Методы выявления основной тенденции динамического ряда

[5, с. 309; 6, с. 234; 7, с. 140]

Параметры каждого из перечисленных выше трендов можно определить обычным МНК, используя в качестве независимой переменной время t=1,2,…,n, а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда . Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации.

Выбор той или иной функции для выравнивания ряда динамики осуществляется, как правило, на основании графического изображения эмпирических данных, дополняемого содержательным анализом особенностей развития исследуемого показателя (явления) и специфики разных функций, их возможности отразить те или иные нюансы развития. Определённую вспомогательную роль при выборе аналитической функции играют также механические приёмы сглаживания (выше рассмотренные укрупнение интервалов и метод скользящей средней). Частично устраняя случайные колебания, они помогают более точно определить тренд и выбрать адекватную модель (управление) для аналитического выравнивания.

Кроме того, в результате многолетнего опыта использования аналитического выравнивания рядов динамики наработаны некоторые правила или, вернее, условия использования перечисленных простых уравнений, которыми полезно руководствоваться при выборе функции.

1. Так, выравнивание по прямой линии (линейной функции) эффективно для рядов, уровни которых изменяются примерно в арифметической прогрессии, т.е. когда первые разности уровней (абсолютные приросты) более или менее постоянны.
2. Если вторые разности уровней (ускорения) более или менее постоянны, то такое развитие хорошо описывается параболой 2-го порядка . Если постоянны k-е разности уровней, можно использовать параболу k-го порядка , позволяющую «улавливать» перегибы, изломы в кривой, смену направлений изменения уровней. Парабола 2-го порядка отражает развитие с ускоренным или замедленным изменение уровней ряда.
3. Если при последовательном расположении t (меняющемся в арифметической прогрессии) значения уровней меняются в геометрической прогрессии, т.е. цепные коэффициенты роста примерно постоянны, то такое развитие можно отразить показательной функцией .
4. Если обнаружено замедленное снижение уровней ряда, которые по логике не могут снизиться до нуля, для описания характера тренда выбирают гиперболу вида и т.д.[5, с. 310]

Чтобы решить вопрос о том, использование какой кривой даёт лучший результат, обычно сопоставляют суммы квадратов отклонений эмпирических уровней от теоретических, рассчитанных по разным функциям, т.е. . Та функция, при которой эта сумма квадратов меньше, считается более адекватной, приемлемой. Однако сравнивать непосредственно суммы квадратов отклонений можно в том случае, если сравниваемые уравнения имеют одинаковое число параметров. Если же число параметров (n-m), выступающую в роли числа степеней свободы, и сравнивают уже квадраты отклонений уровней, рассчитанные на одну степень свободы (т.е. остаточные дисперсии на одну степень свободы).

 

3. Экстраполяция тенденции как метод прогнозирования

 

Основа большинства методов прогнозирования - экстраполяция тенденции, связанная с распространением закономерностей, связей и соотношений, действующих в изучаемом периоде, за его пределы или, другими словами, это получение представлений о будущем на основе информации, относящейся к прошлому и настоящему.

Экстраполяция, проводимая в будущее,- это перспектива, а в прошлое,- ретроспектива.

Предпосылки применения экстраполяции:

• развитие исследуемого явления в целом следует описывать плавной кривой;
• общая тенденция развития явления в прошлом и настоящем не должна претерпевать серьезных изменений в будущем.

Экстраполяцию в общем виде можно представить так:

,

где - прогнозируемый уровень; - текущей уровень прогнозного ряда; Т - срок экстраполяции; - параметр уравнения тренда.

При этом могут использоваться разные методы в зависимости от исходной информации.

Упрощенные приемы целесообразны при недостаточной информации о предыстории развития явления (нет достаточно длинного ряда или информация заданна только двумя точками: на начало и конец периода). Упрощенные приемы основываются на средних показателях динамики, и можно выделить:

1. Метод среднего абсолютного прироста.

