Точечное оценивание

Министерство образования  и науки Российской Федерации

 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ  БЮДЖЕТНОЕ

 ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО  ОБРАЗОВАНИЯ 

«ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ»

 

Факультет экономики и  управления

 

Кафедра математических методов и моделей в экономике

 

 

 

ОТЧЕТ

По лабораторной работе №2

 

по дисциплине: «Теория вероятностей и математическая статистика»

по теме: «Точечное оценивание»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 Руководитель  работы                                                                    

                                             _______________ Д.В. Корнейченко

                                              “____ “  _______________ 2013  г.                          

                                             Исполнитель 

                                             cтудент группы 11Эк(б)ФК-2

                                                                         ________________

                                               “____ “   ______________ 2013  г.                                           

 

 

 

 

 

Оренбург 2013

 

Содержание

 

 

Задание…………………………………………………………………………  3

1 Теоретическая часть  ………………………………………………………   4

1.1 Задача точечного оценивания. Требования к точечным оценкам...…...   4

1.2 Методы построения точечных оценок.…………………………….……   5

2 Практическая часть ………………………………………………………..  10 

2.1 Оценки характеристик  по сгруппированным данным..………………… 10

2.2 Оценки характеристик  по исходным данным………..…………………  12

2.3 Сравнение полученных  результатов……………………………………   13

2.4 Интерпретация характеристик  генеральных совокупностей…………    14

Приложение А – Исходные данные…………………………………………   17

Приложение Б – Интервальные вариационные ряды……………………… 18

 

Задание

 

 

Даны 3 выборки из генеральных  совокупностей (Приложение А) и 3 интервальных вариационных ряда (Приложение Б). По представленным данным выполнить следующие задания:

1) По сгруппированным  данным  (интервальным вариационным  рядам), полученным в лабораторной  работе №1, рассчитать точечные  оценки для следующих характеристик  генеральной совокупности:

• Математическое ожидание;
• Дисперсия;
• Среднеквадратическое отклонение;
• Коэффициент асимметрии;
• Коэффициент эксцесса;
• Мода;
• Медиана

2) С помощью надстройки  Excel (описательная статистика) получить оценки перечисленных выше характеристик генеральной совокупности по исходным выборкам.

3) Провести анализ результатов,  полученных по сгруппированным  данным в пункте 1 и по исходным  данным – выборкам – в пункте 2. Если значения различаются,  объяснить, почему так?

4) Написать содержательную  интерпретацию характеристик генеральной  совокупности.

 

 

 

1 Теоретическая  часть

1.1 Задача точечного оценивания. Требования к точечным оценкам

 

 

Задача оценивания неизвестных параметров возникает в тех случаях, когда закон распределения генеральной совокупности известен с точностью до параметров (т.е. вид закона известен, параметры неизвестны)

Статистику , выборочное значение которой для любой реализации x_1,n, принимают за наилучшее приближенное к неизвестному параметру , называют точечной оценкой параметра , а значение - значением точечной оценки.

Очевидно, что статистику ,  можно строить по-разному на основе . Возникает вопрос: какими свойствами должна обладать статистика, чтобы являться точечной оценкой? Очевидно, необходимо чтобы ,   с высокой вероятностью давало значение, близкое к

 

Требования  к точечным оценкам:

1. Состоятельность;

2. Несмещенность;

3. Эффективность.

 

I. Статистика называется состоятельной  оценкой параметра, если при она стремится по вероятности к, т.е.

 

Как правило, требование состоятельности  обеспечивается теоремами больших  чисел.

II. Следующим естественным требованием, независящем от n, является требование несмещенности оценки, согласно которому оценка не дает систематической погрешности в сторону завышения либо занижения значения.

Статистику  называют несмещенной оценкой параметра , если математическое ожидание равно оценки равно значению оценки:

 

Если это требование невыполнимо, то оценку называют смещенной.

Следует отметить, что различные  несмещенные оценки могут иметь  разную дисперсию, что в дальнейшем сказывается на точности оценки.

 

III. Третьим требованием является требование эффективности.

Если в некотором классе несмещенных оценок параметра  существует такая оценка , которая по сравнению с другими оценками из этого класса обладает наименьшей дисперсией, то оценка называется эффективной.

 

Эффективная оценка может  быть только одна, что следует из теоремы единственности эффективности  оценки.

Для доказательства эффективности  оценки в случае, когда вид закона распределения генеральной совокупности известен, используется следующая теорема – неравенство Рао-Крамера:

Если  - несмещенная оценка параметра генеральной совокупности с плотностью распределения, то имеет место неравенство:

 ,

Где – дисперсия оценки,

 – количество информации (по Фишеру), содержащемся в одном наблюдении.

Оценка  называется эффективной по Рао-Крамеру, если

 

Эффективная оценка по Рао-Крамеру является эффективной.

