Статистический анализ процесса производства жидкого чугуна

 

Карта размахов

 

 

 

 

Глава 2. Оценка воспроизводимости процесса по первому  показателю

Индекс воспроизводимости  – безразмерная величина, показывающая связь между характеристиками технологического процесса и допуском.

Простейшим  и наиболее распространенным является индекс воспроизводимости процесса, находящегося в статистически управляемом состоянии. При нормальном распределении контролируемого количественного показателя качества, что практически всегда имеет место на практике, этот индекс соотносит ширину поля допуска на контролируемый показатель с величиной собственной изменчивости процесса, т.е. с так называемым 6-сигмовым интервалом.

В случае поля допуска с двусторонними границами  индекс воспроизводимости процесса определяется выражением:

                                           ;

USL – верхняя граница поля допуска,

LSL – нижняя граница поля допуска,

σ - оценка собственной изменчивости (стандартного отклонения) стабильного процесса.

Границы поля допуска были заданы в условиях задания:

3,75- 3,95%

Значит USL=3,95 LSL=3,75.

Так как в  нашем проекте для контроля стабильности процесса используются и R-карты Шухарта, то σ определяется как:

                                                 ;

где - среднее значение размаха отдельных выборок, определяемое и подсчитанное выше, а d – коэффициент, определяемый по таблице П6 в зависимости от объема выборки. Для n=5 d=2,326.

Таким образом, σ =0,204/2,326=0,088

Индекс воспроизводимости  равен  =

Если же стабильность (статистическая управляемость) не подтверждена, то для оценки возможностей процесса используется индексы пригодности, определяемые по аналогии, но через оценку стандартного отклонения объединенной  выборки

;

n- объем мгновенной выборки (подгруппы),

m- количество подгрупп,

mn- объем  объединенной выборки.

Индекс пригодности:

.

Для того, чтобы найти  индекс пригодности, для начала  подсчитаем стандартное отклонение объединенной  выборки :

теперь мы можем найти  индекс пригодности:

;

верхний индекс пригодности:

 

;

нижний индекс пригодности:

 

 

Вывод: Процесс не воспроизводим, так как индекс , а это меньше 1. Процесс не центрирован, так как .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 3. Карты средних значений и стандартных отклонений.

 

X-S-карта – это набор из двух карт: X-карта – средние измерения в периодах, s-карта – выборочные стандартные отклонения для каждого периода.

По осям x на обеих картах наносятся моменты времени, по которым располагаются данные и на протяжении которых изучается ситуация (обычно 20 или больше периодов). По осям y создается шкала, соответствующая измерениям (вес, температура и т.д.).

По каждому моменту времени  на X-карте отображаются средние значения в выборках и на s-карте выборочные стандартные отклонения в выборках.

Центральная линия для X-карты: CL(X) =

 

где - это средние значения для каждой выборки, m – количество выборок,

     (1)

n – количество элементов в выборке. 

Центральная линия для s-карты: CL(R) =

       

где m – количество выборок, а - выборочные стандартные отклонения (t = 1,…,m)

     (2)

n – количество элементов в выборках.

Верхний UCL(X) и нижний LCL(X) пределы для X-карты, верхний UCL(s) и нижний LCL(s) пределы для s-карты.

Значение констант A3, B3, B4 зависят от n (количества элементов в выборке) и находятся по таблице.

Выполним  расчеты, необходимые для построения контрольных карт, вручную (по второму показателю).

Исходные данные представлены в таблице:

Приведем расчеты для  первой и второй подгруппы по                формулам (1) и (2):

;

Аналогично вычислим все средние значения показателей.

Приведем вычисление несмещенной оценки:

;

          Аналогично продолжим вычисления.

Приведем рассчитанные средние значения и стандартные  отклонения в каждой подгруппе:

