Статистические методы изучения уровня и качества жизни населения

Пример:

Середина интервала: 1 группа (28+40)/2 = 34

3/30*100% = 10,0% предприятий будет составлять часть из 30 по валовому доходу в среднем на одного члена домохозяйства.

 

Рассчитаем характеристики интервального ряда распределения  по признаку валовой доход в среднем на одного члена домохозяйства в год:

1. Расчет средней арифметической проводится по взвешенной формуле, так как каждая варианта (x) встречается в совокупности неодинаковое число раз.

            59.2 тыс.руб.

Вычисление средней  арифметической по исходным данным

Для расчета применяется  формула средней арифметической простой:

= 59,1 тыс.руб.                          

Причина расхождения средних  величин,  заключается в том, что  средняя арифметическая простая  определяется по фактическим  значениям  исследуемого  признака  для  всех  30-ти домохозяйств, а средняя арифметическая взвешенная вычисляется для интервального  ряда, когда в качестве значений признака берутся середины интервалов и, следовательно, значение средней арифметической будет менее точным (за исключением случая равномерного распределения значений признака внутри каждой группы).

 

 

2.Средне квадратическое отклонение находится по формуле:

;   (15)

Среднее квадратическое отклонение( ) представляет собой обобщающую характеристику размеров вариации признака в совокупности и вычисляется по следующей формуле:

 Полученные значения подставим  в формулу:

3.Коэффициент вариации(V) применяется для характеристики меры вариации значений признака вокруг средней величины:

           

;     (16)

Подставим значения в формулу: .

4. Мода(Мо)– величина признака (варианта), которая чаще всего встречается в данной совокупности. В вариационном дискретном ряду модой выступает варианта, имеющая наибольшую частоту.

В интервальном вариационном ряду модой приближенно считается центральное значение модального интервала (имеющего наибольшую частоту). Более точно моду можно определить графическим методом по гистограмме ряда.

Конкретное значение моды для интервального ряда рассчитывается по формуле:

      (17)

где   х_Мo– нижняя граница модального интервала,

h–величина модального интервала,

f_Mo – частота модального интервала,

f_Mo-1 – частота интервала, предшествующего модальному,

f_Mo+1– частота интервала, следующего за модальным.

Согласно табл.2.3 модальным интервалом построенного ряда является интервал 52 – 64 млн. руб., так как его частота максимальна (f₃ = 12).

Подставим имеющиеся данные в формулу:

Для рассматриваемой совокупности домохозяйств наиболее распространенная величина валового дохода характеризуется  средней величиной 58,462 тыс. руб.

Конкретное значение медианы  для интервального ряда рассчитывается по формуле:

,                        (18)

 

где    х_Ме– нижняя граница медианного интервала,

h – величина медианного интервала,

– сумма всех частот,

f_Ме – частота медианного интервала,

S_Mе-1 – кумулятивная (накопленная) частота интервала, предшествующего медианному.

Медианным  интервалом является интервал    52 – 64 тыс. руб., так  как именно в этом интервале накопленная  частота S_j= 20 впервые превышает величину, равную половине численности единиц совокупности( = ).

Подставим имеющиеся данные в формулу:

Вывод. Анализ полученных значений показателей и σ говорит о том, что средняя величина валового дохода в среднем на одного члена домохозяйства составляет 59,2 тыс. руб., отклонение от средней величины в ту или иную сторону составляет в среднем 13,629 тыс. руб. (или 23,022 %).  

Значение V_σ = 25,9% не превышает 33%, следовательно, вариация валового дохода в исследуемой совокупности домохозяйств незначительна и совокупность по данному признаку качественно однородна. Расхождение между значениями , Мо и Ме незначительно ( =59,2 тыс. руб., Мо=58,462 тыс. руб., Ме=59,0 тыс. руб.), что подтверждает вывод об однородности совокупности домохозяйств. Таким образом, найденное среднее значение валового дохода  является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности домохозяйств.

 

 

 

Задание 2.

По исходным данным:

1. Установить наличие и характер корреляционной связи между признаками валовой доход и расходы на продукты питания в среднем на одного члена домохозяйства в год методом аналитической группировки, образовав по факторному признаку заданное число групп с равными интервалами.
2. Изменить тесноту корреляционной связи между названными признаками с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения.

Сделать выводы по результатам  выполнения задания.

 

Решение: 
         1. Аналитическая группировка выявляет взаимосвязи и взаимозависимости между изучаемыми социально-экономическими явлениями и признаками, их характеризующими. При построении аналитической группировки единицы группируются по факторному признаку – валовой доход, и каждая группа характеризуется средними величинами результативного признака – расходы на продукты питания в среднем на одного члена домохозяйства.

Для построения аналитической  группировки построим разработочную таблицу №2.6.

