Статистичне моделювання та прогнозування

Середнє лінійне відхилення для згрупованих  даних по формулі:

.

 

Для згрупованих  даних дисперсія розраховується по наступній формулі:

 

 

     Середнє квадратичне відхилення є коренем квадратний з дисперсії і визначається для варіаційного ряду по формулі:

.

 

Для порівнянь  варіацій різних ознак використовують відносний коефіцієнт варіації. Це виражене у відсотках відношення середнього квадратичного відхилення до середньої арифметичної:

 

Сукупність вважається кількісно  однорідною, якщо коефіцієнт варіації не перевищує 33%.

 

 

Згідно проведеному аналізу  дана сукупність являється  неоднорідною.

 

7.Визначите відносні характеристики варіації, показники асиметрії.

     Для порівнянь варіацій різних ознак використовують відносний коефіцієнт варіації. Це виражене у відсотках відношення середнього квадратичного відхилення до середньої арифметичної:

 

     Сукупність вважається кількісно однорідною, якщо коефіцієнт варіації не перевищує 33%.

 

 

     Згідно проведеному аналізу дана сукупність являється  неоднорідною.

Коефіцієнт осциляції:

=

    Відносне лінійне відхилення визначається як відношення середнього лінійного відхилення до середнього значення ознаки.

 

Дана сукупність являється неоднорідною.

                Емпірична крива дозволяє заздалегідь припустити форму теоретичної кривої розподілу, що характеризує функціональний зв'язок між зміною варіюючої ознаки і зміною частот.

 

 

Рис.6 Емпірична крива розподілу  рентабельності активів.

Те, що сукупність не має чітко визначеної асиметрії виходить із недотримання умов: Мо>Ме>х (лівостороння), Мо<Ме<х (правостороння).

Тоді як в прикладі: 7<10,3<13,8.

 

Коефіцієнт асиметрії:

 

 

-додатній, а тому вказує на чітко виражену правосторонню асиметрію.

 

 

 

 

 

8.Визначите міжгрупову, внутрігрупову  і загальну дисперсії, коефіцієнт детермінації.

Варіація ознаки обумовлена різними  чинниками, деякі з яких можна  виділити, якщо статистичну сукупність розділити на групи за якою-небудь ознакою. Коли сукупність розчленована на групи по одному чиннику, вивчення варіації досягається за допомогою  числення і аналізу трьох видів  дисперсій: загальної, міжгрупової  і внутрішньогрупової.

 

Таблиця 1.2

Кількість банків	Розмір рентабельності активів (%)	Середній розмір рентабельності активів  по группах (%)
2 3 3 4 3	3;4,2 7,6;9,4;10,3 12,7;12,8;13,6 16,5;17,2;18,3;18,4 20,1;21,5;23,0	7,2/2=3,6 27,3/3=9,1 39,1/3=13 70,4/4=17,6 64,6/3=21,5
15	208,6	65

 

У нашому прикладі дані групуються за розміром рентабельності активів.

Результативна ознака варіює як під впливом систематичного чинника, так і інших неврахованих випадкових чинників (внутрішньогрупова  варіація).

по групі 1:  =7,2/2=3,6    

по групі 2:  = 27,3/3=9,1

по групі 3:  = 39,1/3=13   

по групі 4:  = 70,4/4=17,6

по групі 5:  = 64,6/3=21,5

Розрахуємо  внутрішньогрупові дисперсії за формулою:

 

 

(3-3,6)²+(4,2-3,6)²)/2=0,72/2=0,36

 

((7,6-9,1)²+(9,4-9,1)²+(10,3-9,1)²)/3=3,78/3=1,26

 

((12,7-13)²+(12,8-13)²+(13,6-13)²)/3=0,49/3=0,163

 

((16,5-17,6)²+(17,2-17,6)²+(18,3-17,6)²+(18,4-17,6)²)/4=2,5/4=0,625

 

((20,1-21,5)²+(21,5-21,5)²+(23,0-21,5)²)/3=4,21/3=1,4.

 

Внутрішньогрупові дисперсії показують варіації сум  доходу в кожній групі, викликані всіма можливими чинниками.

Розрахуємо  середню з внутрішньогрупових дисперсій:

.

