Многомерное шкалирование в экономических исследованиях

Матрицы различий Стимул     n1        n2       n3                                     Стимул       n1       n2       n3

Матрицы скалярных произведений Стимул     n1        n2       n3                             Стимул       n1            n2           n3

 

Для индивидуальных матриц скалярных произведений рассчитаем одну общую, т.е. среднюю матрицу скалярных произведений, воспользовавшись для этого тривиальной формулой средней:

 

в нашем случае

 

Первые приближенные оценки координат стимулов получим методом  главных компонент. С учетом того, что первые шкалы Х1 и Х2 объясняют более 99% вариации стимульных значений, запишем двумерную матрицу стартовой конфигурации:

                                                        Х1         Х2

 

На первом шаге итерации последовательно вычисляют величины   ω²  — матрицы весов с элементами , а также новых оцененных матриц: — координат стимулов, — расстояний и — скалярных произведений.

Для нахождения матрицы W² следует построить две исходные матрицы: S — объединенную матрицу скалярных произведений субъектов и В — координат для сочетающихся пар стимулов. Первая матрица S имеет  i² столбцов — по числу всех возможных парных комбинаций стимулов и s строк — по числу субъектов:

Пары стимулов   Субъект

 

Элементы матрицы В находят перемножением текущих оценок координат из каждой пары стимулов:

Таким образом, сама матрица  имеет также i² столбцов и k строк — по числу координатных осей (шкал) в анализе. Сделаем несколько примерных расчетов значений элементов  для первой шкалы:

 

 

 

 

 

 

 

В общем матрица В принимает вид:

Субъект   Коорд.

Матрица W², т.е. наилучшие на первой итерации оценки весов, определяется из уравнения S = BW² методом наименьших квадратов:

W²=(BB')^-1BS'.

Построим матрицу W² :

Субъект   Коорд.	s1	s2

 Исчислив корни квадратные из каждого значения , построим матрицу весовых значений W:

 

Данные матрицы W показывают, что оба эксперта одинаково большое значение придают первой шкале, второй субъект — даже несколько большее, чем первый; значение, которое придается второй шкале, существенно меньше, приблизительно в 3—5 раз.

После того как определена матрица W, становится возможным найти новые оценки координат стимулов. Вычисления строятся таким образом, чтобы минимизировать сумму квадратов разностей: *(S-BX)², т.е. X=SB'(BB^’)^-1. При этом матрицы S и В принимают иной вид, чем это было раньше. Элементы матрицы S — по-прежнему скалярные произведения, но все возможные пары стимулов представлены здесь отдельно для каждого из субъектов, в общем матрица S — результат простого объединения матриц скалярных произведений:

Субъект   Стимул	s1	s2
	n1        n2       n3          n1         n2        n3

Матрица В аккумулирует координатные значения стимулов, исчисленные с поправкой на величину весовых коэффициентов , которые, как известно, являются субъективными оценками значимости координатных осей: b_k(sj)= Примерные расчеты:

 

 

 

 

 

 

Матрица В принимает вид:

Субъект   Стимул	s1	s2
	n1        n2       n3          n1         n2        n3

 

Теперь могут быть найдены  новые, улучшенные оценки координат стимулов:

Субъект   Коорд.	s1	s2

 

В имеющемся (нестандартизованном) шкальном пространстве легко определить расположение стимулов с учетом мнения каждого из субъектов. Для этого достаточно координатные значения стимула х_iк перемножить на соответствующие им величины субъективных весов (рис. 8.10).

Рис. 2.2. Шкальное пространство и расположение в нем стимулов по данным экспертного оценивания двух субъектов

Координаты стимулов:

 

Заметим, что пространственное расположение стимулов двумерном пространстве субъектов позволяет определить различия между стимулами, как, собственно, и между самими субъектами. Нас в данном случае интересуют различия стимулов, их характеристиками будут величины расстояний :

 

В табл. 8.9 сведены результаты расчетов расстояний и скалярных произведений для новых оцененных координат стимулов, чтобы можно было наглядно видеть результаты первого шага подгонки евклидовой модели индивидуальных различий. В этой же таблице приведены исходные данные о различиях, скалярные произведения и координаты стимулов.

Таблица 2.2 Матрицы расстоянии, скалярных произведении и координат стимулов по данным экспертного оценивания двумя субъектами

По исходным данным	После выполнения первого шага подгонки евклидовой модели
Матрицы расстояний          Матрицы скалярных произведений     Матрицы координат стимулов Нестандартизированные оценки:   Стандартизированные оценки:

Из табл. 8.9 видно, что оцененные  и исходные данные в общем согласованы, и в то же время первый шаг подгонки не дает еще достаточного приближения теоретических оценок расстояний реальным.

После получения новых  матриц , и первый шаг итерации считается выполненным. Его сущность оценивается по критерию F:

 

 

Цель итеративного алгоритма  состоит в минимизации значений критерия F, т.е. сумма квадратов разностей между фактическими и оцененными скалярными произведениями должна быть наименьшей. Итерации повторяются до тех пор, пока при переходе к последующей итерации величина F не станет незначительной, например, меньшей 0,001. В противном случае оценки стандартизируются, за исходные принимаются оцененные на предыдущем шаге матрицы: , ,   и итерации с последовательным вычислением матриц , , и возобновляются.

После прекращения итераций значения оценок координат стимулов стандартизируются так, чтобы их дисперсия по каждой координатной оси была равна 1,00 и последний раз оцениваются субъективные веса .

