Задача теплопроводности в пластине при различных условиях нагрева и охлаждения

       

       Рисунок – 2.Пористое охлаждение плоской пластины 

       На  поверхности пластины при х=δ температура стенки равна t_с².Температура нагнетаемой вдоль оси Ох через пластину жидкости при х->-∞ равна t_ж0. Температуры t_c² и t_ж0 известны. Задан удельный массовый расход охлаждающей жидкости G, кг/(м².с), теплоемкость с_рж и теплопроводность λ_ж которой постоянны. Необходимо найти распределение температуры в такой пористой стенке. 
 

       2.2 Схема решения задачи 

       Будем рассматривать пористость пластины р как отношение объема пор ко всему объему материала. Для равномерной пористости можно считать, что на единице поверхности, нормальной к направлению потока жидкости, сечение для прохода жидкости f_ж=p, а сечение твердого скелета, участвующего в теплопроводности, равно f_c = 1— f_ж = 1—р. Отметим также, что если удельный массовый расход натекающей жидкости равен G, то массовый расход внутри пластины будет равен G/p.

       Процесс переноса теплоты в таком пористом теле можно представить как теплопроводность самой пластины и теплообмен между  твердым телом и жидкостью, протекающей  через поры пластины.

       Плотность теплового потока за счет теплопроводности самой пластины в сечениях х и x+dx запишется:

_и

       В условиях стационарного режима изменение  теплового потока на участке dx произойдет вследствие теплообмена между твердым телом и протекающей через поры жидкостью, т. е.

или

       Следовательно, для области 0≤х≤δ дифференциальное уравнение запишется:

                                       _(a)

       Если  обозначить

то соотношение (а) запишется:

                                           _(2.1)

       Аналогичным образом можно получить дифференциальное уравнение и для области 0≤х≤δ:

                                         _(2.2)

где

       Общее решение уравнения (2.1) имеет вид:

       Постоянные  С₁ и С₂ определяются из граничных условий: при х=0 t=t_с1 и при x=δ t=t_c2

       После определения постоянных C₁ и С₂ получаем для области 0≤х≤δ:

                                    _(2.3)

       Для уравнения (2.2) общее решение имеет  вид:

       Это уравнение должно удовлетворять  граничным условиям для потока жидкости:

при х=-∞ t_ж=t_ж0;

при х=0

       Из  граничных условий находим, что C₄=t_ж и

тогда решение  для (2.2) запишется:

                    _(2.4)

       На  основании (2.4) из уравнения (2.3) можно  исключить неизвестную температуру  t_c1. При х=0

       Подставив это значение t_c1 в уравнение (2.3), получим окончательное выражение для распределения температуры в пористой пластине (0≤х≤δ):

                                     _(2.5)

_{Если  безразмерную температуру  пластины (t-tж0)/(tс2-tж0) обозначить через 𝛉, уравнение (2-125) можно записать в следующем виде:}

                                          _(2.5’)

       Средняя температура в пористой пластине для заданного значения определяемая интегралом , равна:

                                _(2.6)

       Если  в качестве параметра выбрать  ξ_сδ, зависимость (2.5) можно представить, как показано на рис. 3. Там же для соответствующих значений ξ_сδ нанесена средняя температура, вычисленная по уравнению (2.6).

Рисунок – 3. Распределение температуры и средняя температура в пористой пластине. 

       Решение задачи о распределении температур в пористой стенке с испарительным  охлаждением при других граничных  условиях дано В. П. Исаченко [Л. 55]. При  решении задачи предполагалось, что поры малого диаметра равномерно распределены по объему плоской стенки и пронизывают ее в поперечном направлении (рис. 3). Расход жидкости через поры G_ж,кг/м²; температуры жидкости и стенки в любом данном сечении одинаковы; физические параметры не зависят от температуры.

       Уравнения теплопроводности и граничные условия  в этом случае имеют вид:

                                       _(2.7)

                       _(2.8)

                             _(2.9)

где (кроме  обозначений, указанных на рис 3 r — теплота парообразования; c_рж — теплоемкость жидкости; α_г и α_ж — коэффициенты теплоотдачи на поверхностях стенки, обращенных соответственно к газу и жидкости.

       Коэффициент теплопроводности λ в уравнении (2.7) в общем случае должен учитывать теплопроводность твердого скелета стенки и охлаждающей жидкости. Для металлических пористых стенок, имеющих высокий коэффициент теплопроводности и малый суммарный объем пор, теплопроводностью жидкости можно пренебречь. В этом случае, как и в предыдущей задаче, можно принимать λ = λ_С(1—р).

