Расчет шарнирно-консольных балок

Для перемножения эпюр сложной формы их необходимо разбивать на простейшие. Например, для перемножения двух эпюр, имеющих вид трапеции, нужно одну из них разбить на треугольник и прямоугольник, умножить площадь каждого из них на ординату второй эпюры, расположенную под соответствующим центром тяжести, и результаты сложить. Аналогично поступают и для умножения криволинейной трапеции на любую линейную эпюру.

Если указанные выше действия проделать в общем виде, то получим для таких сложных случаев формулы, удобные для использования в практических расчетах (рис.2.3). Так, результат перемножения двух трапеций (рис.2.3,а):

 
                                 
Рис. 29

 
По формуле (2.21) можно перемножить и эпюры, имеющих вид "перекрученных" трапеций (рис.30,б), но при этом произведение ординат, расположенных по разные стороны от осей эпюр, учитывается со знаком минус.

 
Если одна из перемножаемых эпюр очерчена по квадратной параболе (что соответствует нагружению равномерно распределенной нагрузкой), то для перемножения со второй (обязательно линейной) эпюрой ее рассматривают как сумму (рис.30,в) или разность (рис.30,г) трапециидальной и параболической эпюр. Результат перемножения в обоих случаях определяется формулой: 
                                   (2.2)

 
но значение  f при этом определяется по-разному (рис. 2.3, в, г).

 

 
Рис. 2.3

 
Возможны случаи, когда ни одна из перемножаемых эпюр не является прямолинейной, но хотя бы одна из них ограничена ломаными прямыми линиями. Для перемножения таких эпюр их предварительно разбивают на участки, в пределах каждого из которых по крайней мере одна эпюра являетя прямолинейной. 
Рассмотрим использование правила Верещагина на конкретных примерах. 

 

Пример 1. Определить прогиб в середине пролета и угол поворота левого опорного сечения балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой (рис.2.4,а), способом Верещагина.

 
Последовательность расчета способом Верещагина – такая же, как и в методе Мора, поэтому рассмотрим три состояния балки: грузовое – при действии распределенной нагрузки q; ему соответствует эпюра Mq (рис.2.4,б), и два единичных состояния  - при действии силы   приложенной в точке С (эпюра  , рис.2.4,в), и момента  , приложенного в точке В (эпюра  , рис.2.4,г).

 
Прогиб балки в середине пролета:

 
.

 
Аналогичный результат был получен ранее методом Мора .Следует обратить внимание на тот факт, что перемножение эпюр выполнялось для половины балки, а затем, в силу симметрии, результат удваивался. Если же площадь всей эпюры Mq умножить на расположенную под ее центром тяжести ординату эпюры  ( на рис.2.4,в), то величина перемещения будет совершенно иной и неправильной так как эпюра   ограничена ломаной линией. На недопустимость такого подхода уже указывалось выше.

 
А при вычислении угла поворота сечения в точке В можно площадь эпюры Mq умножить на расположенную под ее центром тяжести ординату эпюры  ( , рис.2.4,г), так как эпюра  ограничена прямой линией:

 

 
 

 

 
Рис. 2.4 

 

Пример 2. Определить горизонтальное и вертикальное перемещения точки А в раме (рис.2.5,а).

 
Как и в предыдущем примере, для решения задачи необходимо рассмотреть три состояния рамы: грузовое и два единичных. Эпюра моментов MF, соответствующая первому состоянию, представлена на рис.2.5,б. Для вычисления горизонтального перемещения прикладываем в точке А по направлению искомого перемещения (т.е. горизонтально) силу  , а для вычисления вертикального перемещения силу   прикладываем вертикально (рис.32,в,д). Соответствующие эпюры   и   показаны на рис.2.5,г,е.

