Статистичний аналіз показників діяльності підприємства

Аналітичне угрупування  дозволяє вивчити взаємозв'язок факторної  та результативної ознаки. Основні  етапи проведення такого угрупування:

1. Обгрунтування факторної  та результативної ознаки.

2. Підрахунок кількості  одиниць в кожній з груп, що  утворені.

3. Визначення обсягу ознак,  що варіюють, в границях створених  груп.

4. Розрахунок середніх  значень результативної ознаки.

Результати групування оформлюються у таблиці (див. табл. 2.6).

Кількість груп можна визначити  за формулою Стреджесса, методом «сігм» або прийняти самостійно.

 

Таблиця 2.6 - Схема аналітичного угрупування

Межі угрупування по факторній  ознаці,  хj	Кількість одиниць сукупності, fi	Середнє значення результативної ознаки у групі j,   уj
	f1	у1
	f2	у2
	::	::
Разом	fi	Х

 

Відомо, що якщо сукупність розбито на групи за певною ознакою  х, то для будь-якої іншої ознаки у можна обчислити середню  як у цілому по сукупності, так і  в кожній групі. Центром розподілу  сукупності в цілому є загальна середня 

                 або       або                     (2.6)

центром розподілу в j-й  групі — групова середня 

                                   або                                 (2.7)

де f_i – частота і-го елементу сукупності,

n_j = f_j - обсяг j-ї групи,

n - обсяг сукупності

Для перевірки істотності зв'язку можна використовувати  характеристику F-критерій (критерій Фішера), який визначається за формулою:

                                          ,                                          (2.8)

 

де  , - відповідно факторна (міжгрупова) та залишкова дисперсія

k₁, k₂ - число ступенів свободи відповідно факторної та залишкової дисперсії

                                               = m - 1;   

                                              = n – m                                                    (2.9)

 

де n, m - відповідно число  одиниць сукупності та кількість  груп.

 

                                                                            (2.10)

                                                                   (2.11)

 Тобто

                                                 ,                                               (2.12)

де

                                                                                 (2.13)

                                                                          (2.14)

 

де у_ij – значення показника у, якій відповідає і-му елементу в j–й групі

- середнє значення показника  у в j–й групі

 

Надалі одержане розрахункове значення F порівнюється за табличним (критичним), для визначеного рівня  істотності a (звичайно  0,05 або 0,01) та ступенів свободи k₁ та k₂ .

Якщо F_розр ≤ F _табл, то вплив відповідного фактора визнається неістотним. Якщо, навпаки,  F_розр ≥ F_табл – вплив істотний.

Сформований у результаті процедури, що описана, набір істотних факторів використовується на наступних  етапах дослідження: при побудові відповідних  парних моделей регресії або рівняння множинної регресії.

Надалі проведемо дослідження  зв'язку між одним фактором та однією ознакою, тобто аналіз моделі парної регресії. Рівняня регресії будемо досліджувати у вигляді Y= (де Y — розрахунковий (теоретичний) рівень результативної ознаки).

 

Розрахунок коефіцієнтів рівняння можна здійснити за формулами

 

                                                                             (2.15)

                                                                                  

Необхідно побудувати кореляційне  поле за емпіричними (вихідними) даними та «наложити» на нього лінію регресію, що побудована за визначенним рівнянням  регресії, що дозволяє зробити попередні  висновки про відповідність рівняння вихідним даним.

Вплив та напрямок однофакторного зв'язку характеризує лінійний коефіцієнт кореляції, який можна визначити  за формулою

 

                                                                  (2.16)

 

Зауважимо, що за формулою лінійного  коефіцієнту розраховуються також  парні коефіцієнти кореляції, які  характеризують тісноту зв'язку між  парами змінних, що розглядаються (без  урахування їх взаємодії з іншими змінними).

Показником тісноти зв'язку між результативною та факторною  ознакою є коефіцієнт детермінації (множинної кореляції)

                                         (2.17)

 

де  — загальна дисперсія ознаки y;

    -    факторна  дисперсія;

σ  - залишкова дисперсія

 

                                                                                  (2.18)

                                                                                 (2.19)

                                                                                  (2.20)

         

де Y, у - відповідно розрахункові та фактичні значення результативної ознаки.    

 Тобто 

 

                                                                                              (2.21)

Якщо , це свідчить про лінійний зв'зок між х та у.

Для встановлення адекватності моделі можна також використовувати F-критерій Фішера

                                    (2.22)

 

Тобто у випадку парної кореляції для лінійної моделі розрахункове значення F можна знайти за формулою

 

                                                         (2.23)

Як і в методі аналітичних  групувань, надалі одержане розрахункове значення F порівнюється за табличним (критичним) для визначеного рівня  істотності a (звичайно  0,05 або 0,01), тобто з F_α(1, n-2)

Якщо F_розр ≤ F _табл, то вплив відповідного фактора визнається неістотним. Якщо, навпаки,  F_розр ≥ F_табл – вплив істотний.