 

 

 

Таблица 2.6

Разработочная таблица

Определение расходов на питание в среднем на одно домохозяйство в группе:

Таблица 2.7

Аналитическая группировка  предприятий по признаку валовой доход в среднем на одного члена домохозяйства в год

Вывод. Анализ данных таблицы 2.7 показывает, что с увеличением валового дохода  от группы к группе систематически возрастают и средние расходы на продукты питания по каждой группе домохозяйств, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

 

2. Эмпирический коэффициент детерминации оценивает силу связи, определяя, насколько вариация результативного признака Y объясняется вариацией фактора Х (остальная часть вариации Y объясняется вариацией прочих факторов). Показатель рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии в общей дисперсии по формуле:

                                                   (19)

где  – общая дисперсия признака Y,

 – межгрупповая (факторная)  дисперсия признака Y.

Значения показателя изменяются в пределах . При отсутствии корреляционной связи между признаками Х и Y имеет место равенство =0, а при наличии функциональной связи между ними - равенство =1.

Качественная интерпретация  показателя осуществляется посредством  шкалы Чэддока.

Шкала значений эмпирического  корреляционного отношения:

• связь очень слабая – значение находится в пределах 0,1-0,3;
• умеренная – значение находится в пределах 0,3-0,5;
• заметная – значение находится в пределах 0,5-0,7;
• тесная – значение находится в пределах 0,7-0,9;
• весьма тесная – значение находится в пределах 0,9-0,99.

 

Для определения эмпирического  корреляционного отношения необходимо рассчитать межгрупповую дисперсию:

   (20)

где     –групповые средние,

– общая средняя,

–число единиц в j-ой группе,

k – число групп.

Для расчета межгрупповой дисперсии построим вспомогательную  таблицу

Таблица 2.8

   Вспомогательная  таблица для расчета межгрупповой  дисперсии

Группы домохозяйств по валовому доходу, тыс. руб.	Число домохозяйств,	Среднее значение в группе
1	2	3	4=3-25,0	5
28 – 40	3	16, 0	-9	243
40 – 52	5	21,0	-4	80
52 – 64	12	25,0	0	0
64 – 76	6	27,5	2,5	37,5
76 – 88	4	33,0	8	256
Итого	30	---	---	616,5

 

    (21)

           =20,55 тыс.руб.

Рассчитываем общую дисперсию:

   (22)

_{σ² – средняя из внутригрупповых дисперсий.}

_{σ² =      (23)}

_{σi² – внутригрупповая (остаточная) дисперсия}

 

 

 

 

 

_{Для расчета  средней из внутригрупповых дисперсий составим таблицу 2.9.}

Таблица 2.9

Вспомогательная таблица  для расчета средней из   внутригрупповых дисперсий

Группы домохозяйств по валовому доходу, тыс. руб.	Число домохозяйств,	Среднее значение в группе	σi2
1	2	3	4	5
28 – 40	3	16, 0	0,667	2,001
40 – 52	5	21,0	6,252	31,26
52 – 64	12	25,0	3,397	40,467
64 – 76	6	27,5	2,157	12,942
76 – 88	4	33,0	12	48
Итого	30	---	---	134,67

 

Подставим имеющиеся данные в формулу для расчета средней из внутригрупповых дисперсий:

_{σ² = 134,67 / 30 = 4,489}

_{Рассчитаем  общую дисперсию}

_{σ²о = 20,55 + 4,489 = 25,039}

 

Рассчитаем эмпирический коэффициент детерминации :

^{или 82,1%}

Вывод. 82,1% вариации расходов на продукты питания обусловлено вариацией валового дохода домохозяйств, а 17,9% – влиянием прочих неучтенных факторов.

Эмпирическое  корреляционное отношение оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле

     (24)

Значение показателя изменяются в пределах . Чем ближе значение к 1, тем теснее связь между признаками.

Расчет эмпирического  корреляционного отношения  по формуле:

Вывод. Согласно шкале Чэддока связь между расходами на продукты питания и величиной валового дохода является весьма тесной.

Оценка статистической значимости коэффициента детерминации

Для проверки значимости коэффициента детерминации  служит дисперсионный F-критерий Фишера, который рассчитывается по формуле

,  (25)

где  n – число единиц выборочной совокупности,

m – количество групп,

 – межгрупповая дисперсия,

 – дисперсия j-ой группы (j=1,2,…,m),

 – средняя арифметическая групповых дисперсий.

Расчет дисперсионного F-критерия Фишера для оценки =82,1%, полученной при =4,489, =20,55:

F_расч

Уровень значимости в социально-экономических исследованиях обычно принимается равным 0,05 (что соответствует доверительной вероятности Р=0,95).

Если F_расч>F_табл, коэффициент детерминации признается статистически значимым, т.е. практически невероятно, что найденная оценка обусловлена только стечением случайных обстоятельств.

Если F_расч<F_табл, то показатель считается статистически незначимым и, следовательно, полученные оценки силы связи признаков относятся только к выборке, их нельзя распространить на генеральную совокупность.

Таблица 2.10

         Табличное значение F-критерия при = 0,05:

n	m	k1=m-1	k2=n-m	Fтабл( ,4, 26)
30	5	4	25	2,76