№	Y1	Y2	Y3	Y4	Y5		S
1	1,56	1,58	1,61	1,62	1,65	1,60	0,035
2	1,62	1,51	1,58	1,7	1,52	1,59	0,078
3	1,61	1,6	1,54	1,7	1,53	1,60	0,068
4	1,62	1,7	1,69	1,61	1,52	1,63	0,073
5	1,6	1,56	1,6	1,53	1,55	1,57	0,031
6	1,58	1,61	1,64	1,58	1,65	1,61	0,033
7	1,64	1,58	1,76	1,57	1,74	1,66	0,088
8	1,58	1,62	1,58	1,68	1,6	1,61	0,041
9	1,52	1,6	1,57	1,67	1,64	1,60	0,059
10	1,74	1,66	1,69	1,4	1,4	1,58	0,165
11	1,4	1,45	1,4	1,64	1,66	1,51	0,130
12	1,53	1,61	1,74	1,53	1,69	1,62	0,094
13	1,5	1,59	1,55	1,58	1,73	1,59	0,086
14	1,54	1,59	1,7	1,64	1,68	1,63	0,066
15	1,62	1,74	1,62	1,59	1,64	1,64	0,058
16	1,66	1,67	1,78	1,63	1,69	1,69	0,057
17	1,8	1,65	1,65	1,55	1,67	1,66	0,089
18	1,58	1,68	1,65	1,73	1,68	1,66	0,055
19	1,72	1,63	1,59	1,72	1,66	1,66	0,057
20	1,4	1,4	1,6	1,53	1,81	1,55	0,170

 

 

 

Оценка среднего уровня процесса по формуле:

 

таким образом,

а среднее стандартное  отклонение по формуле:

таким образом,

Положение контрольных  границ карты средних значений найдем по формуле:

,

в которой коэффициент  А₃ по табл. П6 [1] при n=5 равен А₃=1,427:

.

Для расчета положения  контрольных границ карты стандартных  отклонений учтем, что для нее  и , при этом при n<6 (у нас n=5) нижняя контрольная граница этой карты будет равна нулю. По таблице П6 при n=5 В₄=2,089, тогда

Откладывая на карте  средних значения предпоследнего столбца  контрольного листка, а на карте стандартных отклонений – последнего столбца, построим соответствующие карты Шухарта.

 

 

 

 

Контрольная карта  средних значений

Контрольная карта  стандартных отклонений

Вывод: процесс не стабилен по стандартным отклонениям: на карте стандартных отклонений в выборке №10 и №20 выброс за верхнюю контрольную границу.

 

Выполним расчеты, необходимые для построения контрольных карт, в электронной таблице Excel.

Для расчета средних  значений (Yср) в каждой подгруппе воспользуемся функцией СРЗНАЧ. Аналогично найдем общее среднее значение (CLy). Стандартные отклонения (S) вычислим с помощью функции СТАНДОТКЛОН. Затем рассчитаем среднее стандартное отклонение (СLS).

Положение контрольных  границ для карты средних и  стандартных отклонений вычислим через  коэффициенты А₃ и В₄, определив их значения по табл. П6[1], то есть А₃=1.628 и В₄=2,266.

Например, среднее значение для первой подгруппы найдем с помощью встроенной функции и выделив нужный диапазон:

Yср = СРЗНАЧ(B2:F2)= 1,604 ;

 

Стандартное отклонение для первой подгруппы:

S= СТАНДОТКЛОН(B2:F2) = 0,0351 ;

 

Положение средней линии  определяется следующим образом:

 

 

.

 

Верхняя контрольная граница для средних значений определяется по формуле:

 

;

 

А нижняя соответственно:

 

 

 

Подобным образом проводят расчет верхней границы стандартных отклонений.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контрольные карты построим с помощью мастера диаграмм, используем тип диаграммы – график.

Контрольная карта  средних значений

Контрольная карта  стандартных отклонений

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава 4. Карта  кумулятивных сумм

 

Контрольная карта кумулятивных сумм (далее КУСУМ-карта) - информативное графическое представление  данных, которые упорядочены в  логической последовательности. Для  расчета значений кумулятивных сумм используют случайные переменные или  их функции. Часто их порядок соответствует порядку проведения наблюдений во времени.

КУСУМ-карта  предназначена для проверки процесса на отклонение чаще всего от среднего арифметического значения (далее - среднего), равного некоторому опорному значению. Опорное значение часто называют целевым значением или целью. Для более сложных процедур КУСУМ эти два понятия - целевое и опорное значения следует различать. Из каждого полученного значения показателя качества вычитают опорное значение и получают значения кумулятивных сумм этих разностей, которые наносят на карту. На такой карте интерес представляют не абсолютные значения сумм, а угол наклона графика, определяемый по последовательным точкам. Именно угол наклона так называемых «локальных средних» служит мерой изменения случайной величины. Если локальное среднее серии наблюдений более целевого значения, то кривая наклонена вверх, если менее - вниз. Чем больше угол наклона линии, представляющей локальное среднее по отношению к целевому значению, тем больше отклонение данных от опорного значения.

