Точечное оценивание

266,646;

• Выборочная дисперсия:

51,6;

• Среднеквадратическое отклонение:   7,19;
• Мода:              ;
• Медиана:        ;
• Коэффициент асимметрии:

0,21

• Коэффициент эксцесса:

-1,22;

Значения  точечных оценок по 3ой выборке из генеральной совокупности:

• Выборочное среднее:

;

• Выборочная дисперсия:

;

• Среднеквадратическое отклонение:   ;
• Мода:              ;
• Медиана:        ;
• Коэффициент асимметрии:
• Коэффициент эксцесса:

 

2.2 Оценки характеристик  по исходным данным

 

 

На основе исходных данных (Приложение  А) по трем выборкам из генеральных совокупностей с  помощью надстройки в программе  Excel «Описательная статистика» получены следующие значения:

 

Таблица 2 - Оценки характеристик по исходным данным из Excel

x1		x2		x3
Среднее	255,38	Среднее	266,78	Среднее	30,53122
Стандартная ошибка	1,042716	Стандартная ошибка	1,055709	Стандартная ошибка	4,679729
Медиана	255,5	Медиана	265,5	Медиана	17,45
Мода	250	Мода	260	Мода	12,9
Стандартное отклонение	7,373117	Стандартное отклонение	7,464993	Стандартное отклонение	33,09068
Дисперсия выборки	54,36286	Дисперсия выборки	55,72612	Дисперсия выборки	1094,993
Эксцесс	-0,73343	Эксцесс	-1,04674	Эксцесс	4,930709
Асимметричность	0,221989	Асимметричность	0,198571	Асимметричность	2,01778
Интервал	31	Интервал	25	Интервал	159,869
Минимум	242	Минимум	255	Минимум	0,131
Максимум	273	Максимум	280	Максимум	160
Сумма	12769	Сумма	13339	Сумма	1526,561
Счет	50	Счет	50	Счет	50

 

2.3 Сравнение полученных  результатов 

 

Можно наглядно представить значения оценок, полученных по исходным данным, и оценок, полученных по сгруппированным данным:

Таблица 3 – Сравнение  полученных оценок

№ выборки	Наименование  характеристики	Значения по сгруппированным  данным	Значения по исходным данным
1я выборка	Выборочное среднее		255,38
	Выборочная дисперсия		54,36286
	Среднеквадратическое отклонение		7,373117
	Мода		250
	Медиана		255,5
	Коэф. асимметрии	0,073	0,221989
	Коэф. эксцесса	-0,83	-0,73343
2я выборка	Выборочное среднее	266,7	266,78
	Выборочная дисперсия	51,6	55,72612
	Среднеквадратическое отклонение	7,19	7,464993
	Мода		260
	Медиана		265,5
	Коэф.  асимметрии	0,21	0,198571
	Коэф. эксцесса	-1,22	-1,04674
3я выборка	Выборочное среднее		30,53122
	Выборочная дисперсия	909,9	1094,993
	Среднеквадратическое отклонение		33,09068
	Мода		12,9
	Медиана		17,45
	Коэф. асимметрии	2	2,01778
	Коэф. эксцесса	4	4,930709

Как видно из таблицы 3, значения, полученные на основе сгруппированных  данных, и значение, полученные на основе исходных данных, несколько различаются, что можно списать на: погрешность при расчетах; упорядоченность сгруппированных данных; возможно, применение различных формул;  достаточно большие округления при собственных расчетах и др. Эти различия не столь существенны, ими можно пренебречь.

2.4 Интерпретация характеристик  генеральных совокупностей 

 

 

Для содержательной интерпретации  характеристик каждой генеральной  совокупности будем использовать значения, полученных на основе сгруппированных  данных, т.е. на значения характеристик, рассчитанных самостоятельно.

 

Интерпретация первой генеральной  совокупности:

Выборочное среднее равно  , это значит, что среднее значение всей генеральной совокупности составляет .

Выборочная дисперсия  равна 48,72, это значит, что степень  отклонения всех значений генеральной  совокупности от среднего значения совокупности составляет 48,72.

Среднеквадратическое отклонение равно 6,98, это значит, что степень  отклонения (рассеивания) значений генеральной  совокупности от среднего значения совокупности составляет 6,98.

Мода равна 255,5, это значит, что самое распространенное значение в генеральной совокупности составляет 255,5.

Медиана равна 255,29, это значит, что 50% значений генеральной совокупности меньше 255,29, а другие 50% значений –  больше 255,29.

Коэффициент асимметрии равен  0,073, это значит, что вершина выборочного распределения находится слева от центра симметрии на величину 0,073, но это значение близко к нулю, следовательно, распределение генеральной совокупности имеет симметрию, близкую к нормальному.

Коэффициент эксцесса равен  -0,83, это значит, что распределение генеральной совокупности – плосковершинное, но это значение также близко к значению «вершинности» нормального распределения.