 

(0,36*2 + 1,26*3 + 0,163*3 + 0,625*4 + 1,4*3)/15=11,689/15=0,78.

 

Середня з внутрішньогрупових дисперсій  відображає варіацію суми доходу, обумовлену всіма чинниками, окрім розміру  доходу, але в середньому по всій сукупності.

Обчислимо міжгрупову дисперсію.

.

 ((3,6-13,8)² +(9,1-13,8)² +(13-13,8)² +(17,6-13,8)² +(21,5-13,8)²) / 15 = 200,5/15=13,37

Міжгрупова  дисперсія характеризує систематичну варіацію результативного порядку, обумовлену впливом ознаки - чинника, покладеного в підставу угрупування.

Обчислимо загальну дисперсію, згідно правилу  складання дисперсій, по наступній  формулі:

=0,78+13,37=14,15.

Загальна  дисперсія вимірює варіацію ознаки по всій сукупності під впливом всіх чинників, що зумовили цю варіацію.

Чим більше частка міжгрупової дисперсії в  загальній дисперсії, тим сильніше вплив групировочного ознаки.

Для характеристики даного зв'язку застосовують емпіричний коефіцієнт детермінації:

.

У нашому прикладі:

13,37/14,15=0,94

Емпіричне кореляційне відношення:

 

0,97

Згідно  якісній оцінці тісноти зв'язку Чеддока, в нашому прикладі існує дуже тісний зв'язок між сумою рентабельності активів і розміром рентабельності активів групувальної ознаки.

9.На основі отриманих абсолютних,  відносних і середніх величин зробіть якісний аналіз кількісних оцінок

 Розглядаючи статистичний ряд розподілу місячного доходу домогосподарств, розділений на 5 груп з розміром інтервалу i=4, бачимо, що в значна частина розглянутих  банків (а саме 4)  мають розмір рентабельності активів  в межах 15-19%.

Побудовані  графіки гістограми і кумуляти (рис. 1, 2) наочно відображають особливості розподілу рентабельності активів. Слід зазначити більш рівномірна зміна банків з розміром рентабельності активів більше 15%, що видно з графіків. Кумулятивний ряд розподілу (рис. 3) дозволяє простежити за процесом концентрації явища, що вивчається.

На підставі розрахунків структурних середніх показників були отримані наступні результати: середня рентабельність активів (медіана) для розглянутої сукупності банків склав 10,3%; з 15 банків менше половини – мають розмір активів 10,3%, а інша половина мають розмір активів більше 10,3% (рис. 5). Найпоширеніше значення (мода) рентабельності активів 15 банків складає 19% (рис. 4).

У даного ряду чітко виражена правостороння асиметрія (Мо<Ме<х).

За наслідками розрахунку показника варіації зроблений  висновок, що сукупність якісно не однорідна.

Згідно  якісній оцінці тісноти зв'язку Чеддока, в нашому прикладі існує дуже тісний зв'язок між сумою рентабельності активів і розміром рентабельності активів групувальної ознаки.

 

 

 

 

 

 

 

ЗАВДАННЯ  № 2

 

В результаті  статистичних даних  десяти промислових підприємств  була  встановлена залежність між  середньорічною вартістю  основних фондів і валової продукції в  порівнянних цінах.

 

Номер заводу	Середньорічна вартість основних виробничих фондів (у.гр.од.)	Валова  продукція в порівнянних цінах (у.гр.од.)
1	1,7	1,5
2	3,7	4,2
3	3,3	4,3
4	4,9	4,5
5	3,3	2,2
6	5,1	4,2
7	3,1	4,0
8	0,6	0,5
9	3,1	3,6
10	5,6	7,9

 

• Виберіть форму регресії;
• Обчислите параметри рівняння, поясните їх зміст;
• Оціните тісноту зв'язку;
• Перевірте  значимість коефіцієнта регресії з імовірністю 0,95.
• Визначите коефіцієнт еластичності;
• Зробіть висновки.

 

 

 

 

 

 

1.Виберіть форму регресії

 

За допомогою методу КРА визначимо  наявність і характер статистичного  зв'язку між ознаками «середньорічна вартість основних виробничих фондів »  і  «валова продукція в порівнянних цінах».

 

Таблиця 2.1 .

