Задача теплопроводности в пластине при различных условиях нагрева и охлаждения

Министерство  образования Республики Беларусь 

Учреждение  образования 

«Гомельский государственный  университет 

имени Франциска Скорины» 

Факультет математический

Кафедра вычислительной математики и программирования 
 
 
 
 
 

ЗАДАЧА  ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ В  ПЛАСТИНЕ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ УСЛОВИЯХ НАГРЕВА И ОХЛАЖДЕНИЯ 
 

Курсовая  работа 
 
 
 
 

Исполнитель:

студент группы  ________________

                             

Научный руководитель:

к.т.н., доцент    ________________        
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Гомель 2010

 

РЕФЕРАТ 

      Курсовая  работа страницы, таблица, рисунков, 2 приложения, 10 источников. 

     Ключевые  слова: 
 

      Объект  исследования: пластина. 

      Предмет исследования:  

      Методы  исследования: метод сеток для уравнения параболического типа.  

      Цель курсового проекта:  

      Задачами  курсового проекта являются:

       

      Выводы:

 

СОДЕРЖАНИЕ

 

ВВЕДЕНИЕ 

       Теплопередача или теплообмен — учение о самопроизвольных необратимых процессах распространения  теплоты в пространстве. Под процессом  распространения теплоты, понимается обмен внутренней энергией между  отдельными элементами, областями рассматриваемой среды. Перенос теплоты осуществляется тремя основными способами: теплопроводностью, конвекцией и тепловым излучением.

       Теплопроводность  представляет собой молекулярный перенос  теплоты в телах (или между  ними), обусловленный переменностью  температуры в рассматриваемом пространстве.

Конвекция возможна только в текучей среде. Под конвекцией теплоты понимают процесс ее переноса при перемещении  объемов жидкости или газа (текучей  среды) в пространстве из области  с одной температурой в область  с другой. При этом перенос теплоты неразрывно связан с переносом самой среды.

       Тепловое  излучение — процесс распространения  теплоты с помощью электромагнитных волн, обусловленный только температурой и оптическими свойствами излучающего  тела; при этом внутренняя энергия  тела (среды) переходит в энергию излучения. Процесс превращения внутренней энергии вещества в энергию излучения, переноса излучения и его поглощения веществом называется теплообменом излучением. В природе и технике элементарные процессы распространения теплоты — теплопроводность, конвекция и тепловое излучение — очень часто происходят совместно.

Теплопроводность  в чистом виде большей частью имеет  место лишь в твердых телах.

       Конвекция теплоты всегда сопровождается теплопроводностью  Совместный процесс переноса теплоты конвекцией и теплопроводностью называется конвективным теплообменом.

В инженерных расчетах часто определяют конвективный теплообмен между потоками жидкости или газа и поверхностью твердого тела; этот процесс конвективного  теплообмена называют конвективной теплоотдачей или теплоотдачей.

       Процессы  теплопроводности и конвективного  теплообмена могут сопровождаться теплообменом излучением. Теплообмен, обусловленный совместным переносом  теплоты излучением и теплопроводностью, и называют радиационно-кондуктивным теплообменом. Если перенос теплоты осуществляется дополнительно и конвекцией, то такой процесс называют радиационно-конвективным теплообменом. Иногда радиационно-кондуктивный и радиационно-конвективный перенос теплоты называют сложным теплообменом.

       В технике и в быту часто происходят процессы теплообмена между различными жидкостями, разделенными твердой стенкой.

       Теплопередача является сравнительно молодой наукой. Особенно бурно она развивается  в последние десятилетия. Большой  вклад в развитие учения о теплообмене сделан советскими учеными В. М. Кирпичевым, М. А. Михеевым, А. А. Гухманом, Г. Н. Кружилиным, С. С. Кутателадзе, А. В. Лыковым, А. А. Жукаускасом, Д. А. Лабунцовым, А. И. Леонтьевым, Б. С. Петуховым, В. И. Субботиным, Ю. А. Суриновым и многими другими. 

 

        1. ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ  ПЛОСКОЙ ПОЛУОГРАНИЧЕННОЙ  ОДНОРОДНОЙ ПЛАСТИНЫ 

       1.1 Постановка задачи 

       Рассмотрим  плоскую однородную пластину шириной  δ с постоянным коэффициентом теплопроводности λ и неограниченным размером в направлении оси Оу (рис. 1).

       

       Рисунок – 1.Полуограниченная пластина 

       Предполагается, что на поверхностях пластины, определяемых координатами х=0, х=δ и у->∞ температура поддерживается постоянной и равной t₁, а вдоль поверхности y=0 температура является функцией координаты х, т. е. t=f(x). Предполагается, что пластина относительно тонкая в направлении оси Oz, а поверхности, параллельные координатной плоскости хОу, имеют идеальную тепловую изоляцию. Ввиду этого градиентом температур можно пренебречь, и температурное поле такой пластины будет двухмерным.

