сезонная компонента;

- циклическая составляющая;

- случайная компонента.

Выбор одной из моделей основан на анализе структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний приблизительно постоянна, то строят аддитивную модель. Если амплитуда колебаний будет увеличиваться или уменьшаться – мультипликативной.

В процессе формирования значений уровней каждого временного ряда не обязательно должны участвовать одновременно все компоненты. В изменении значений одного показателя может отсутствовать трендовая компонента, другого – периодические составляющие, динамика третьего показателя может описываться лишь случайной компонентой. Однако во всех случаях предполагается наличие случайной, нерегулярной компоненты.

 

2. Методы анализа основной тенденции (тренда) в рядах динамики

 

Одна из важнейших задач статистики - определение в рядах динамики общей тенденции развития. Основной тенденцией развития называется плавное и устойчивое изменение уровня во времени, свободное от случайных колебаний. Задача состоит в выявлении общей тенденции в изменении уровней ряда, освобожденной от действия различных факторов.

Изучение тренда включает два основных этапа:

• ряд динамики проверяется на наличие тренда;
• производится выравнивание временного ряда и непосредственно выделение тренда с экстраполяцией полученных результатов.

Существует несколько методов обработки рядов, помогающих выявить основную тенденцию изменения уровней ряда, а именно: метод укрупнения интервалов, метод скользящей средней и аналитическое выравнивание. Во всех методах вместо фактических уровней при обработке ряда рассчитываются иные (расчётные) уровни, в которых тем или иным способом взаимопогашается действие случайных факторов и тем самым уменьшается колеблемость уровней. Последние в результате становятся как бы «выровненными», «сглаженными» по отношению к исходным фактическим данным. Такие методы обработки рядов называются сглаживанием или выравниванием рядов динамики.

Один из наиболее простых приемов обнаружения общей тенденции развития явления - укрупнение интервала динамического ряда. Смысл приема заключается в том, что первоначальный ряд динамики преобразуется и заменяется другим, показатели которого относятся к большим по продолжительности периодам времени. Например, ряд, содержащий данные о месячном выпуске продукции, может быть преобразован в ряд квартальных данных. Вновь образованный ряд может содержать либо абсолютные величины за укрупненные по продолжительности промежутки времени (эти величины получают путем простого суммирования уровней первоначального ряда абсолютных величин), либо средние величины. При суммировании уровней или при выведении средних по укрупненным интервалам отклонения в уровнях, обусловленные случайными причинами, взаимопогашаются, сглаживаются, и более четко обнаруживается действие основных факторов изменения уровней (общая тенденция).

Выявление основной тенденции может быть осуществлено также методом скользящей средней. Скользящая средняя - подвижная динамическая средняя, которая рассчитывается по ряду при последовательном передвижении на один интервал, то есть сначала вычисляют средний уровень из определенного числа первых по порядку уровней ряда, затем- средний уровень из такого же числа членов, начиная со второго. Таким образом, средняя как бы скользит по ряду динамики от его начала к концу, каждый раз отбрасывая один уровень в начале и добавляя один следующий.

При этом посредством осреднения эмпирических данных индивидуальные колебания погашаются, и общая тенденция развития явления выражается в виде некоторой плавной линии (теоретические уровни). Суть метода заключается в замене абсолютных данных средними арифметическими за определенные периоды.

Скользящая средняя обладает достаточной гибкостью, но недостатком метода является укорачивание сглаженного ряда по сравнению с фактическим, что ведет к потери информации. Кроме того, скользящая средняя не дает аналитического выражения тренда.

Период скользящей может быть четным и нечетным. Практически удобнее использовать нечетный период, так как в этом случае скользящая средняя будет отнесена к середине периода скольжения. Скользящие средние с продолжительностью периода, равной 3, следующие:

;  ;  и т.д.

Полученные средние записываются к соответствующему срединному интервалу.

Особенность сглаживания по четному числу уровней состоит в том, что каждая из численных (например, четырехчленных) средних относится к соответствующим промежуткам между смежными периодами. Для получения значений сглаженных уровней соответствующих периодов необходимо произвести центрирование расчетных средних, т.е. из каждой пары смежных промежуточных значений скользящих средних находят среднюю арифметическую, которую и относят к определённому периоду.

Недостатком способа сглаживания рядов динамики является то, что полученные средние не дает теоретических рядов, в основе которых лежала бы математически выраженная закономерность.

Изучение основной тенденции развития методом скользящей средней является лишь эмпирическим приемом предварительного анализа. Рассмотренные приемы сглаживания динамических рядов (укрупнение интервала и метод скользящей средней) могут рассматриваться как важное вспомогательное средство, облегчающее применение других методов и, в частности, более строгих методов выявления тенденции.

Более совершенным приемом изучения общей тенденции в рядах динамики является аналитическое выравнивание. При изучении общей тенденции методом аналитического выравнивания исходят из того, что изменения уровней ряда динамики могут быть с той или иной степенью точности приближения выражены определенными математическими функциями.

Для аналитического выравнивания наиболее часто используются следующие виды трендовых моделей:

• прямая (линейная) ;
• парабола второго (или более высокого) порядка   ;
• показательная (логарифмическая) ;
• гиперболическая ;
• экспоненциальная ;
• логистическая ;
• Гомперца  , где ;
• ряд Фурье