Дослідження статистичного зв`язку між ознаками  «середньорічна вартість основних виробничих фондів »  і  «валова продукція в порівнянних цінах» для групи підприємств.

Для описання залежності між середньорічною вартістю основних фондів та валової продукції, використовуєм  лінійну трендову модель:

,

 де, а, в- параметри лінійного рівняння.

 

Порівнявши середні значення результативної ознаки по групам, можна зробити висновок, що збільшення середньорічної вартості фондів спричиняє збільшення валової продукції, тобто можна припустити наявність прямої кореляційної залежності між ознаками. Користуючись розрахунковими значеннями (див. табл. 2.1), визначимо параметри для даного рівняння регресії.

 

 

2.Обчислите  параметри рівняння, поясните їх  зміст.

Параметри рівняння:

 

 

 

n-  кількість сукупностей.

 

 

Розрахунок параметру а можна перевірити за допомогою рівняння:

 

де:

 

 

Звідси:

 

=-28.

Рівняння регресії має вид:

,

Результати  проміжних розрахунків приведені  в таблиці 2.1.

 

 

 

3.Оціните  тісноту зв'язку.

Коефіцієнт  детермінації. У моделі аналітичного угрупування мірою щільності зв'язку є відношення факторної дисперсії до загальної, яке називають емпіричним коефіцієнтом детерміації:

 

де δ² – факторна дисперсія:

 

 

 

s² - загальна дисперсія:

 

 

 

Кореляційне відношення показує тісноту  зв'язку між групувальною та результативною ознаками. Може приймати значення від 0 до 1. Чим вище значення, тим більш  функціональною є залежність між  показниками, тісніше зв'язок.

Коефіцієнт  кореляції:

 

Згідно якісній  оцінці тісноти зв'язку Чеддока,  у нашому прикладі існує тісна сила зв'язку між середньорічною вартістю основних фондів та валової продукції.

 

4. Перевірте  значимість коефіцієнта  регресії з імовірністю 0,95.

При чисельності об'єму аналізу  до 30 одиниць виникає необхідність перевірки значимості.

 

Перевірку значимості рівняння регресії можна  виконати на основі обчислення F-критерію Фішера: 

,

де m – число параметрів в рівнянні регресії (=2);

n – кількість досліджень (=10).

Визначаємо F_табл. по таблиці (див. додаток) для вірогідності 0,95. Ступені вільності залежать від числа параметрів рівняння регресії: k₁=m-1 і кількості одиниць досліджуваної сукупності: k₂ = n-m.

Для  k₁=8, k₂=1   F_табл = 5,32.

 

Оскільки F_розр=29,2 набагато більше критичного F_табл=5,32, що підтверджує істотність кореляційного зв’язку, то рівняння регресії  
слід визнати адекватним у 95 випадках з 100.

 

5.Визначите  коефіцієнт еластичності.

Коефіцієнт  еластичності показує середні зміни  результативної ознаки при зміні  факторної ознаки на 1%:

.

Ỳ.

 

 

 

Зробіть висновки.

Було зроблено припущення щодо наявності  лінійного зв’язку між середньорічною вартістю основних виробничих фондів та валової продукції в порівняних цінах. В результаті такого припущення було складено рівняння регресії: , яке свідчить, що із збільшенням кредитної ставки на 1% середнє збільшення прибутку от кредитної операції складе 1,15ум.гр.од.

Коефіцієнт детермінації показує, що 76% загальної варіації середньорічної вартості основних фондів залежить від зміни валової продукції, а 24%- від дій інших випадкових факторів.

В 95 випадках із 100 можна стверджувати, що вплив середньорічної вартості основних фондів та валової продукції являється  значним.

Коефіцієнт еластичності показує, що при відносному рості кредитної ставки на 1% відносне збільшення прибутку від кредитних операцій складе 1,035%.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАВДАННЯ  № 3

Динаміка  кредитних ресурсів комерційного банку  на початок  місяця характеризується  даними таблиці. За даними таблиці:

а) визначити середній обсяг кредитних  ресурсів за перший і другий  квартал, півріччя.

    б) укажіть види динамічних рядів, поясніть їх особливості;

    в) обчислити  базисні і ланцюгові абсолютні прирости, темпи росту і приросту, темпи нарощування, поясните їх зміст і взаємозв'язок.