 

1.2 Методы построения точечных  оценок

 

 

I. Метод аналогии:

Суть метода в том, что  для оценки параметров генеральной  совокупности выбираются аналогичные  параметры выборочного распределения, на которые смотрят как на распределение  конечной генеральной совокупности («кси с волной»), характеризующейся следующим распределением:

Таблица 1 – Распределение  генеральной совокупности

xi	X(1)	X(2)	…	X(n)
Pi	1/n	1/n	…	1/n

 

 

Построим с помощью  этого метода оценки основных числовых характеристик ξ:

• математическое ожидание;
• – дисперсия;
• – среднеквадратическое отклонение;
• – коэффициент асимметрии;
• – коэффициент эксцесса;
• – мода;
• – медиана.

1. Среднее арифметическое  (выборочное среднее) –   является выборочным аналогом математического ожидания. Математическое ожидание характеризует положение распределения случайной величины на оси х. Выборочная средняя равна оценке начального момента первого порядка.

Точечная  оценка математического ожидания:

 

Значение  точечной оценки математического ожидания:

 

На рисунке 1 приведены графики плотности нормального распределения вероятностей с разными значениями математического ожидания.

Рисунок 1 - Плотность нормального распределения вероятностей с разными значениями математического ожидания (на графике по оси абсцисс – значения случайной величины; по оси ординат – вероятность появления данного значения случайной величины)

 

2. Характеристики степени рассеяния значений случайной величины дают представление о том, как сильно могут отклоняться от своего центра группирования выборочные наблюдения.  Выборочная дисперсия определяется как второй центральный момент.

Точечная  оценка выборочной дисперсии:

 

Значение  точечной оценки выборочной дисперсии:

 

3. Выборочное среднеквадратическое отклонение (СКО) используется наряду с выборочной дисперсией для характеристики степени отклонения наблюдаемых значений от среднего значения и оказывается в ряде случаев более удобным и естественным, так как СКО имеет ту же размерность, что и сама анализируемая случайная величина и соответственно характеристики центра группирования.

Точечная  оценка среднеквадратического отклонения:

 

 

Значение точечной оценки среднеквадратического отклонения:

 

На рисунке 2 представлен вид плотности нормального распределения вероятностей при разных СКО и одинаковом математическом ожидании.

Рисунок 2 - Плотность нормального распределения вероятностей при разных СКО и одинаковом математическом ожидании

4. В качестве характеристики формы распределения, отражающей асимметрию распределения, служит коэффициент асимметрии – характеристика степени скошенности распределения. Выборочный коэффициент асимметрии рассчитывается с помощью второго и третьего  центральных выборочных моментов.

Точечная  оценка коэффициента асимметрии:

 

Значение  точечной оценки коэффициента асимметрии:

 

Все симметричные распределения  имеют нулевой коэффициент асимметрии. Положительная асимметрия – вершина  распределения слева от центра симметрии (или длинная часть распределения  справа); отрицательная асимметрия -  вершина распределения справа от центра симметрии (длинная часть  распределения слева) (см. рисунок 3).

Рисунок 3 - Плотности распределения вероятностей с разными коэффициентами асимметрии

5. Выборочный эксцесс  является характеристикой «островерхности» плотности распределения. Своеобразным аналогом отсчета в измерении степени островершинности служит нормальное распределение, для которого коэффициент эксцесса равен нулю. Для островершинного (по сравнению с нормальным) распределения - , а для плосковершинного  .

Точечная  оценка коэффициента эксцесса:

 

Значение  точечной оценки коэффициента эксцесса:

 

 

6. Модой M_o называется варианта, имеющая наибольшую частоту или относительную частоту.

 

7. Медианой M_e называется варианта, которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант

 

 

Полученные формулы позволяют  рассчитать оценки числовых характеристик  на основе исходной выборки.

 

2. Методы наименьших квадратов. Согласно этому методу оценка стоится исходя из минимизации суммы квадратов отклонений выборочных данных относительно точечной оценки.

 

3. Метод максимального правдоподобия. Согласно этому методу, необходимо построить функцию правдоподобия случайно выборки ξ_1,n из генеральной совокупности ξ с плотностью распределения .

Функция правдоподобия:

 

 

Оценкой максимального правдоподобия  параметра  называют статистику , значения которой для любой выборки удовлетворяют условию:

 

 

 

 

2 Практическая часть

2.1 Оценки характеристик  по сгруппированным данным

 

 

Имеются 3 интервальных ряда (Приложение Б). С помощью формул в разделе «Методы построения точечных оценок» находим значения точечных оценок математического ожидания, выборочной дисперсии, среднеквадратического отклонения, моды, медианы, коэффициентов эксцесса и асимметрии.

Значения  точечных оценок по 1ой выборке из генеральной  совокупности:

• Выборочное среднее:

;

• Выборочная дисперсия:

;

• Среднеквадратическое отклонение:   ;
• Мода:              ;
• Медиана:        ;
• Коэффициент асимметрии:

0,073

• Коэффициент эксцесса:

-0,83

Значения  точечных оценок по 2ой выборке из генеральной совокупности:

 

• Выборочное среднее: