Статистические ряды

Кроме этого, во временных рядах  часто присутствуют периодические  составляющие, т.е сезонные и циклические  коледания.

Сезонные колебания – это такие колебания, период которых не более одного года. Чаще всего к их возникновению причастны природные условия, например, колебания цен на сельскохозяйственную продукцию. Так, ежегодно в период сбора урожая происходит снижение цен на такую продукцию. В дальнейшем цена возрастает, так как продукцию надо хранить, а это происходит, обычно уже не в самих сельхоз предприятиях, а где-то на стороне. Сюда же приплюсовывается и стоимость перевозок, различные «накрутки» и пр. Поэтому говорят, что в колебаниях цен присутствует годовая периодичность

Иногда причины сезонных колебаний имеют социальный характер, например, увеличение закупок в предпраздничный  период, увеличение платежей в конце  квартала и т.д.

Говорят, что во временном ряде присутствует циклическая составляющая, если период колебаний более года. Она может появляться в связи, например, с какими-либо демографическими циклами.

При удалении из временного ряда выше перечисленных составляющих, в нем  остается нерегулярная компонента. Она может формироваться под воздействием следующих факторов:

• факторы внезапного действия;
• текущие факторы.

Факторы внезапного действия чаще всего обусловлены какими-то катаклизмами, стихийные бедствия, например. Они вызывают значительные отклонения наблюдаемых величин ряда.

Текущие факторы определяют случайные колебания. Случайные колебания связаны с действием большого числа некоторых побочных причин. По отдельности эти причины мало влияют на наблидаемые величины, но в своей массе могут привести к существенным отклонениям.

Таким образом, временной ряд можно представить, как сочетание выще перечисленных компонент. Если эти компоненты суммируются, то такое представление называется аддитивным (14), если компоненты перемножаютя – то мультипликативным (15), а если прсутствует некая комбинация – то смешанным (16).

где y_t — уровни временного ряда;

u_t  — трендовая составляющая;

s_t  — сезонная срставляющая;

v_t  — циклическая составляющая;

e_t  — случайная составляющая.

 

Анализировать временные ряды начинают с построения его графика –  зависимости наблюдаемой компоненты от времени. Это легко делается с помощью, например, какого-нибудь офисного пакета. Часто по графику можно определить, являются ли сезонные коледания аддитивного типа или мультипликативного. Например, если отклонение сезонных колебаний от тренда остается приблизительно постоянной, то они нося характер мультипликативный

Рассмотрим пример. На рис. 1 приведен временной ряд производства электроэнергии в России в 1994 – 1999 гг.

Проанализировав график, можно сделать  вывод, что его тренд, скорее всего, представляет собой кривую первого порядка, т.е. прямолинен. Кроме того, на графике явно наблюдаются сезонные колебания. Мы наблюдаем подъем потребления электроэнергии осенью и зимой, а весной и летом наблюдается спад потребления. Внутри года амплитуда сезонных колебаний приблизительно одинакова и не зависит от уровня тренда. Таким образом, можно сделать вывод об аддитивном характере сезонных

Таким образом, на стадии проведения графического анализа можно исследовать  компонентный состав временных рядов, а также сделать первые шаги к выбору модели для описания их динамики и последующего прогнозирования.

В тех случаях, когда «на глаз»  трудно выявить тренд временного ряда, необходимо для начала выяснить, а есть ли в данном процессе тренд  вообще?

Рис. 1. График производства электроэнергии в Российской Федерации за период с 1994 по 1999 гг. (млн. кВт.ч )

 

Решение этой задачи связано  с проверкой гипотез. Наиболее часто  для этих целей используется метод  Фостера-Стюарта.

Алгорим этого метода таков:

1) Сравниваем каждый уровень временного ряда с предшествующими и определяем характеристики m_t и l_t:

Т.е, m_t = 1, если y_t больше всех предшествующих уровней, а l_t = 1, если y_t меньше всех предшествующих уровней.

2) Вычисляем .

Т.е.

3) Находим

 

4) Проверяется нулевая гипотеза Н0 такая, что разность - случайная, т.е. ряд не содержит тренда. Проверка проводится по критерию Стьюдента.

Вычисляем

где :

 

Значения s_D затабулированы.

 

Таблица 1

 

Значения  стандартных ошибок σ_D для n от 10 до 100

 

п	sD	п	sD	п	sD	п	sD
10	1,964	35	2,509	60	2,713	85	2,837
15	2,153	40	2,561	65	2,742	90	2,857
20	2,279	45	2,606	70	2,769	95	2,876
25	2,373	50	2,645	75	2,793	100	2,894
30	2,447	55	2,681	80	2,816

 

Сравниваем t_набл с критическим значением t_кр, который находим по таблицам t — распределения Стьюдента для заданного уровня значимости а и числа степеней свободы  
v =п-1. Если |t_набл|> t_кр, то гипотеза об отсутствии тренда отвергается.

1.3.2 Основные показатели динамики экономических явлений

 

Для оценки изменения показателей во времени используются, в основном, такие показатели:

• абсолютные приросты;
• темпы роста;
• темпы прироста.

 

При этом каждый показатель может  быть:

• цепным;
• базисным;
• средним.

При расчете показателей динамики происходит сравнение уровней временного ряда. Если каждый уровень ряда сравнивается с одним и тем же уровнем, который принято называть базисным, то вычисляются базисные показатели. В качестве базисного обычно выбирается начальный уроверь ряда.

Если каждый последующий уровень сравнивается с предыдущим, то такие показатели называют цепными.

Разность двух сравниваемы уровней  определяет абсолютный прирост Dу.

Отношение двух сравниваемых уровней ряда, выраженное в процентах, характеризует темп роста Т .

Абсолютный прирост в относительных величинах характеризует темп прироста К.

В таблице 2 приведены выражения для описанных величин. В таблице использованы обозначения:

y_l, y₂,...,y_t,...,y_n — уровни временного ряда, t = 1, 2, ... , n;

п — длина временного ряда;

у_б — уровень временного ряда, принятый за базу сравнения.

Обобщающими показателями для временных рядов являются средние значения абсолютного прировта, темпа роста и темпа прироста. Они очень интересны для статистического анализа. Так как позволяют строить прогнозы.

Например, если воспользоваться  формулой

где у_п — фактическое значение конечного уровня ряда (в последней, n-й точке ряда);

 — прогнозное значение (п + L)-го уровня ряда;

 — значение среднего абсолютного прироста, рассчитанное для временного ряда y_l, y₂,...,y_t,...,y_n;

L – период упреждения (количество шагов вперед),

то можно получить оценку прогнозного  состояния процесса на L шагов вперед.

 

Таблица 2

 

 

Однако, такой подход приемлем, если тенденция развития близка к линейной. Признаком линейности могут быть примерно одинаковые значения цепных абсолютных приростов.

Если же динамика развития процесса близка к показательному или экспоненциальному закону, то используют средние темпы роста или прироста. Прогноз на L шагов вперед мы можем получить по формуле:

где у_n — конечный уровень временного ряда;

 — прогнозное значение (п + L)-го уровня ряда;

 — значение среднего темпа роста временного ряда в абсолютном выражении.

К недостаткам рассчетов с использованием средних величин можно отнести то, что они используют только две крайние точки временного ряда и не учитывают промежуточных значений. Однако, они имеют очень широкую сферу применения из-за простоты вычисления и могут быть использованы для приблизительных рассчетов или прикидок.

 

2. Практическая часть

1.1 Анализ вариационного ряда

При регистрации размеров продаваемой  обуви в магазине получены следующие  результаты: 39, 35, 40, 40, 36, 39, 42, 42, 38, 37, 37, 51, 43, 38, 38, 42, 39, 41, 42, 39, 37, 40, 42, 41, 38, 42, 41, 45, 43, 41, 41, 43, 45, 40, 42, 40, 38, 42, 38, 41, 39, 37, 39, 42, 39, 38.39.40,41.37,39.36.40, 41, 40, 44, 37, 43, 41, 43, 43, 40, 40, 41, 38, 51, 44, 40, 38, 44, 38, 38, 36, 40, 41, 39, 46, 39, 40, 42, 34, 42, 39, 40, 40, 44, 38, 38, 37, 38.

1. Представить  результаты наблюдения в виде простого статистического ряда (дискретного вариационного ряда);
2. Найти  выборочное среднее, выборочную моду, выборочную медиану и выборочную дисперсию;
3. Построить полигон относительных частот;
4. Найти доверительный интервал для оценки математического  ожидания  и среднего квадратического отклонения  наблюдаемой случайной величины с надежностью 0.95;

a). Простой статистический ряд имеет такой вид:

i	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
X	34	35	36	37	38	39	40	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50	51
N	1	1	3	7	14	12	15	11	11	6	4	2	1	0	0	0	0	2
p*	0,01	0,01	0,03	0,08	0,16	0,13	0,17	0,12	0,12	0,07	0,04	0,02	0,01	0,00	0,00	0,00	0,00	0,02

 

 

X	7-9	9-11	11-13	13-15	15-17	17-19
n	3	10	18	13	4	2

b). Выборочное среднее находим по формуле:

Выборочная дисперсия и среднее квадратическое отклонение равны:

Выборочная мода, наиболее часто  встречаемое значение, равна 40, и  выборочная медиана также равна 40, т.к. .

c). Построим полигон относительных частот.

d). Вычислим доверительный интервал для мат. ожидания.

Сначала по таблице для  функции Лапласа найдем значение t из равенства F (t) = g / 2 = 0,475. По полученному значению t = 1,96 определим точность оценки (или половину длины доверительного интервала) d:

Отсюда получаем искомый доверительный интервал: (39.64; 40.82).

 

Вычислим доверительный интервал для среднего квадратического отклонения:

По числу степеней свободы, равному 89, и по вероятности (1 – 0,95)/2 = 0,025 находим  из таблицы распределения c² величину c₂² = 117. Аналогичным образом при вероятности (1 + 0,95)/2 = 0,975 получаем c₁² = 65. Используя формулу, получаем искомый доверительный интервал:

1.2 Анализ временного ряда

В таблице 3 приводятся сведения о вводе в действие жилых домов.

Требуется

1. Рассчитать цепные, базисные и средние показатели абсолютного прироста, темпов роста и темпов прироста. За базисный принять начальный уровень ряда..
2. Используя показатель среднего абсолютного прироста, определить прогнозное значение общей площади вводимого жилья в течение следующего года (L = 1), .

 

Таблица 3

Решение

Рассчет показателей  представим в виде таблицы: (табл. 4).

 

Таблица 4

Определим средний абсолютный прирост, средний темп роста и прироста.

 

Средний абсолютный прирост  равен:

Данный показатель указывает  на то, что объем вводимого жилья  в среднем ежегодно уменьшался на 0,525млн. м².

 

Средний темп роста вычислим, как:

Этот показатель говорит о том, что в каждом последующем году в среднем жилья  вводилось лишь 91,47% от уровня предыдущего года.