Пожарная опасность и риск

 

Исходные данные:

Вариант	N	M	n	m
23	1130	12	12	2

Указание. Для решения следует воспользоваться  биноминальным законом распределения. Произвольный член биноминального ряда выражается формулой:

 

, 

           

где n - объем выборки;

m - номер члена ряда;

w -вероятность аварии для N единиц однотипного оборудования;

v= 1— w.

 

Решение:

 

 

v = 1— w = 0,989

 

 

 

Вероятность того, что произойдет 2 аварии в год:

 

 

 

Вероятность того, что произойдет 2 и более аварий в год:

               

P = 1 – (P_0,12 + P_1,12 +P_2,12 ) = 0,005.

 

 

Задача №3. Исследовано 10 изделий. Количество дефектов k=0,1,2,3… в каждом изделии дано в табл.

Вариант	Номер изделия
	1	2			3		4		5		6		7	8	9		10
	Количество дефектов k
23	5		3	3		1		3		4		3		1	4	3

 

Исходя из распределения Пуассона, построить график функции вероятности  появления  k дефектов продукции и график функции вероятности появления k и более дефектов.

Указание. Распределение  Пуассона представляется рядом 

 

 

где а — среднее количество дефектов в выборке, а каждый член, начиная со второго, указывает вероятность появления ноль дефектов, одного дефекта, двух и т.д.

 

 

 

 

Расчеты представить на графиках и  в таблице.

Количество дефектов k	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Формула для вычисления Р
Значение вероятности Р	0,049	0,149	0,224	0,224	0,168	0,101	0,05	0,022	0,008	0,003

 

График функции вероятности  появления дефектов:

 

 

 

Задача №4. В результате измерений отказов n объектов, установлено среднее значение наработки на отказ Т_cp, дисперсия D_x. С какой вероятностью можно утверждать, что истинное среднее значение наработки на отказ не отклонится от найденной величины больше, чем на L? . Исходные данные в табл.

 

Вариант	n	Тcp,ч	Dx,ч2	L,%
25	16	77,46	12	8

     Указание. Расчет основывается на формуле 1 для оценки параметра по результатам ограниченного числа испытаний.

 

                               

где t_g — параметр Стьюдента, определяемый из таблицы приложения 3 по значениям g и k=n—1 степеней свободы.

- среднее значение случайной  величины;

n – число опытов;

- среднее квадратичное  отклонение;

g - доверительная вероятность.

 

 k=n—1=16-1=15;

 

Для того чтобы выполнялось равенство:  ,

должно  выполнятся условие:  

 .

 

Из таблицы по значениям k=15 и =7,156 находим доверительную вероятность g=0,99. С вероятностью 0,99 можно утверждать, что истинное среднее значение наработки на отказ не отклонится от найденной величины больше, чем на 8%.

 

 

Задача  №5. Вероятность безотказной работы машины P(t) в период нормальной эксплуатации после t часов работы составляет Р (исходные данные в табл.). Определить интенсивность отказов λ. Построить график изменения P(t) и определить графически наработку на отказ. 

 

Вариант	t,час	Р
23	4000	0,91

Указание. Так  как рассматривается период нормальной эксплуатации машины, интенсивность  отказов можно считать не изменяющейся величиной.

 

, отсюда = 2,358∙10^-5   

 

Т	0	10	102	103	104	105
P(t)	1	0,999	0,998	0,977	0,79	0,095

Наработка на отказ – область, расположенная  под линией графика. 

Задача  №6. На испытания были поставлены 200 восстанавливаемых изделий. Статистика отказов приведена в табл. Необходимо построить гистограмму параметра потока отказов , определить среднюю наработку до первого отказа Т₀. Указание: построенную по сглаженной гистограмме кривую  аппроксимировать уравнением .

 

∆t·10-3, час	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
n	58	34	22	18	15	13	12	10	9	8	8	6	5	4	4
t·10-3, час	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
·10-5	29	17	11	9	7,5	6,5	6	5	4,5	4	4	3	2,5	2	2

 

В данном случае эксплуатируется восстанавливаемое  изделие, основной характеристикой  в условии ремонта является параметр потока отказов

.