 
Горизонтальное перемещение точки А:

 
 
При вычислении   на участке АВ трапеция (эпюра  MF) разбита на треугольник и прямоугольник, после чего треугольник с эпюры  "умножен" на каждую из этих фигур. На участке ВС криволинейная трапеция разделена на криволинейный треугольник и прямоугольник, а для перемножения эпюр на участке СД использована

 
Знак " - ", полученный при вычислении  , означает, что точка А перемещается по горизонтали не влево (в этом направлении приложена сила  ), а вправо. 
Вертикальное перемещение точки А:

 
 
Здесь знак " - " означает, что точка А перемещается вниз, а не вверх.

 
Отметим, что единичные эпюры моментов, построенные от силы  , имеют размерность длины, а единичные эпюры моментов построенные от момента  , являются безразмерными. 

 

Рис.2.5

 

 

 

 

 

2.2 Определение перемещений  в статически неопределимых системах

Механическая стержневая конструкция считается статически неопределимой, если число внутренних силовых факторов (реакций) превышает число возможных независимых уравнений статического равновесия. Исходя из определения балка, изображенная на рисунке (в начальный момент), однократно статически неопределима. Если в этой статически неопределимой системе удалить одну из опор, например, среднюю (рисунок, конечный момент), то она становится статически определимой. Стержневые системы следует разделять на геометрически замкнутые и геометрически разомкнутые. Такое деление связано с особенностями статической неопределимости. Например, стержневая система, образованная замкнутой цепью жестко связанных элементов, представляет собой статически неопределимую рамную конструкцию.

В общем случае раскрыть статическую неопределимость помогают приемы, в основу которых положены методы расчета деформаций. Для того чтобы систему из статически неопределимой преобразовать в статически определимую, необходимо отбросить лишние связи, заменив их неизвестными реакциями  . Величины этих реакций подбираются исходя из граничных условий. Для абсолютно жестких опор в качестве граничного можно использовать, к примеру, условие равенства нулю перемещений точек расположения опор в направлениях соответствующих реакций. Кроме этого, допустимо утверждать, что при использовании метода сечений для замкнутого контура относительное перемещение точек приложения внутренних силовых факторов также равно нулю. Если использовать принцип суперпозиции (независимого действия сил), то аналитически условие равенства относительных перемещений запишется в виде системы линейных уравнений

Здесь   и   - перемещения в направлении реакции   , обусловленные силой   и внешними силами F соответственно. Представим перемещение   как произведение  , где   - перемещение в направлении силового фактора   , вызванное действием единичной   -ой силы. В этих обозначениях систему уравнений можно переписать в виде

Решение системы уравнений относительно реакций опор   позволяет определить величины неизвестных реакций. Таким образом, раскрытие статической неопределимости свелось к расчету нагрузок в опорах. Такой метод получил название метода сил. Этот метод не единственный, но он является наиболее распространенным. В частности, метод сил широко используется при расчете металлоконструкций произвольной геометрической формы.  

 

Практическое применение метода расчета статически неопределимых систем рассмотрим на примере рамы, остоящей из двух независимых участков СВ и ВА одинаковой длины   с постоянным поперечным сечением (рисунок 1а).

Рисунок 1

Участок СВ нагружен распределенной нагрузкой  . Эта рамная конструкция оказывается дважды статически неопределимой, так для определения неизвестных реакций опор не хватает двух уравнений. Отбросим одну из опор, как показано на рисунке. Для того чтобы получить статически определимую конструкцию, вместо отброшенной опоры следует приложить неизвестные реакции   и   (рисунок 1b), которые согласно определяются из системы уравнений

Коэффициенты  , i, j = 1,2 , уравнения, которые представляют собой перемещения, вызванные единичными силами, можно определить методом Мора, записав выражения для изгибающих моментов от этих силовых факторов. При этом для упрощения записи индекс "n" в обозначении внутреннего изгибающего момента будем опускать. Так,   и   - изгибающие моменты от единичной нагрузки, приложенные в направлениях силовых факторов   и   соответственно. Графическое представление зависимости этих изгибающих моментов от координаты z текущего сечения приведено на рисунке 1c,d.