       Для двухмерной стационарной задачи без  внутренних источников теплоты дифференциальное уравнение теплопроводности запишется:

или

                                               _(1.1)

где θ — избыточная температура, отсчитанная от t₁, т. е. θ=t- t₁.

       Граничные условия:

                                   _(1.2) 

       1.2 Схема решения задачи 

       Для решения уравнения в частных  производных (1.1) воспользуемся методом  разделения переменных. Предположим, что θ=f(x,y)=φ(x)ψ(y).Тогда уравнение (1.1) приводится к виду

                                        _(1.3)

       Правая  и левая части уравнения одинаковы  и постоянны. Обозначим их через  –ε². Таким образом, мы получаем два обыкновенных дифференциальных уравнения:

                                              _(1.4)

                                        _(1.5)

       Решением  дифференциального уравнения (1.4) является функция вида:

                            _(1.6)

       Общее решение уравнения (1.5) будет иметь вид:

                                    _(1.7)

       Общее решение уравнения (1.1) получим после  перемножения уравнений (1.6) и (1.7). Решение (1.6) будет удовлетворять граничному условию θ=0 при х=0, когда φ(x)=0 при x=0, а это возможно при C₁=0. Условие θ=0 при у->∞ выполняется тогда, когда ψ(y)=0 при у->∞, что возможно лишь при С₃=0. Таким образом, решение для (1.1) приводится к виду

       Для того чтобы полученное выражение  удовлетворяло граничным условиям θ =0 при х=δ, должно быть sin (εδ)=0 или ε=nπ/δ (где n= 1, 2, 3 ...).

       Каждому значению n соответствует частное решение, а каждому частному решению соответствует свое значение постоянной интегрирования. Общее решение есть сумма частных решений для всех последовательных положительных значений чисел n:

                                  _(1.8)

       Полученное  решение удовлетворяет и третьему граничному условию, т. е. θ =0 при у->∞.

       Оставшиеся  постоянные C_n определяются из граничных условии θ =F(x) при у=0. При этом

       Это равенство есть разложение функции  F(x) в ряд Фурье по синусам. Коэффициенты ряда Фурье определяются следующим выражением:

       Окончательное решение для температурного поля рассматриваемой задачи с учетом последнего соотношения можно записать в виде

             _(1.9)

       Итак, окончательное решение рассмотренной двухмерной задачи после определения постоянных интегрирования представится суммой бесконечного ряда.

       Аналогичным образом можно получить решение  и для сплошного цилиндра при  изменении температурного поля в  двух измерениях. Окончательное решение, как и для пластины, представится суммой бесконечного ряда.

       При решении конкретной задачи вычисляют  интеграл в уравнении (1.9), исходя из условий задания температуры. Следующим  этапом является вычисление членов ряда в зависимости от условий сходимости и требуемой точности вычислений.

       Например, t=t₂=const при y=0, то f(x)=t₂, a F(x)=t₂-t₁. Интеграл

_{(n=1,3,5,7,…)}

       Подставив этот интеграл в уравнение (1.9), получим:

       Можно показать, что полученный ряд сходится. Для вычисления изотерм существуют различные методы. Наиболее точным является метод, при котором y принимается в качестве постоянного параметра. По серии кривых, отвечающих постоянному значению у, строят изотермы.

 

        2.ПОРИСТОЕ ОХЛАЖДЕНИЕ  ПЛАСТИНЫ 

       2.1 Постановка задачи 

       Пористые материалы находят большое применение в таких конструкциях, как высокотемпературные теплообменники, турбинные лопатки, реактивные сопла и т. д. На практике охлаждение пористых структур достигается нагнетанием жидкости или газа через капилляры твердого тела. Процесс теплообмена в таких пористых системах весьма сложен. При решении задачи предполагается, что вся передача теплоты внутри плоской пластины осуществляется за счет теплопроводности через твердую фазу и что температуры твердого тела и жидкости почти не отличаются друг от друга в любой точке пористой структуры. Эти предположения существенно упрощают решение задачи.

       Рассмотрим  показанную на рис. 2 плоскую пластину с постоянным коэффициентом теплопроводности λ_c. Размеры пластины в направлениях у и z велики и температурное поле внутри пластины можно считать одномерным; последнее справедливо и для температуры охлаждающей жидкости, т. е. t₁=t(x) при 0≤х≤δ и t_ж=t_ж(x) при -∞≤х≤0.