Т.к. значения выборочного  среднего, медианы и моды приблизительно равны , а значение коэффициента асимметрии почти стремится к нулю (0,073), то можно сделать вывод, что закон распределения 1ой генеральной совокупности имеет нормальный закон распределения, т.к. у нормального закона распределения характеристики: , As=0

 

 

 

 

Интерпретация второй генеральной  совокупности:

Выборочное среднее равно  266,7, это значит, что среднее значение всей генеральной совокупности составляет 266,7.

Выборочная дисперсия  равна 51,6, это значит, что степень отклонения всех значений генеральной совокупности от среднего значения совокупности составляет 51,6.

Среднеквадратическое отклонение равно 7,19, это значит, что степень  отклонения (рассеивания) значений генеральной  совокупности от среднего значения совокупности составляет 7,19.

Мода равна 260,4, это значит, что самое распространенное значение в генеральной совокупности составляет 260,4.

Медиана равна 265,71, это значит, что 50% значений генеральной совокупности меньше 265,71, а другие 50% значений –  больше 265,71.

Коэффициент асимметрии равен 0,21, это значит, что вершина выборочного распределения находится слева от центра симметрии на величину 0,21.

Коэффициент эксцесса равен  -1,22, это значит, что распределение генеральной совокупности - плосковершинное.

Т.к. значения выборочного  среднего и медианы приблизительно равны , а значение коэффициента эксцесса равно -1,22, то можно сделать вывод, что закон распределения 2ой генеральной совокупности имеет равномерный закон распределения, т.к. у равномерного закона распределения: , Ex = -1,2.

 

Интерпретация третьей генеральной  совокупности:

Выборочное среднее равно  , это значит, что среднее значение всей генеральной совокупности составляет .

Выборочная дисперсия  равна 909,9, это значит, что степень  отклонения всех значений генеральной  совокупности от среднего значения совокупности составляет 909,9.

Среднеквадратическое отклонение равно 30,2, это значит, что степень  отклонения (рассеивания) значений генеральной  совокупности от среднего значения совокупности составляет 30,2.

Мода равна 15,2, это значит, что самое распространенное значение в генеральной совокупности составляет 15,2.

Медиана равна 23, это значит, что 50% значений генеральной совокупности меньше 23, а другие 50% значений –  больше 23.

Коэффициент асимметрии равен 2, это значит, что вершина выборочного распределения находится слева от центра симметрии на величину 2.

Коэффициент эксцесса равен 4, это значит, что распределение  генеральной совокупности - островершинное.

Т.к. значения выборочного  среднего и среднеквадратического  отклонения приблизительно равны , то можно сделать вывод, что закон распределения 3ей генеральной совокупности имеет показательный закон распределения, т.к. у показательного закона распределения:  .

 

 

Приложение А

(обязательное)

 

Таблица 4 – Исходные данные

 

Х1		Х2	Х3
242		255	0,131
244		255	1,32
245		255	2
245		257	2,42
246		257	3,65
246		257	4,66
246		258	5,11
247		258	5,23
247		259	6,25
248		260	6,38
248		260	6,54
250		260	6,8
250		260	7,42
250		261	7,6
250		261	7,98
251		261	8,17
251		262	10,1
251		264	11,6
252		264	11,7
252		264	12
253		264	12,2
253		265	12,9
253		265	12,9
255		265	15,3
255		265	17,2
256		266	17,7
256		267	21,1
257		267	23,6
257		268	25
257		269	25,4
258		269	27,7
258		270	31,1
258		270	35,1
259		271	38
259		271	38,8
259		271	39,9
260		272	42,1
260		272	42,3
263		274	44,4
263		274	44,7
263		274	49,6
264		274	56
264		276	60
264		277	66
264		278	70,1
266		279	73,4
266		279	80,3
267		279	83,7
268		280	133
273	280		160

 

Приложение Б

(обязательное)

 

Интервальные  вариационные ряды

 

 

 

Таблица 5 – Интервальный вариационный ряд для 1й выборки из генеральной совокупности

 

Zi	[242 - 246,43)	[246,43 - 250,86)	[250,86 - 255, 29)	[255, 29 - 259,72)	[259,72 - 264,15)	[264,15 -  268, 58)	[268, 58 - 273]
ni	7	8	10	11	9	4	1
nнакопл	7	15	25	36	45	49	50
	244,2	248,7	253,1	257,5	261,9	266,4	270,8

 

 

 

Таблица 6 – Интервальный вариационный ряд для 2й выборки из генеральной совокупности

 

Zi	[255-258,57)	[258,57- 262,14)	[262,14- 265,71)	[265,71- 269,28)	[269,28- 272,85)	[272,85- 276,42)	[276,42- 280]
ni	8	9	8	6	7	5	7
nнакопл	8	17	25	31	38	43	50
	256,8	260,4	263,9	267,5	271,1	274,6	278,2

 

 

Таблица 7 – Интервальный вариационный ряд для 3й выборки из генеральной совокупности

 

Zi	[0,131- 22,97)	[22,971 - 45, 81)	[45, 811 - 68,65)	[68,651 - 91,49)	[91,491 - 114,33)	[114,331 - 137,17)	[137,171- 160]
ni	27	13	4	4	0	1	1
nнакопл	27	40	44	48	48	49	50
	11,551	34,391	57,231	80,071	102,911	125,751	148,59