 

·10^-5

t·10^-3, час

 

 

Построенную по сглаженной гистограмме  кривую аппроксимируем уравнением. Найдем значения коэффициентов a, b и k.

 

 

.

 

_{Определим k по точке на графике:}

 

.

 

_{k =4,262∙10^-4.}

 

 

_{В итоге получаем:}

 

.

 

 

Средняя наработка до первого отказа:

 

.

 

 

 

Задача  №7. Для технического объекта задана наработка на отказ Т_оз. Требуется оценить безопасность объекта (по величине наработки на опасный отказ Т₀) с доверительной вероятностью g, если число отказов n, а суммарная наработка до наступления n отказов равна t_n часов (данные по табл.).

 

Вариант	tn, ч	Тоз, ч	n	γ
23	450	5	12	0,90

Указание. Для решения  задачи необходимо оценить надежность с учетом доверительных границ, воспользовавшись формулой 2. После проведённых по исходным данным расчётов, выполните расчёты вновь, принимая, что данные о наработке получены при уменьшении объема выборки (n), вдвое (значения данных о наработке t_n  примите такими же). Сделайте вывод о влиянии объёма выборки (числа испытаний) на ширину доверительного интервала.

 

                                            

или

,

где Т^*_0н — нижняя , Т^*_0в —верхняя граница доверительного интервала;

       

Зная g, определяют a (a=1-g=0,1), a/2 (0,05), 1—a/2(0,95) и при k=2n=24 степеней свободы по таблице приложения 4 находят  

    и    

 

;  

 

25 ≤ ≤ 64,98.

 

С вероятностью 90% наработка на отказ не попадает в данный интервал, следовательно, безопасность объекта не обеспечивается.

 

Если объем выборки уменьшить вдвое, а данные о наработке оставить без изменения:

    и    

 

;  

 

 42,9 ≤ ≤ 172,1.

 

Чем меньше размер выборки, тем шире станет доверительный интервал, при условии, что все остальное останется без изменений, а качество полученных данных не будет высоким.

 

 

 

Задача  №8. Восстанавливаемая система с показательным распределением времени безотказной работы и времени восстановления имеет коэффициент безопасности K_б (см. табл.). Определить вероятность нахождения системы в безопасном состоянии в момент времени t если наработка на опасный отказ Т_о.

 

Варианта	Кб	t, чac	То,час
23	0,79	55	450

 

Показательный закон распределения:  P(t) = e^-λt ,

в момент времени t:  =   ;

 

= .

 

P (55) = K_б +(1- K_б) = 0,79 + (1 – 0,79) = 0,907.

 

 

Вероятность нахождения системы в  безопасном состоянии в момент времени t = 55 ч составляет 90,7%.

 

 

Задача  №9. На испытание поставлено N элементов. Число отказов n(∆t_i) фиксировалось в каждом интервале времени испытаний ∆t=500 час. Данные об отказах в табл.

Необходимо определить вероятность  безотказной работы , частоту отказов и интенсивность отказов , построить графики этих функций и найти среднюю наработку до первого отказа .

 

Вариант	N	Число отказов n(∆ti) на интервале ∆t=500 час
23	500	80	67	59	46	40	35	31	27	23	17	16	15	17	27	-	-	-	-

 

 

                       

Расчеты представлены в таблице:

n(t)i	80	67	59	46	40	35	31	27	23	17	16	15	17	27
(ti),	0,16	0,294	0,469	0,412	0,584	0,654	0,716	0,77	0,816	0,85	0,882	0,912	0,946	1
(ti),	0,84	0,706	0,531	0,453	0,416	0,346	0,284	0,23	0,184	0,15	0,118	0,088	0,054	0
(ti),	0,32	0,268	0,209	0,236	0,16	0,14	0,124	0,108	0,092	0,068	0,064	0,06	0,068	0,108
(ti),	0,348	0,347	0,365	0,339	0,351	0,367	0,394	0,42	0,44	0,407	0,478	0,583	0,958	4