КУСУМ-карты  являются одним из распространенных статистических методов обнаружения  изменения показателя качества и  установления причин этого изменения.

Предположим, что контролируется среднее значение показателя качества X, имеющего нормальное распределение со средним значением и стандартным отклонением . Требуется выявить наличие малого постоянного смещения (сдвига) процесса на некоторую величину (в долях от стандартного отклонения). Одним из эффективных инструментов для контроля процесса в этой ситуации является карта кумулятивных (накопленных) сумм.  В качестве контролируемой статистики используется сумма отклонений среднего значения от целевого среднего :

  t = 1, …, m,

где т – количество мгновенных выборок (подгрупп). 

Одним из способов интерпретации  карты кумулятивных сумм – использование V-маски (схема Барнарда). На карту накладывается шаблон в виде повернутой буквы V: от последней из нанесенных на карту точек откладывается величина d, угол раствора маски 2 . Если точка на карте оказывается вне раствора маски, процесс считается статистически неуправляемым: наклон слишком велик.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

При этом, если точка оказалась  ниже нижней линии маски, имеет место  смещение на - , выше верхней - на + . По существу линии V-маски представляют собой верхнюю и нижнюю границы контрольной карты накопленных сумм.

Процесс стабилен, если изменение накопленной суммы между  двумя соседними мгновенными выборками не слишком велико:

.

Для расчета параметров маски (величин d и ) используются методы последовательного анализа. Откуда положение границ  V-маски определяется соотношением

,

т. е. получили уравнение  прямых, пересекающихся в точке Р. При этом

;

;

.

C учетом масштаба координатных осей (f единиц по оси C_t соответствуют одной единицы по оси t) получим параметры V-маски:

;

.

На практике часто  значением  пренебрегают:     

.

Выполним  расчеты, необходимые для построения карты кумулятивных сумм, вручную.

Построим карту кумулятивных сумм с применением V- маски для второго параметра.

Найдем средние  значения контролируемого показателя в мгновенных выборках  по n = 5 наблюдений по формуле:

.

Например, для первой подгруппы имеем:

В качестве целевой средней  примем  содержание кремния 1,6:

Оценку стандартного отклонения определим по формуле:

,

где коэффициент с  определяется по таблице П2. При n = 5 с=0,940.

Найдем оценку стандартного отклонения:

Предположим, что требуется  обнаружить смещение среднего значения на одно стандартное отклонение (δ = 1). Примем уровень значимости α = 0,05.

Найдем отклонение среднего значения от целевого среднего µ₀. Например, для первой подгруппы имеем:

.

После чего вычисляем  сумму отклонений среднего значения от целевого среднего µ_0.

Результаты вычислений представлены в таблице.

№	y1	y2	y3	y4	y5	Yср	Yср- м0	cusum
1	1,56	1,58	1,61	1,62	1,65	1,604	0,004	0,004
2	1,62	1,51	1,58	1,7	1,52	1,586	-0,014	-0,01
3	1,61	1,6	1,54	1,7	1,53	1,596	-0,004	-0,014
4	1,62	1,7	1,69	1,61	1,52	1,628	0,028	0,014
5	1,6	1,56	1,6	1,53	1,55	1,568	-0,032	-0,018
6	1,58	1,61	1,64	1,58	1,65	1,612	0,012	-0,006
7	1,64	1,58	1,76	1,57	1,74	1,658	0,058	0,052
8	1,58	1,62	1,58	1,68	1,6	1,612	0,012	0,064
9	1,52	1,6	1,57	1,67	1,64	1,6	0	0,064
10	1,74	1,66	1,69	1,4	1,4	1,578	-0,022	0,042
11	1,4	1,45	1,4	1,64	1,66	1,51	-0,09	-0,048
12	1,53	1,61	1,74	1,53	1,69	1,62	0,02	-0,028
13	1,5	1,59	1,55	1,58	1,73	1,59	-0,01	-0,038
14	1,54	1,59	1,7	1,64	1,68	1,63	0,03	-0,008
15	1,62	1,74	1,62	1,59	1,64	1,642	0,042	0,034
16	1,66	1,67	1,78	1,63	1,69	1,686	0,086	0,12
17	1,8	1,65	1,65	1,55	1,67	1,664	0,064	0,184
18	1,58	1,68	1,65	1,73	1,68	1,664	0,064	0,248
19	1,72	1,63	1,59	1,72	1,66	1,664	0,064	0,312
20	1,4	1,4	1,6	1,53	1,81	1,548	-0,052	0,26