Необхідно також здійснювати  оцінку статистичної значущості коефіцієнтів b₀ та b₁. Така оцінка здійснюється за допомогою t-критерію Ст'юдента. При цьому визначають розрахункові (фактичні) значення:

-  для параметру b₁

                                                                                          (2.24)

-  для параметру b₀

                                                                                         (2.25)

 

де S(b) – середньоквадратичне  відхилення відповідного параметру

 

                                                                    (2.26)

 

                                                                                    (2.27)

де S²(b) – дисперсія відповідного параметру

Розрахункові значення t-критерію Ст'юдента порівнюють з табличними, які обираються в залежності від  рівня істотності a та числа ступенів свободи

n -m -1 (де n – обсяг вибірки, m - кількість факторних ознак,  що включено до моделі, тобто  для однофакторної моделі число  ступенів свободи дорівнює  n-2). Критичні значення можна визначити  за додатком 3 (наприклад, для одностороньої  критичної області t_0,05;14=1,76). Параметр визнається істотним, якщо розрахункове значення більше табличного [15].

За відповідними розрахунками можливо також одержати прогноз  довірчого інтервалу для значення y_n+1 та для його математичного очікування My_n+1.

Для значення y_n+1 границі довірчих меж визначаються за формулою

 

                                           (2.28)

 

Для значення My_n+1 границі довірчих меж визначаються за формулою

 

                            ,                      (2.29)

 

де S²- незсунена оцінка для залишкової вибіркової дисперсії

 

                                            ,                                   (2.30)

 

 

 

 

2.4. Методологія множинного  регресійного аналізу. 

 

Коли на величину результативної ознаки впливають два і більш фактори на практиці часто використовують рівняння множинної регресії. Одна з умов кореляційного аналізу - однорідність досліджуваної інформації. Критерієм однорідності інформації служать коефіцієнти варіації, які розраховуються по кожному факторному й результативному показнику,  та який показує відносну міру відхилення окремих значень від середньоарифметичної. Після відбору факторів і оцінки початкової інформації важливим завданням є моделювання зв'язку між факторним і результативним показником. На практиці найчастіше використовують багатофакторні лінійні моделі і моделі, які приводяться до лінійного вигляду відповідними перетвореннями, тобто

                                                          (2.31)

 

Рішення задачі багатофакторного кореляційного аналізу передбачає визначення парних коефіцієнтів кореляції, які характеризують тісноту зв'язку між парами змінних, що розглядаються (без врахування їхньої взаємодії  з іншими змінними). Парні коєфіцієнти  кореляції можна розрахувати  за формулою лінійного коефіцієнту (див. формулу 2.16).

Показником тісноти зв'язку між результативною та факторними ознаками є коефіцієнт множинної кореляції. У випадку лінійного двохфакторного зв'язку він може бути розрахован за формулою

 

                                                                       (2.32)

 

де r – лінійні (парні) коефіцієнти  кореляції.

Значення цього коефіцієнту  змінюється від 0 до 1. Коефіцієнт R² має назву множинного коефіцієнту детермінації та показує, яка частка варіації результативної ознаки обумовлена впливом факторів, що враховано.

Наступним етапом кореляційно  регресійного аналізу є побудова рівняння множинної регресії та визначення невідомих параметрів b₀, b₁ ,b₂ ,….,b_m обраноїх функції. Наприклад, рівняння двохфакторної лінійної регресії має вигляд

                                                                                 (2.33)

 

де Y - розрахункові значення результативної ознаки,

х_і – значення факторних ознак,

b₀, b₁ ,b₂ – параметри рівняння регресії.

Для визначення параметрів , ...  необхідно скласти і вирішити систему нормальних рівнянь. При двох факторах система рівнянь набуває вигляду

                                               (2.34)

Рівняння лінійної множинної  регресії можна також одержати, використовуючи програму «Microsoft Excel – Статистические функции – ЛИНЕЙН».  Функція  ЛИНЕЙН повертає масив {b_m; b_m-1; ...  ; b₁;b}, де m - кількість факторних ознак, що включено до моделі

Синтаксис функції ЛИНЕЙН

ЛИНЕЙН(відомі_значення_y;відомі_значення_x;конст;статистика)

Відомі_значення_y - це безліч значень y, що уже відомі для співвідношення y = b₁x₁ + b₂x₂ + ...  + b

Якщо масив відомі_значення y має один стовпець, то кожний стовпець масиву відомі значення x інтерпретується  як окрема змінна.

Якщо масив відомі значення y має один рядок, то кожний рядок  масиву відомі значення x інтерпретується  як окрема змінна.

Відомі значення x   - це необов'язкова множина значень x, що уже відомі для співвідношення y = b₁x₁ + b₂x₂ + ...  + b

Масив відомі значення x може містити одне або декілька множин змінних. Якщо використовується тільки одна змінна, то відомі значення y і  відомі значення x можуть бути масивами будь-якої форми за умови, що вони мають  однакову розмірність.  Якщо використовується більш однієї змінної, то відомі значення y повинні бути вектором (тобто інтервалом висотою в один рядок або шириною  в один стовпець).