Для нахождения интересующего нас аналитического выражения тенденции на любую дату необходимо определить средний абсолютный прирост и последовательно прибавить его к последнему уровню ряда столько раз, на сколько периодов экстраполируется ряд.

,

где t- срок прогноза; i- номер последнего уровня.

Применение в экстраполяции среднего абсолютного прироста предполагает, что развитие явления происходит по арифметической прогрессии и относится в прогнозировании к классу «наивных» моделей, т.к. чаше всего развитие явления следует по иному пути, чем арифметическая прогрессия. Вместе с тем в ряде случаев этот метод может найти применение как предварительный прогноз, если у исследователя нет динамического ряда: информация дана лишь на начало и конец периода (например, данные одного баланса).

2. Метод среднего темпа роста.

Осуществляется, когда общая тенденция характеризуется показательной кривой

,

где - последний уровень ряда динамики; - средний коэффициент роста.

3. Выравнивание рядов по какой-либо аналитической формуле.

Экстраполяция дает возможность получить точечное значение прогнозов. Точное совпадение фактических данных и прогнозных точечных оценок, полученных путем экстраполяции кривых, имеет малую вероятность.

Любой статистический прогноз носит приближенный характер, поэтому целесообразно определение доверительных интервалов прогноза:

,   ,

где - коэффициент доверия по распределению Стьюдента при уровне значимости ;

 - средняя квадратическая ошибка тренда;

k - число параметров в уравнении;

- расчетное значение уровня.

Аналитические методы основаны на применении метода наименьших квадратов к динамическому ряду и представлении закономерности развития явления во времени в виде уравнения тренда, то есть математической функции уровней динамического ряда (y) от факторного времени (t): y=f(t).

Аналитическое сглаживание позволяет не только определить общую тенденцию изменения явления на рассматриваемом отрезке времени, но и выполнять расчеты для таких периодов, в отношении которых нет исходных данных.

Адаптивные методы используются в условиях сильной колеблемости уровней динамического ряда и позволяют при изучении тенденции учитывать степень влияния предыдущих уровней на последующие значения динамического ряда. К адаптивным методам относятся методы скользящих и экспоненциальных средних, метод гармонических весов, методы авторегрессионных преобразований.

Цель адаптивных методов заключается в построении самонастраивающихся моделей, способных учитывать информационную ценность различных членов временного ряда и давать достаточно точные оценки будущим членам данного ряда.

Прогноз получается как экстраполяция последней тенденции. В разных методиках прогнозирования процесс настройки (адаптации) модели осуществляется по-разному, и можно выделить:

1. метод скользящей средней (адаптивной фильтрации, метод Бонса-Дженкинса);
2. метод экспоненциального сглаживания (методы Хольда, Брауна, экспоненциальной средней).

Скользящие средние представляют собой средние уровни за определенные периоды времени путем последовательного передвижения начала периода на единицу времени. При простой скользящей средней все уровни временного ряда считаются равноценными, а при исчислении взвешенной скользящей средней каждому уровню в пределах интервала сглаживания приписывается вес, зависящий от расстояния данного уровня до середины интервала сглаживания.

Особенность метода экспоненциального сглаживания в том, что в процедуре выравнивания каждого наблюдения используется только значения предыдущих уравнений, взятых с определенным весом. Смысл экспоненциальных средних состоит в нахождении таких средних, в которых влияние прошлых наблюдений затухает по мере удаления от момента, для которого определяется средние.

 

4. Оценка точности модели

 

Важнейшими характеристиками качества модели, выбранной для прогнозирования, являются показатели её точности. Они описывают величины случайных ошибок, полученных при использовании модели. Таким образом, чтобы судить о качестве выбранной модели, необходимо проанализировать систему показателей, характеризующих как адекватность модели, так и её точность.

О точности можно судить по величине ошибки (погрешности) прогноза. Ошибка прогноза – величина, характеризующая расхождение между фактическим и прогнозным значением показателя [3, с. 260]. Абсолютная ошибка прогноза определяется по формуле:

,

где - прогнозное значение показателя, -фактическое значение.