Таблица 2.3. Расчет F-критерия качества итеративных оценок скалярных произведений

0,14-0,12=002 -0,15-(-0,12)=0,03 0,01-0=0 -0,15-(-0,12)=-0,03 0,20-0,17=0,03 -0,05-(-0,05)=0 0,01-0=0,01 -0,05-(-0,05)=0 0,04-0,05=0,01	0,0004 0,0009 0,0001 0,0009 0,0009 0 0,0001 0 0,0001	0,03 0 -0,003 0 0,04 0,04 0,03 0,04 0,03	0,0009 0 0,0009 0 0,0016 0,0016 0,0009 0,0016 0,0009	0,0013 0,0009 0,0010 0,0009 0,0025 0,0016 0,0010 0,0016 0,0010
*	-	-	-	0,0128

 

Стандартизацию вообще считают  полезной не только на завершающем этапе расчетов, но и в ходе реализации алгоритма подгонки евклидовой модели. Ее осуществление для матриц скалярных произведений перед каждой итерацией позволяет предотвращать чрезмерное влияние данных какого-либо одного субъекта на итоговые аналитические результаты. Напомним, что во всех случаях вариантом нормирования данных, приводящим

к стандартизованным значениям  дисперсии с суммой  *σ² = 1, может быть следующий:

 

Трехмодальная модель — модель второго типа. Алгоритм подгонки этой модели хотя и мало отличается от рассмотренного выше подробно случая с взвешенной евклидовой моделью, предполагает проведение значительно более сложных вычислений.

Во взвешенной евклидовой модели субъективные координаты стимулов находят с учетом общей матрицы координат стимулов и матрицы субъективных весов: X_s = XW_S, в трехмодальной модели добавляется еще один элемент — матрица ортогональных (как правило) преобразований с вектор-строками единичной длины T_s, модель принимает вид: X_s = XW_ST_S. Таким образом, взвешенная евклидова модель может рассматриваться как частный случай трехмодальной модели, когда T_s — единичная матрица (T_s= J).

При помощи матрицы T_s обнаруживаются субъективные оценки взаимодействия координат стимулов. Так, произведение матрицы T_s на саму себя дает матрицу корреляций: T_ST_S' = R_s, ее элементы r_kk’s характеризуют силу связей разностей координат по всем возможным парам координатных осей, при этом знак r_kk’s указывает на направление взаимодействия, а абсолютная величина коэффициента корреляции  r_kk’s,   — на силу взаимодействия разностей координат. Проще говоря, погружая стимулы в координатное пространство, будем учитывать величину различий стимулов, субъективные оценки значимости шкал и дополнительно оценки связей латентных факторов, определяющих расположение стимулов в гипотетическом пространстве.

Теоретически различие между  стимулами по субъективным оценкам  представляется формулой:

Модель упрощается и переходит  к форме взвешенной евклидовой при ffctv-O, когда по субъективным оценкам взаимодействие координатных значений стимулов отсутствует. В ходе итераций для подгонки модели оцениваются матрицы: Х,∆ и ∆^*,W,T.

Рассмотрим упрощенный пример определения координат стимулов для каждого субъекта, если известны параметры трех-модальной модели. Вычисления проведем по уже имеющимся расчетным данным матриц X и предполагаемым данным матриц Т₁ и Т₂: Х₁=XW₁Т₁ и X₂=XW₂T₂:

                                                   X                            W_S                     Т_S

 

 

 

 

Как видно, взаимодействие координат  стимулов способно существенно изменить пространственное расположение и конфигурацию последних.

При рассмотрении моделей  индивидуальных различий мы не обращались к вопросу о рациональном числе  координатных осей для пространства стимулов. Этот вопрос можно решать в соответствии с рекомендациями, приведенными в гл. 7, или расчетным путем с использованием стресс-формул, оценивающих степень расхождений между исходными и теоретическими величинами различий стимулов:

 

Этот же критерий допустимо  использовать при определении оптимальной  размерности стимульного пространства каждого из субъектов:

 

Здесь , и — фактическая и оцененная в теоретическом пространстве величины различий стимулов i и j для субъекта s. Наилучшее число координатных осей минимизирует значения критерия SS1.

В ходе анализа индивидуальных различий часто получают цифровой материал, не просто поддающийся интерпретации. Последний этап работы исследователя, на котором формируются выводы и  делаются заключения, будет значительно  облегчен, если предварительно решаются задачи оптимизации координатного стимульного пространства посредством его ортогонального или косоугольного вращения, упорядочения стимулов, построения группировок для стимулов и субъектов.

 

3. Анализ предпочтений

Одни и те же явления, процессы, как известно, субъектами оцениваются  индивидуально, особенным образом. В конечном счете это проявляется в значениях весовых коэффициентов для различных шкал, о чем говорилось в предыдущем параграфе. Но что же порождает расхождение мнений и оценок, в чем кроется их причина? Существенную, если не главную, роль играют здесь представления об идеале и удаленности от идеала оцениваемого объекта. Изучение предпочтений, т.е. пространственного расположения стимулов относительно идеальных точек, становится логичным завершением исследований индивидуальных различий.

Упоминаемые в анализе  предпочтений идеальные представления субъектов — наиболее тривиальная, часто встречающаяся, но не единственная проблематика. Идеальные характеристики (параметры) существуют и должны исследоваться также вне суждений субъектов, они свойственны непосредственно наблюдаемым объектам в силу специфичности их строения, взаимосвязей с внешней средой и т. п. Например, имеются наилучшие характеристики для оборудования, предприятия, благоприятные условия рыночной деятельности, оптимальные производственные и экологические параметры региона и т.д. Большое число задач из области экономики, политики, социологии сводится к оценке идеальных условий, или идеального состояния: при выборе месторасположения производственного объекта, размещении финансовых средств, оптимизации качества продукции и переходе на новые ее виды, подборе профессиональных кадров и т.д.