       Опустив промежуточные выкладки, приведем окончательное  решение уравнения (2.7) при граничных  условиях (2.8) и (2.9):

          _(2.10)

_где

                  _(2.11) 

       Если  охлаждение пористой стенки осуществляется без испарения охлаждающей жидкости, т. е. r=0, то уравнение (2.10) принимает вид:

 

        3.ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ПРИ НАЛИЧИИ ВНУТРЕННИХ ИСТОЧНИКОВ ТЕПЛОТЫ 

       В рассмотренных ранее задачах  внутренние источники теплоты отсутствовали.

       Однако  в ряде случаев внутри объектов исследования могут протекать процессы, в результате которых будет выделяться или  поглощаться теплота. Примерами таких процессов могут служить: выделение джоулевой теплоты при прохождении электрического тока по проводникам; объемное выделение теплоты в тепловыделяющих элементах атомных реакторов вследствие торможения осколков деления ядер, а также замедления потока нейтронов; выделение или поглощение теплоты при протекании ряда химических реакций и т. д.

       При исследовании переноса теплоты в  таких случаях важно знать  интенсивность объемного выделения (поглощения) теплоты, которая количественно  характеризуется мощностью внутренних источников теплоты q_v, Вт/м³. Если величина q_v положительна, то говорят, что в теле имеются положительные источники теплоты. При отрицательных значениях q_v имеются отрицательные источники (стоки) теплоты.

       

Рисунок – 4. Пористое охлаждение пластины (граничные условия третьего рода) 

       В зависимости от особенностей изменения  величины q_v в пространстве можно говорить о точечных, линейных, поверхностных и объемных источниках теплоты.

       Для стационарного режима при  дифференциальное уравнение теплопроводности при наличии источников теплоты имеет вид:

                                                 _(3.1)

 

        4.ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ОДНОРОДНОЙ ПЛАСТИНЫ 

       4.1 Постановка задачи 

       Рассмотрим  длинную пластину, толщина которой 2δ — величина малая по сравнению  с двумя другими размерами.

       Источники теплоты равномерно распределены по объему и равны q_v=const. Заданы коэффициенты теплоотдачи α и температура жидкости вдали от пластины причем α=const и t_ж=const. Благодаря равномерному охлаждению температуры обеих поверхностей пластины одинаковы. При указанных условиях температура пластины будет изменяться только вдоль оси х, направленной нормально к поверхности тела. Температуры на оси пластины и на ее поверхности обозначим соответственно через t₀ и t_c эти температуры неизвестны (рис.5). Кроме того, необходимо найти распределение температуры в пластине и количество теплоты, отданное в окружающую среду.

       

Рисунок – 5. Теплопроводность плоской пластины при наличии внутренних источников теплоты 

       4.2 Схема решения задачи 

       Дифференциальное  уравнение (3.1) в рассматриваемом случае упрощается и принимает вид:

                                               _(4.1)

       Граничные условия: ,

при x=±δ имеем

       Поскольку граничные условия для обеих  сторон пластины одинаковы, температурное  поле внутри пластины должно быть симметричным относительно плоскости x=0. Теплота с одинаковой интенсивностью отводится через левую и правую поверхности тела. Одинаково и тепловыделение в обеих половинах пластины. Это означает, что можно далее рассматривать лишь одну половину пластины, например правую (рис. 5), и записать граничные условия для нее в виде

                       _(4.2)

       После интегрирования (4.1) получим:

                                              _(4.3)

                                        _(4.4)

       Постоянные  интегрирования C₁ и С₂ определяются из граничных условий (4.2).

       При х=0 из уравнения (4.3) получаем C₁=0; при x=δ получаем:

       Из (4.3) имеем:

       Тогда t_c=t_ж+q_vδ/α подставив это выражение в уравнение (4.4), при х = δ получим:

       Подставив значения постоянных C₁ и С₂ в выражение (4.4), найдем уравнение температурного поля:

                        _(4.5)

       В рассматриваемой задаче тепловой поток  изменяется вдоль оси х: q=q_v. х.

       При x=0 и q=0 (это следует из условия: при х=0 имеем (dt/dx)_x=0=0). Тепловой поток с единицы поверхности пластины при x=δ

q=α(t_c-t_ж)=q_vδ                                          (3.7)

и общее  количество теплоты, отданное всей поверхностью в единицу времени (вся поверхность  F равна двум боковым поверхностям F₁)

Q = qF=q_vδ2F₁.                                       (4.7)

       Из  уравнения (4.5) следует, что температура в плоской стенке в случае симметричной задачи распределяется по параболическому закону.