Эта характеристика имеет ту же размерность, что и прогнозируемый показатель, и зависит от масштаба измерения уровней временного ряда.

На практике широко используется относительная ошибка прогноза, выраженная в процентах относительно фактического значения показателя:

Если абсолютная и относительная ошибки больше 0, то это свидетельствует о «завышенной» прогнозной оценке, если меньше 0, то прогноз был занижен.

Также используются средние ошибки по модулю (абсолютные и относительные).

Средняя относительная ошибка или MAPE широко используется для сравнения точности прогнозов разнородных объектов прогнозирования. При этом в литературе часто встречаются указания на то, что значение <10% свидетельствует о высокой точности модели, при значениях этой характеристики в диапазоне 10-20% точность можно признать хорошей, при 20%<MAPE<50% - удовлетворительной. Однако такая универсальность, не учитывающая специфики временных рядов и прогнозных расчётов, делает этот подход достаточно «механическим».

На практике при проведении сравнительной оценки моделей может использоваться такая характеристика качества, как средняя квадратическая ошибка:

где n – длина временного ряда; - фактическое значение уровня ряда; - расчётное значение уровня, полученные по модели.

Иногда в эконометрических пакетах при выборе лучшего метода прогнозирования используют суммы квадратов ошибок SSE или средние квадраты ошибок MSE.

Чем меньше значения всех рассмотренных характеристик, тем выше точность модели. При этом о точности модели нельзя судить по одному значению ошибки прогноза, о качестве применяемых моделей можно судить лишь по совокупности составлений прогнозных значений с фактическими.

 

 

Заключение

 

Всякий ряд динамики теоретически может быть представлен в виде составляющих:

1. тренд – основная тенденция развития динамического ряда (к увеличению или снижению его уровней);
2. циклические (периодические колебания, в том числе сезонные);
3. случайные колебания.

С помощью рядов динамики изучение закономерностей развития социально – экономических явлений осуществляется в следующих основных направлениях:

1. Характеристика уровней развития изучаемых явлений во времени;
2. Измерение динамики изучаемых явлений посредством системы статистических показателей;
3. Выявление и количественная оценка основной тенденции развития (тренда);
4. Изучение периодических колебаний;
5. Экстраполяция и прогнозирование.

Процесс построения модели ряда в общем случае включает следующие этапы:

1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней. Расчет значений сезонной компоненты S.
2. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных (T+U) в аддитивной или (T*U) в мультипликативной модели.
3. Аналитическое выравнивание уровней (T+U) или (T*U) и расчет значений Т с использованием полученного уравнения тренда.
4. Расчет полученных по модели значений (T+S) или (T*S).
5. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок.

 

Список используемой литературы

 

1. Вуколов Э.А. Основы статистического анализа. Практикум по статистическим методам и исследованию операций с использованием пакетов Statistica и Excel: Учеб. Пособие. – 2-е изд., испр. И доп. – М.: ФОРУМ, 2008.-464с.
2. Практикум по эконометрике: Учеб. пособие / И.И. Елисеева, С.В. Курышева, Н.М. Гордеенко и др.; Под ред. И.И. Елисеевой. – М: Финансы и статистика, 2005.-192с.: ил.
3. Практикум по теории статистики: Учеб. пособие / Под ред. Р.А. Шмойловой. – М.: Финансы и статистика, 2002.-416с.: ил.
4. Статистика: Учебник / под ред. В.С. Мхитаряна. – М.: Экономист, 2005.-671с.
5. Теория статистики: Учебник / Под ред. проф. Г.Л. Громыко. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: ИНФРА-М, 2005.-476 с.
6. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. И.И. Елисеевой. – М: Финансы и статистика, 2002. – 344 с.: ил.
7. Эконометрика: Учебник для вузов / Под ред. проф. Н.Ш. Кремер. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003. – 311 с.
8. www.gks.ru