Свяжем с началом каждого участка локальную систему координат, в которой и выполняются все дальнейшие вычисления:

Как следует из графика зависимости изгибающего момента, вызванного действием распределенной нагрузки   , от текущей координаты z (рисунок 1 е), на интересующем нас участке СВ уравнение момента имеет вид  ,следовательно, перемещение в направлении реакции опоры   , обусловленное внешними силами (в данном случае распределенной внешней силой  ), равно

Аналогично для перемещения в направлении силового фактора   запишем

Подстановка уравнений и выражения в систему уравнений преобразует ее к виду

откуда получаем выражения для реакции в опоре:

Знак " -" у реакции   в выражении говорит о том, что она имеет противоположное по отношению к первоначально выбранному направление. 
Зная реакции, легко построить эпюры изгибающих моментов, необходимые для определения напряжений в текущем сечении. Для построения эпюр следует просуммировать моменты от каждого из силовых факторов (рисунок 1 f). Из выражения следует, что на участке СВ изгибающий момент описывается функцией  , так что   при   и   при  . Точка экстремума   функции   находится из условия , откуда  , причем, с учетомформулы,  . Далее, при переходе через нулевую линию из выражения имеем  , т.е.  .

Изгибающий момент на участке ВА описывается линейной функцией ,

причем в конечной точке участка (точка А с координатой   ) имеем  .

Результаты расчета изгибающих моментов представлены на рисунке 1g.

Для того чтобы сократить общий объем вычислений при выполнении аналитического расчета, очень важно уменьшить количество неизвестных параметров. В отдельных случаях это оказывается возможным. В качестве примера рассмотрим симметричную рамную конструкцию при симметричном нагружении (рисунок. 2 а).

Рисунок 2

Если рассечь эту раму в точке А, то внутренние силовые факторы в этом сечении можно заменить неизвестными внешними параметрами   и  , (рисунок 2 b). Действуя аналогично рассмотренному выше случаю, легко построить эпюры изгибающих моментов (рисунок 2 c,d,e). Из анализа представленных графиков видно, что эпюры моментов неизвестных продольных сил   и  симметричны (рисунок 2 c,d), в то время как поперечные силы   , обуславливают возникновение изгибающего момента, эпюра которого имеет так называемую кососим метричную форму (рисунок 2 е). Эпюра момента изгиба внешних сил, как видно из рисунка 2 f, также оказывается симметричной.

Такой вид эпюр моментов позволяет сделать вывод о том, что перемещения, которые в соответствии с формулой Мора  представляют собой произведения соответствующих моментов, оказываются равными нулю,  . Это очевидно, так как сумма произведений моментов от симметричных и несимметричных силовых факторов равна нулю (рисунок 2).

Очевидно также, что если эпюра внешнего момента изгиба симметрична, то  . Тогда из системы уравнений следует  . Это означает, что те силовые факторы, которые при симметричном нагружении симметричных конструкций имеют кососимметричную эпюру изгибающих моментов, равны нулю, и ими можно пренебречь. Количество неизвестных сил при этом уменьшается. Отметим, что подобное уменьшение количества неизвестных параметров возможно только для задач, имеющих симметрию.

Аналогично можно показать, что при кососимметричном внешнем нагружении внутренние симметричные факторы также равны нулю,  ,  . 
Используя последнее утверждение, можно облегчить решение многих практически важных задач. Покажем это на примере расчета геометрически замкнутого кольца при его симметричном нагружении (рисунок 3 а).

Рисунок 3

Изображенная на рисунке 3 а кольцевая рама, находящаяся под действием симметричной нагрузки, является статически неопределимой вследствие своей конструктивной замкнутости. Для нахождения неизвестных силовых факторов  ,   и   воспользуемся методом сечений (рисунок 3 b).